6.7.Нули и изолированные особые точки аналитической функции.

Определение 1: Пусть f(z) аналитична в точке z=a. Если f(a)=0, f `(a)=0,...,f^(k-1)(a)=0, но f^(k)(a)0, т.е. ряд Тейлора функции f(z) начинается с k-го члена (С_k=f^(k)(a)/k!0), то точка z=a наз-ся нулем k-го порядка функции f(z).

Пример: f(z)=1-cosz. z=0 - один из нулей функции. Рассмотрим ряд Тейлора по степеням z-0=z: f(z)=1-cosz=

=1-(1-z²/2!+z⁴/4!-...)= z²/2!-z⁴/4!+...  z=0 - нуль 2-го порядка

Т-ма о порядке нуля.

[z=a - нуль k-го порядка для f(z)H{a}]  [f(z) можно представить в виде f(z)=(z-a)^k(z), где (z)H{a} и (a)0 ]

 [определение 1]  [f(z)=C_k(z-a)^k+C_k+1(z-a)^k+1+..., где С_k0 ]  [f(z)=(z-a)^k(C_k+C_k+1(z-a)+C_k+2(z-a)²+...), где

(z)= C_k+ +C_k+1(z-a)+... как сумма степенного ряда аналитична в окрестности точки z=a, причем (а)=С_k0 ]

 [f(z)=(z-a)^k(z), где (z)H{a}, (a)0 ]  по критерию разложимости в степенной ряд  [ (z) разлагается в ряд Тейлора в окрестности z=a: (z)=b₀+b₁(z-a)+..., причем b₀=(a)0 ]  [f(z)=b₀(z-a)^k+b₁(z-a)^k+1+..., где b₀0 ]

по определению1 [z=a - нуль k-го порядка] 

Пример: f(z)=(z²+1)³shz. z=i - есть нуль. f(z)=[(z-i)(z+i)]³shz=(z-i)³(z+i)³shz, где (z)=(z+i)³shzH{i}.

(i)=8i³shi=-8i(eⁱ-e^-i)/20  z=i - нуль 3-го порядка.

Определение 2: Пусть f(z)Н{а}, т.е. z=a - особая точка. Если f(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности точки z=a, т.е. в этой окрестности нет других особых точек, то z=a наз-ся изолированной особой точкой функции f(z).

Пример: Для f(z) =1/sin(1/z) точка z=0 - особая. Но точки z_n=1/(n) - тоже особые, причем z_n0 при n. Значит, в любой окрестности особой точки z=0 всегда имеются другие особые точки z_n=1/(n), поэтому z=0 не изолированная особая точка.

Определение 3: Изолированная особая точка z=a наз-ся

1.устранимой (или правильной), если сущ-ет конечный предел lim f(z) (при zа)

2.полюсом, если сущ-ет lim f(z)= (при za)

3.существенно особой точкой, если при za никакого предела не сущ-ет.

Т-ма об особых точках.

1.[z=a - устранимая особая точка для f(z) ]  [главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности точки z=a отсутствует ]

2.[z=a - полюс]  [главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов]

3.[z=a - существенно особая точка]  [главная часть ряда Лорана содержит бесконечное мн-во членов]

1)  [определение 3]  [ lim f(z) (при za)]  [f(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности О(а): f(z)M ].

Для коэфициентов главной части ряда Лорана

С_-k=1/(2i)(по замкнутой ) (f()d)/(-a)^-k+1 (kN) можно взять окружность ={:-a=}O(a) произвольно малого радиуса  (т.к. внутренний радиус кольца О(а) равен нулю). В точках : f()/(-a)^-k+1  M/-a^-k+1=M/^-k+1=M^k-1, и по св-ву модуля интеграл С_-k=1/(2i)(по )=1/2(по )1/(2)M^k-1длина =1/(2)M^k-12=M^k  0C_-kM^k. Но lim M^k=0 (при 0)  limC_-k=0 (при 0), а т.к. C_-k=const, то C_-k=0  C_-k=0, т.е. главная часть ряда Лорана отсутствует.

