5.4.Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Интегральная формула Коши.

Интегральная формула Коши. Если f(z) аналитична в замкнутой ограниченной односвязной области G с кусочно-гладкой границей , то она бесконечно дифференцируема в этой области, и значение f⁽ⁿ⁾(z) в любой внутренней точке zG выражается через значения функции f в граничных точках  по формуле: f⁽ⁿ⁾(z) =n!/(2i)(по )f()d/(-z)⁽ⁿ⁺¹⁾, n=0,1,2,... (положительный обход) (1).



Пусть zG - фиксированная внутренняя точка. Сначала докажем равенство (1) при n=0, т.е.

f⁽⁰⁾(z) =0!/(2i)(по )f()d/(-z)⁰⁺¹  f(z) =1/(2i)(по )f()d/(-z)  (по )f()d/(-z)-f(z)2i =0 (2)

Рассмотрим двусвязную область, полученную из G удалением круга с границей С_ ={: -z =} с произвольным малым . В этой двусвязной области функция () =f()/(-z) аналитична как частное аналитических функций f() (по условию) и -z (особая точка z - вне области, она удалена). Поэтому верна т-ма Коши для двусвязной области: (по )f()d/(-z) =

=(по C_)f()d/(-z). С другой стороны, 2i =(по С_)d/(-z). Подставим в (2): (по С_)f()d/(-z) - f(z)(по C_)d/(-z) =0 f(z)=const  (по С_)(f()-f(z))d/(-z) =0. Зададим любое 0. Ввиду fC{z} будет [=-z0  f()-f(z)0], так что при достаточно малом  будет f()-f(z) /2. Поэтому (C_)[ (f()-f(z))/(-z) =f()-f(z)/ /(2) ] и по св-ву интеграла (оценка модуля): (по С_)(f()-f(z))d/(-z) /(2)длина С_ =/(2)2 =  (по )f()d/(-z) - f(z)2i  . Т.о., неотрицательное число не превосходит любого положительного числа   (по ) - f(z)2i =0 

 (по ) - f(z)2i =0, ч.т.д. Получим (1) при n=1,2,... f(z)H(G)  f `(z) =(1/(2i)(по )f()d/(-z))`_z =можно док-ть законность дифференцирования под знаком интеграла =1/(2i)(по )(f()/(-z))`<sub>z</sub>d =1/(2i)(по )f()(-1/(-z)<sup>2</sup>(-1))d  f `(z) =1!/(2i)(по )f()d/(-z)¹⁺¹. Снова дифференцируя под знаком интеграла, имеем (1/(2i)(по )f()d/(-z)²)`_z =

=1/(2i)(по )f()(-2/(-z)³(-1))d, т.е. сущ-ет f ``(z) =2!/(2i)(по )f()d/(-z)²⁺¹,..., f⁽ⁿ⁾(z) =n!/(2i)(по )f()d/(-z)ⁿ⁺¹ 

Т-ма Мореры. Если f(z) непрерывна в замкнутой ограниченой односвязной области G и интеграл от нее по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру G равен нулю, то f(z)H(G).

 При указанных условиях по т-ме об аналитичности интеграла с переменным верхним пределом

Ф(z) =(от z₀ до z)f()dH(G), причем (zG)[Ф`(z)=f(z)]. Но аналитическая функция Ф(z), по доказанному, бесконечно дифференцируема, значит, (zG)[Ф``(z)=f `(z)]. Существование f `(z) во всей области G и означает аналитичность f(z) в области G. 

6.1.Функциональные ряды. Степенной ряд. Ряд Тейлора.

Функциональный ряд (от n=1 до ) (1) наз-ся равномерно сходящимся на мн-ве ЕС, если (0)(n₀N)(nN)(zE)[nn₀  S_n(z)-S(z)], где S_n(z) =f₁(z)+...+f_n(z) - частичная сумма, S(z) - сумма ряда.

Т-ма о непрерывности суммы ряда. Если все f_n(z)C(E) и ряд (1) сходится на Е равномерно, то сумма S(z) ряда (1) непрерывна на мн-ве Е.

Т-ма о почленном интегрировании ряда. Если все f_n(z) непрерывны на кусочно-гладкой кривой  и ряд (1) сходится на кривой  равномерно, то его можно почленно интегрировать вдоль кривой : (по )S(z)dz =(по )(от n=1 до )f_n(z)dz =

=(от n=1 до )(по )f_n(z)dz.

