План исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции .

2. Найти область значений (если это возможно вначале, часто можно указать только по результатам исследования).

3. Исследовать функцию на четность.

4. исследовать на периодичность.

5. Найти точки пересечения с осями Ox (нули функции) и Oy.

6. Найти промежутки знакопостоянства функции.

7. Исследовать на непрерывность, дать классификацию разрывов.

8. Найти асимптоты графика функции (горизонтальную, вертикальную, наклонную).

9. Исследовать на монотонность и экстремум.

10. Исследовать на выпуклость, вогнутость, перегиб.

11. Построить график функции.

На множестве X задана структура метрического пространства, если задана функция двух переменных, называемая метрикой, удовлетворяющая следующим аксиомам: (x; y) = (y; x); (x; y) = 0  y = x;  x, y, z (x; z)  (x; y) + (y; z).

Множество D на плоскости назовем открытым, если оно содержит каждую свою точку вместе с некоторой окрестностью.

Назовем точку z  D предельной, если в каждой ее окрестности есть точки из множества D.

Если множество D содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым.

Предел функции нескольких переменных. Число A называется lim (xx0,yy0)     0  -окрестность точки (x0; y0)  (x; y)  - окрестности (x  x0 и y  y0) f(x, y) - A  .

Непрерывность функции нескольких переменных. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (x0; y0), если она определена в окрестности этой точки и lim (xx0, yy0) f(x, y) = f(x0, y0) (по любому пути).

Частные производные. Назовем частным приращением по x следующее выражение xf = f(x + x, y) – f(x, y) и частным приращением по y следующее выражение yf = f(x, y + y) – f(x, y).

Частной производной по x называется lim (x0) xf/x = f/x (x, y) = f’x.

Частной производной по y называется lim (y0) yf/y = f/y (x, y) = f’y.

Если дифференцируемая функция принимает выражение f = f’yy +f’xx + (x, y) + (x, y), где /x²+y²  0 и /x²+y²  0, то выражение f’xdx + f’ydy называется полным дифференциалом функции f и обозначается df.

Касательная плоскость. Касательная плоскость, проходящая через точку M0 некоторой поверхности имеет следующее свойство: угол между этой плоскостью и любой секущей MM0 (M  плоскости)  0, при M  M0.

Уравнение нормали в каноническом виде: (x –x0)/ (f/x) = (y – y0)/ (f/y) = (z – z0)/ (f/z)

Функция z = f(x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если в окрестности этой точки значение f’(x – x0)  f(x, y)  (x, y).