Т Ф К П

1. Комплексные числа и действия над ними.

z= x+ iy= |x=Re z – действит. часть, y=Jm z – мнимая часть| = Re z + Jm z. z^-= x- iy – сопряжённое число для z= x+ iy. Задание компл. Числа z= x+ iy равносильно заданию точки или свободного вектора (х,у). Поэтому оно изображается на плоскости R² как точка или вектор (х,у). Компл. Числа z₁= x₁+ iy₁ и z₂= x₂+ iy₂ сладываются и вычитаются как векторы (х₁,у₁) и (х₂,у₂). Но в умножении есть отличие. Если для векторов определено скалярное умножение, результатом которого является действ. число: (х₁,у₁) (х₂,у₂)= х₁х₂+ у₁у₂, то результатом умножения комплексных чисел является комплексное число: (x₁+ iy₁)(x₂+ iy₂)= (х₁х₂- у₁у₂) + i(y₁х₂+ x₁у₂). Для векторов деление вообще не определено, а для комплексных чисел определено: (x₁+ iy₁)/ (x₂+ iy₂)= ((x₁+ iy₁) (x₂- iy₁))/ ((x₂+ iy₂) (x₂- iy₂))= (х₁х₂+ у₁у₂)/ (x₂²+y₂²)+ i(y₁х₂- x₁у₂)/ (x₂²+ y₂²). Этим отличается С – множество комплексных чисел z= x+ iy (комплексная плоскость) от R² – множества векторов (х,у). Числа z= x+ i0= xR изображаются как точки действительной оси Ох или как векторы (х,0)|| Ох, числа z= 0+ iy= iy (чисто мнимые) изображаются как точки мнимой оси Оу или как векторы (0,у)|| Оу. = d(z,0)= (x²+y²)= |z| - модуль числа z. В частности, если z=xR, то |z|= (x²+0²)= (x²)= |x| - абсолютная величина = (Ох,^z)= Arg z – аргумент числа z. Arg z определяется многозначно с точностью до 2k. Его значение, взятое в промежутке ]-,[, называется главным значением аргумента: arg z. -<arg z. Поскольку tg(arg z)= y/x, то arg z можно выразить через arctg(y/x). Однако arg z]-,[, тогда как arctg(y/x) ]-/2,/2[. Плэтому arg z= arctg(y/x), только для точек полуплоскости. Для точек левой полуплоскости arg z отличается от arctg(y/x) на , и для получения arg z следует к arctg(y/x) добавить + или - с тем расчётом, чтобы получилось число в промежутке ]-,[.

[x= cos, y=sin] z= x+ iy= (cos+ isin) – тригонометрическая форма комплексного числа. По формуле Эйлера cos+ isin= e^i, поэтому z= e^i= |z|e^iArgz- показательная форма комп. числа. В показательной (и тригономнтрической) форме удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение натурального корня. z₁z₂= ₁e^i ₂e^i= ₁₂e^i1e^i2= | раньше показано, что e^z1+z2= e^z1e^z2|= ₁₂e^i1+i2= ₁₂e^{i(1+2)} |z₁z₂|= |z₁||z₂|, Arg(z₁z₂)= Arg(z₁)+ Arg(z₂). При умножении модули умножается, а аргументы складываются (равенство с участием Arg понимается с точностью до 2к, т.е. левая и правая части равенства могут отличаться на 2к). Геометрически: при умножении z₁= ₁e^i1 на z₂= ₂e^i2 вектор ₁e^i1 растягивается в ₂ раз и поворачивается на угол ₂. z₁/z₂= ₁e^i1/₂e^i2= (₁/₂) e^i1 (1/e^i2)= | раньше показано 1/e^z= e^-z|= (₁/₂) e^i1e^-i2= (₁/₂) e^i(1-2) |z₁/z₂|= |z₁|/|z₂|, Arg(z₁/z₂)= Arg z₁- Arg z₂. При делении модули делятся аргументы вычетаются. Вектор ₁e^i1 стягивается в ₂ раз и поворачивается на угол -₂. zⁿ= (e^i)ⁿ= ⁿ(e^i)ⁿ= ⁿ e^i e^i… e^i= ⁿe^{i+i+…+i}= ⁿe^in |zⁿ|= |z|ⁿ, Arg zⁿ= nArg z.

ⁿ(z)= w= ?. Пусть w= re^i. Должно быть wⁿ= z. [wⁿ= z] [(re^i)ⁿ= e^i] [rⁿe^in)= e^i] [rⁿ= & n= +2k] [r= ⁿ₊()& = /n+ 2k/n] [w= ⁿ(z)= ⁿ₊()e^{i(/n+2k/n)}]. ⁿ(e^i)= ⁿ₊()e^{i(/n+2k/n)}, |ⁿ(z)|= ⁿ₊(|z|), Arg ⁿ(z)= Argz/n+ 2k/n. При любом кZ, отличном от 0,1,2,…,n-1, получается значение корня, совпадающее с одним из значений, вычисленных при k=0,1,…,n-1. Действительно, пусть k0,1,..,n-1. Поделив k на n, получим k=nq+ r, где qZ – частное, rZ – остаток, 0rn-1. Отсюда 2к/n= 2q+ 2r/n, где r- одно из чисел 0,1,…,n-1 и Arg ⁿ(z)= Argz/n+ 2k/n= Argz/n+ 2r/n+ 2q= |равенство с точностью до 2q|= Argz/n +2r/n, r= 0,1,…,n-1. Т.о. ⁿ(z) имеет n значений. Их модули одинаковы: | ⁿ(z)|= ⁿ₊(), поэтому они лнежат на окружности радиуса ⁿ₊(|z|) с ценром 0. Аргументы корней: /n, /n+ 2/n, /n+ (2/n)2,…, /n+ (2/n)(n-1). Поэтому все значения корня ⁿ(z₀), ⁿ(z₁), ⁿ(z₂),…, ⁿ(z_n-1) лежат в вершинах правильного n-угольника.