6.6.Ряд Лорана.

Ряд ...+C_-n/(z-a)ⁿ+...+C_-2/(z-a)²+C_-1/(z-a)+C₀+C₁(z-a)+...+C_n(z-a)ⁿ+... =(от n=- до )C_n(z-a)ⁿ наз -ся рядом Лорана по степеням z-a. Его областью сходимости явл-ся общая часть областей сходимости рядов (от n=0 до )С_n(z-a)ⁿ =

=C₀+C₁(z-a)+...+C_n(z-a)ⁿ+... (правильная часть) и (от n=- до -1)C_n(z-a)ⁿ =...+C_-n/(z-a)ⁿ+...+C_-1/(z-a) (главная часть). Правильная часть - степенной ряд с некоторым кругом сходимости z-aR, причем в каждом замкнутом мн-ве внутри этого круга ряд сходится равномерно. Главная часть подстановкой 1/(z-a) = переводится в степенной ряд

С_-1+С_-2²+...+C_-nⁿ+... с некоторым кругом сходимости , причем в каждом замкнутом мн-ве внутри этого круга сходимость равномерная. Но   1/(z-a)  z-a1/.

Cлед-но, сама главная часть сходится вне круга радиуса r=1/ с центром z=a, причем в каждом замкнутом мн-ве сходимость равномерная. Если rR, то пересечение областей z-ar, z-aR не пусто, и кольцо rz-aR явл-ся областью сходимости ряда Лорана. В каждом замкнутом мн-ве Е внутри кольца ряд Лорана сходится равномерно. На границах кольца в разных точках ряд может сходится или расходится.

Т-ма о единственности разложения в ряд Лорана. Если f(z) разлагается в кольце rz-aR в ряд Лорана по степеням z-a, то это разложение единственно.

• Пусть (z, rz-aR)[f(z) =(от n=- до )C_n(z-a)ⁿ]. Проведем в кольце окружность  ={z: z-a =}. Это замкнутое

мн-во (т.е. содержит все свои предельные точки), поэтому на  ряд сходится равномерно.

Умножим его на функцию 1/(z-a)^k+1 (kZ). Она ограничена по модулю на окружности : 1/(z-a)^k+1 =1/z-a^k+1 =1/^k+1=const

Поэтому согласно т-ме об ограниченном множителе получим равномерно сходящийся на  ряд: f(z)/(z-a)^k+1 =

=(от n=- до )C_n(z-a)ⁿ/(z-a)^k+1 =(от n=- до )C_n/(z-a)^-n+k+1. Его члены C_n/(z-a)^-n+k+1C() (т.к. точка разрыва z=a - вне ) и по т-ме о почленном интегрировании ряд можно почленно интегрировать вдоль : (по )f(z)dz/(z-a)^k+1 =(от n=- до )C_n(по )dz/(z-a)^-n+k+1. Как видно, интеграл справа при -n+k+11 (т.е. nk) равен нулю, а при -n+k+1=1 (т.е. n=k) равен 2i

Значит, в сумме справа остается только один член с номером n=k, равный C_k2i: (по )f(z)dz/(z-a)^k+1 =C_k2i  C_k = =1/(2i)(по )f(z)dz/(z-a)^k+1 (k=+-0,1,2,...). Т.о., коэффициенты C_k ряда Лорана вычисляются единственным образом по этой формуле. 

Критерий разложимости в ряд Лорана. [f(z) разлагается в кольце К={z: rz-aR} в ряд Лорана по степеням z-a] 

 [f(z)H(K)].

•  Пусть (zK)[f(z) =(от n=- до )C_n(z-a)ⁿ]. Возьмем произвольную односвязную область GK. На каждом замкнутом мн-ве Е внутри G ряд сходится равномерно, а члены ряда C_n(z-a)ⁿ (C_-k/(z-a)^k, C_k(z-a)^k) аналитичны в G (особая точка z=a вне G).

Значит, по т-ме Вейерштрасса об аналитичности суммы ряда, f(z)H(G). Т.к. G была взята произвольно, то f(z)H(K).

• Пусть f(z)H(K), и z - фиксированная точка внутри К. Проведем окружность К c центром z. В замкнутом круге с границей  функция f(z) аналитична, и по интегральной формуле Коши f(z) =1/(2i)(по )f()d/(-z). Образуем трехсвязную область с границами , ₁ ={: -a=₁}, ₂ ={: -a=₂}, r₁₂R ( внутри ₂, вне ₁).

Здесь функция () =f()/(-z) аналитична (особая точка =z вне области), и по интегральной т-ме Коши для многосвязной области: 1/(2i)(по ₂)f()d/(-z) =1/(2i)(по )f()d/(-z) + 1/(2i)(по ₁)f()d/(-z)  f(z) = =1/(2i)(по ₂)f()d/(-z) - 1/(2i)(по ₁)f()d/(-z). Для первого слагаемого z и a содержатся внутри ₂, как и в критерии разложимости в степенной ряд, поэтому воспользуемся результатом этой т-мы: 1/(2i)(по ₂) =(от n=0 до )C_n(z-a)ⁿ, где C_n =1/(2i)(по ₁)f()d/(-a)ⁿ⁺¹. (n=0,1,2,...) (1). Разложим второе слагаемое: 1/(-z) =1/((-a)-(z-a))= =вынесем разность с большим модулем для ₁: z-a-a  =-1/(z-a)1/(1-(-a)/(z-a)) =сумма геометрического ряда с q=(-a)/(z-a), q =-a/z-a1 =-1/(z-a)(1+(-a)/(z-a)+((-a)/(z-a))²+...) =-1/(z-a) (от k=0 до )((-a)/(z-a))ⁿ. Как и в критерии радложимости в степенной ряд, этот ряд мажорируется на окружности ₁ и потому сходится равномерно. После умножения на f(), ограниченную по модулю на ₁ равномерная сходимость сохраняется , и можно ряд почленно интегрировать вдоль ₁: 1/(2i)(по ₁)f()d/(-z) =1/(2i)(-1/(z-a) (от k=0 до )(по ₂)f()/(z-a)^k(-a)^kd =-(от k=0 до )(1/(2i)(по ₂)f()d/(-a)^-k)(z-a)^-(k+1) =перенумеруем: -(k+1)=n, -k=n+1, при k=0 n=-1, при k= n=- =-(от n=-1 до -)(1/(2i)(по ₂)f()d/(-a)ⁿ⁺¹)(z-a)ⁿ =-(от n=-1 до -)C_n(z-a)ⁿ, где C_n =1/(2i)(по ₂)f()d/(-a)ⁿ⁺¹ (n=-1,-2,...) (2). В интегралах (1) и (2) f()/(-a)ⁿ⁺¹H(K) (т.к. =aK), и на основании интегральной т-мы Коши для двусвязной области контуры интегрирования ₁ и ₂ можно заменить на произвольную замкнутую кусочно-гладкую кривую К. Итак, (zK)[f(z) =(от n=- до )C_n(z-a)ⁿ], где C_n =1/(2i)(по )f()d/(-a)ⁿ⁺¹ (n=+-0,1,2,...),  - произвольная кусочно-гладкая замкнутая кривая в К. 