Т-ма об ограниченном множителе. Умножение всех членов ряда (1), равномерно сходящегося на мн-ве Е, на функцию, ограниченную по модулю на этом мн-ве, не нарушает равномерно сходимости.

Признак Вейерштрасса. Если ряд (1) на мн-ве Е мажорируется каким-либо сходящимся положительным числовым рядом (от n=1 до )a_n , т.е. (nN)(zE)[f_n(z)a_n], то ряд (1) сходится на мн-ве Е абсолютно и равномерно.

 Док-ва этих т-м как для функций одного переменного. 

Т-ма Вейерштрасса об аналитичности суммы ряда. Если все f_n(z) аналитичны в односвязной обдасти G и ряд (1) равномерно сходится на каждом замкнутом мн-ве EG, то сумма S(z) ряда (1) аналитична в области G.

• f_n(z)H(G)  f_n(z)C(G). Кроме того, ряд (1) сходится равномерно на каждом замкнутом мн-ве EG, поэтому по т-ме о непрерывности суммы ряда S(z)C(E), а т.к. Е - произвольное, то S(z)C(G). Рассмотрим (по )S(z)dz по любому замкнутому кусочно-гладкому пути G. Поскольку  - замкнутое мн-во (cодержит все свои предельные точки), то по условию ряд (1) сходится на  равномерно, и можно применить т-му о почленном интегрировании ряда: (по )S(z)dz =

=(от n=1 до )(по )f_n(z)dz =f_n(z)H(G)  (по )f_n(z)dz=0 (интегральная т-ма Коши для односвязной области) =0.

Т.о., S(z)C(G) и интеграл от S(z) по любому замкнутому кусочно-гладкому пути G равен нулю. Поэтому согласно

т-мы Мореры S(z)H(G). 

6.3.Степенные ряды.

Для степенного ряда С₀+С₁(z-a)+C₂(z-a)²+... =(от n=0 до )C_n(z-a)ⁿ (2) областью сходимости явл-ся круг

К={z: z-aR} с центром z=a и радиусом R (радиус сходимости)  Д-во по аналогии с интервалом сходимости действительного переменного степенного ряда 

Внутри круга сходимости К степенной ряд сходится абсолютно, вне круга расходится. На окружности круга К в разных точках ряд может быть сходящимся абсолютно или неабсолютно, или расходящимся.

Св-ва степенного ряда:

1.Степенной ряд (2) сходится равномерно на любом замкнутом мн-ве Е внутри круга сходимости К.

2.Сумма S(z) степенного ряда (2) непрерывна в круге сходимости К.

3.Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать вдоль любой кусочно-гладкой кривой  внутри круга сходимости К.

 Док-ва как и для действительных степенных рядов 

4.Т-ма об аналитичности суммы степенного ряда. Сумма S(z) степенног ряда (2) аналитична в круге сходимости К (а значит, и бесконечно дифференцируема), причем S^(k)(z) =(от n=0 до )(C_n(z-a)ⁿ)^(k).

• Все f_n(z) =C_n(z-a)ⁿH(K) и по св-ву 1) ряд (2) равномерно сходится на любом замкнутом мн-ве ЕК. Значит, по т-ме Вейерштрасса об аналитичности суммы ряда S(z)H(K). (Законность почленного дифференцирования без док-ва). 

Можно док-ть, что при почленном интегрировании и дифференцированиии получается новый степенной ряд с тем же кругом сходимости К. Рассмотрим вопрос о разложимости функции f(z) в степенной ряд.

Т-ма о единственности разложения в степенной ряд. Если f(z) разлагается в окрестности точки z=a в степенной ряд (2), то это разложение единственно: козффициенты единственным образом вычисляются по формуле C_n=f⁽ⁿ⁾(a)/n!.

 Док-во дословно как для действительного степенного ряда. 

След-но, если f(z) разлагается в степенной ряд, то ее степенным рядом явл-ся ряд Тейлора: f(z) =f(a)+f `(a)(z-a)/1!+

+f ``(a)(z-a)<sup>2</sup>/2!+...+f<sup>(n)</sup>(a)(z-a)<sup>n</sup>/n!+..., а при а=0 - ряд Макларена: f(z)=f(0)+f `(0)z/1!+f ``(0)z²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(0)zⁿ/n!+...

