Свойства дифференциала:

1. d(f  g) = df  dg

2. d(f * g) = dfg + dgf

3. d(f/g) = (dfg – dgf)/g²

Доказательство. d(f +g) = (f + g)’dx = f’dx + g’dx = df + dg

Теорема. Если функция имеет дифференциал, то она имеет и производную, причем A = f’(x0).

Доказательство. Пусть функция имеет дифференциал f = A(x – x0) + (x - xo)

f/x = A + (x - xo)/ x

Пусть x0  f’(x0) = A

df = f’(x0)dx

С геометрической точки зрения дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к кривой в точке , когда аргумент получает приращение

Пусть имеется функция f((x))

= y. Найдем дифференциал.

dy = (f((x)))’dx = f’ * ’(x) * dx = f’* d

Последнее равенство называется свойством инвариантности дифференциала.

Производные и дифференциалы высшего порядка

Производная определенная на некотором множестве является также функцией от x. В случае ее дифференцируемости можно вычислить ее производную. Производная от производной называется производной второго порядка:

Аналогично .

Начиная с четвертого, порядок производной обозначается только индексом в скобках (сверху). Производные порядка 1–3 также обозначаются По определению В случае дифференцируемости производной производная порядка n определяется равенством

(12)

Дифференциал от дифференциала функции f в точке x (если функция определена и дважды дифференцируема) называется дифференциалом второго порядка:

Дифференциал n-го порядка функции (в случае дифференцируемости n раз, ) определяется как дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка:

Для вычисления дифференциала порядка n используют формулу:

(15)

Дифференциалы второго и выше порядков не обладают (в отличие от дифференциалов первого порядка) свойством инвариантности, т. е. их форма, а следовательно и способ вычисления зависят от того, является ли аргумент x независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной.

Производная параметрической функции.

Пусть функция задана параметрически, т.е. в виде x = x(t), y = y(t)

Пусть у x существует обратная функция t = x (x), тогда y = y(x (x))

y’x = y’t (x (x))’ = y’t/x’t

y’x = y’t/x’t

Производная неявной функции.

Если функция y = y(x) задана в виде (x,y) = 0, то говорят, что она задана неявно.

Чтобы найти производную, выражение (x,y) = 0 дифференцируют по x, считая, что y = y(x), из получившегося ответа выражают y’.

Теорема Ферма. Пусть в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум, т.е. f(x0)  f(x) (имеет локальный минимум). Если функция f дифференцируема в точке x0, то f’(x0) = 0.

Доказательство. Пусть x0 – максимум, f(x0)  f(x)

f(x) – f(x0)/(x – x0)  0, если x  x0

Пусть xx0, по теореме о сохранении знаков неравенства имеем: f’(x0)  0

C другой стороны, если x  x0: f(x) – f(x0)/(x – x0)  0

Пусть xx0  f’(x0)  0

Значит, 0  f’(x0)  0  f’(x0) = 0.

Теорема Ролля. Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a; b] и f(a) = f(b) = 0, то существует точка C  [a; b], где f’(C) = 0

Теорема Лагранжа. Пусть f(x) дифференцируема на отрезке [a; b], тогда существует точка C  [a; b], такая, что f(b) – f(a) = f’(C) * (b - a)

Теорема Коши. Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы на отрезке [a; b], тогда существует точка C  [a; b], такая, что f’(C)/g’(C) = (f(b) – f(a)) / (g(b) – g(a)).

Неопределенностями считаются следующие выражения: 0*; 0 в степени ;  в степени 0; 1 в степени  и т.д.

Правило Лопиталя. Пусть при вычислении lim (xx0) f(x)/g(x) получаются неопределенности. Если существует lim (xx0) f’(x)/g’(x), то он совпадает с

lim (xx0) f(x)/g(x).

Доказательство. Пусть имеется неопределенность 0/0.

f(x0) = 0, g(x0) = 0

По теореме Коши: (f(x) – f(x0))/g(x) – g(x0) = f’(C)/g’(C)

При xx0 Cx0  lim (xx0) f(x)/g(x) = lim (Cx0) f’(C)/g’(C).

Условие возрастания и убывания функции. Если f’(x0)  0, то f возрастает в окрестности точки x0, если f’(x0)  0, то f убывает в окрестности точки x0.

Доказательство. Пусть f’(x0)  0  f’(x)  0; x1  x2.

f(x1) – f(x2) = f’(x3)(x1 – x2)

f(x1)  f(x2)  f возрастает.

Пусть f возрастает в окрестности точки x0.

f/x = (f(x +x) – f(x))/ x  0, если x  0 или x  0.

По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем: f’(x0)  0.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует некоторая окрестность точки такая, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство .

Значение называется локальным максимумом (минимумом) функции.

Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума (локального). Максимум и минимум называются экстремумом функции.

Теорема 3 (первый признак экстремума функции).

Пусть – критическая точка непрерывной функции .

Если в некоторой окрестности точки выполняется условие

то – точка локального максимума;

если выполняется условие

то – точка локального минимума.

Если производная имеет один и тот же знак в левой и правой полуокрестности точки , то не является точкой экстремума.

Теорема 4 (второй признак экстремума функции).

Пусть – критическая точка функции , дважды дифференцируемой в окрестности точки . Тогда является точкой локального минимума функции , если и точкой локального максимума, если

Теорема 5 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений

Непрерывная на отрезке достигает наименьшего (наибольшего) значений либо на концах отрезка, либо в точках ее локального экстремума.

Для отыскания глобальных экстремумов функции на отрезке необходимо:

1) найти производную

2) найти критические точки функции;

3) найти значения функции на концах отрезка, т. е. и а также в критических точках, принадлежащих

4) из всех полученных значений функции определить наибольшее и наименьшее ее значения.

Теорема о выпуклости графиков. Если функция f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки x0 и вторая производная строго меньше нуля, то график функции выпуклый, а если больше нуля, то – вогнутый.

Точка графика функции, в которой выпуклость сменяется вогнутостью (и наоборот) называется точкой перегиба.

Асимптотой к графику функции y = f(x) называется прямая линия, расстояние от которой до графика стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.