• [главная часть отсутствует: (zO(a))[f(z)=C₀+C₁(z-a)+...], т.е. при za f(z) совпадает с суммой S(z) степенного ряда]  [S(z) аналитична как сумма степенного ряда в сплошном круге О(а), и потому S(z)C{a}   lim S(z)=S(a)=C₀ (при za)]  [при za : S(z)=f(z), поэтому  lim f(z)=C₀ (при za) ]  по определению 3 [z=a - устранимая особая точка]

Замечание: Если положим f(a)=C₀=lim f(z) (при za), то будет f(a)=S(a), т.е. f(z) совпадает с аналитической функцией S(z) в сплошном круге О(а), так что f(z)H(a), т.е. особенность z=a устраняется.

2. [z=a -полюс] определение3 [lim f(z)=]  (0)(O(a))(zO(a))[f(z)]  (zO(a))[f(z)0]  [1/f(z)=(z)H(O(a)) как частное аналитической функции]. Кроме того lim (z)=(1/)=0, т.е. z=a для (z) устранимая особая точка, а если примем (a)=lim (z)=0, то будет (z)H(O(a)), и разлагается в круге О(а) в степенной ряд: [(z)=b₀+b₁(z-a)+b₂(z-a)²+... , причем хотя бы один b_k0, иначе бы (z)0 (a (z)=1/f(z)0)]  [(z)=b_k(z-a)^k+ +b_k+1(z-a)^k+1+...=(z-a)^k(b_k+b_k+1(z-a)+...), где g(z)=b_k+b_k+1(z-a)+... как сумма степенного ряда аналитична в О(а), причем g(a)=b_k0]. В силу g(z)C{a} будет g(z)0 (т.е. g(z)0) и в некоторой окрестности О₁(а) (по т-ме о сохранении длины непрерывной функции). Поэтому f(z)=1/(z)=1/(z-a)^k1/g(z), (1)

где 1/g(z) H(O₁(a)) и потому разлагается в степенной ряд: 1/g(z)=d₀+d₁(z-a)+..., причем d₀=1/g(a)0, так что f(z)=

=1/(z-a)^k(d₀+d₁(z-a)+...)=d₀/(z-a)^k +d₁/(z-a)^k-1+...+d_k+d_k+1(z-a)+..., т.е главная часть содержит конечное число членов.

 [главная часть содержит конечное число членов: (zO(a))[f(z)=C_-k/(z-a)^k+...+C_-1/(z-a)+C₀+...], где C_-k0]  [f(z)=

=1/(z-a)^k(C_-k+C_-(k-1)(z-a)+...)= =(z)/(z-a)^k (zO(a)) (2) ] lim f(z)=lim (z)/(z-a)^k= (z)C{a}lim (z)=(a)=

=C_-k=(C_-k/0)=C_-k0= .

3) Следует из того,что другие возможности исчерпаны 

Определение 4: При выполнении f(z)=(z)/(z-a)^k, где (z)H{a}, (a)0, точка z=a наз-ся полюсом k-го порядка, при k=1 - простым полюсом. (главная часть ряда Лорана по степеням z-a в окрестности точки z=a заканчивается k-ым членом

С_-k/(z-a)^k0)

Т-ма о связи между нулем и полюсом.

[z=a - нуль k-го порядка для g(z)][z=a - полюс k-го порядка для f(z)=1/g(z)]

  [т-ма о порядке нуля] [g(z)=(z-a)^k(z), где (z) H(O(a)), (a)0] [f(z)=1/g(z)=1/(z-a)^k1/(z), где (z)=1/(z) аналитична в некоторой окрестности О₁(а). Действительно, (z)C{a}, (a)0, и по т-ме о сохранении знака будет (z)0 в некоторой О₁(а), поэтому (z)=1/(z)H(O₁(a)). Кроме того, (a)0] определение 4[z=a - полюс k-го порядка для f(z)].

 Аналогично 