Критерий разложимости в степенной ряд. [f(z) разлагается в круге K={z: z-aR} в степенной ряд по степени z-a] 

 [f(z)H(K)]

  Если (zK)[f(z) =(от n=1 до )C_n(z-a)ⁿ] (т.е. разлагается), то по т-ме об аналитичности суммы степенного ряда f(z)H(K).

• Пусть f(z)H(K), и zK - произвольная точка. Т.к. z - внутренняя точка, то можно провести окружность

C_={: -a=}K так, чтобы z была внутри С_.

f(z)H(K)  интегральная формула Коши  f(z) =1/(2i)(по С_)f()d/(-z). Разложим сначала 1/(-z) по степеням

(z-a): 1/(-z) =1/((-a)-(z-a)) =вынесем за скобки разность с большим модулем: -az-a  =1/(-a)1/(1-(z-a)/(-a)) =

=q=(z-a)/(-a), геометрический ряд: q =z-a/-a1, 1/(1-q) =1+q+q²+...=(от n=0 до )qⁿ =

=1/(-a) (от n=0 до )((z-a)/-a))ⁿ (3). На окружности С_ этот ряд мажорируется: (C_)[(z-a)/(-a)ⁿ =z-aⁿ/-aⁿ =

=(r/)ⁿ (т.е. (r/)ⁿ)], где q=r/ 1 и потому числовой ряд (от n=0 до )(r/)ⁿ (геометрический) сходится. Значит, по признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится на С_ равномерно. После умножения на функцию f(), ограниченную на С_ по модулю (f() непрерывна на замкнутом ограниченном мн-ве С_  по т-ме Вейерштрасса ограничена) равномерная сходимость сохраняется. Итак, ряд f()/(-z) =(от n=0 до )f()/(-a)((z-a)/(-a))ⁿ равномерно сходится на С_. Его члены (как функции от ) непрерывны на С_ (точка разрыва =аС_), и по т-ме о почленном интегрировании можно почленно интегрировать вдоль С_: 1/(2i)(по С_)f()d/(-z) =1/(2i)(от n=0 до )(по С_)f()/(-a)ⁿ⁺¹(z-a)ⁿd =

=z-a=const =(от n=0 до )(1/(2i)(по С_)f()d/(-a)ⁿ⁺¹)(z-a)ⁿ, так что (zK)[f(z) =(от n=0 до )C_n(z-a)ⁿ], т.е. f(z) разлагается в круге К в степенной ряд по степеням z-a. 

Замечание: В силу единственности разложения, коэффициенты, полученные в т-ме, совпадают с коэффициентами Тейлора: С_n =f⁽ⁿ⁾(a)/n! =1/(2i)(по С_)f()d/(-a)ⁿ⁺¹ и при разложении их можно вычислять по любой из этих формул. При этом вместо окружности С_ можно взять произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур К, окружающий точку z=a. Действительно, в двусвязной области между  и С_ подинтегральная функция аналитична (особая точка =а не содержится), и по т-ме Коши для двусвязной области (по С_) =(по ), так что C_n =1/(2i)(по )f()d/(-a)ⁿ⁺¹. Функции e^z, cosz, sinz, chz, shz аналитичны на всей плоскости (целые), поэтому разлагаются в окрестности любой точки в степенной ряд на всей плоскости (R=). Как и для функций действительного переменного, получим при а=0:

e^z =1+z/1!+z²/2!+...+zⁿ/n!+...; cosz =1-z²/2!+z⁴/4!-...+(-1)ⁿz²ⁿ/2n!+...; sinz =z-z³/3!+...+(-1)ⁿz²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...;

chz =1+z²/2!+z⁴/4!+...+z²ⁿ/2n!+...; shz =z+z³/3!+...+z²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+... Можно док-ть, что главное значение логарифма ln(1+z) и главное значение бинома (1+z)^ =exp(ln(1+z)), где С, аналитичны на всей плоскости с разрезом по действительной оси ]-, -1], так что они разлагаются по степеням z (т.е. в окрестности точки z=0) в круге z1:

ln(1+z) =z-z²/2+z³/3-...+(-1)ⁿzⁿ⁺¹/(n+1)+... (z1); (1+z)^ =1+z/1!+(-1)z²/2!+...+(-1)(-2)...(-(n-1))zⁿ/n!+... (z1).