5.1.Интеграл от функции комплексного переменного.

Пусть на кривой  задана функция w=f(z).

Определение: Если при =max{z_k}0 сущ-ет конечный предел I =lim(при 0)(от k=1 до n)f(_k)z_k, не зависящий от способа разбиения кривой  и выбора точек _k(дуге)z_k-1z_k, то он наз-ся интегралом от f(z) по кривой : (по )f(z)dz = =lim(при 0)(от k=1 до n)f(_k)z_k. (криволинейный или контурный интеграл).

Т-ма о существовании и вычислении интеграла. [ ={z: z=z(t), t[a, b]} кусочно гладкая, f(z) =u(x,y)+iv(x,y)C()] 

[(по )f(z)dz сущ-ет и выражаем через криволинейные интегралы 2-го рода от действительной и мнимой частей u и v по формуле (по )f(z)dz =(по )(udx-vdy) + i(по )(vdx+udy) (1) и через определенный интеграл от комплекснозначной функции действительного переменного по формуле (по )f(z)dz =(от a до b)f(z(t))z`(t)dt (2)] (формально (1) можно получить, если в записи (по )f(z)dz =(по )(u+iv)(dx+idy) определить действительную и мнимую части, (2) формально получается подстановкой z=z(t)).

 (от k=1 до n)f(_k)z_k =пусть _k =_k+i_k, тогда f(_k) =u(_k,_k)+iv(_k,_k) =[u(_k,_k)+iv(_k,_k)](x_k+iy_k) =

=(u(_k,_k)x_k-v(_k,_k)y_k) + i(v(_k,_k)x_k+u(_k,_k)y_k). Получились интегральные суммы для криволинейных интегралов 2-го рода (по )u(x,y)dx - v(x,y)dy и (по )v(x,y)dx+u(x,y)dy. Эти интегралы сущ-ют, т.к.  - кусочно-гладкая и u(x,y), v(x,y)C(), значит, при  =max{z_k}0 получаем равенство (1). По способу вычисления криволинейного интеграла 2-го рода, имеем: (по )(udx-vdy) + i(по )(vdx+udy) =подстановка x=x(t), y=y(t) из уравнения z =z(t) =x(t)+iy(t) =

=(от a до b)[u(x(t),y(t))x`(t)-v(...)y`(t)]dt+i(от a до b)[v(...)x`(t)+u(...)y`(t)]dt =(от а до b)[(ux`-vy`)+i(vx`+uy`)]dt =

=(от а до b)[u(x(t),y(t))+iv(...)][x`(t)+iy`(t)]dt =(от а до b)f(z(t))z`(t)dt  (2) 

Благодаря равенству (1) на интеграл (по )f(z)dz распространяются все св-ва криволинейных интегралов 2-го рода. Добавим св-во: (z)[f(z)M]  [(по )f(z)dzMдлина ] (оценка модуля)

 (от k=1 до n)f(_k)z_k f(_k)z_k Mz_k Mдлина . (z_k - длина вписанной ломанной длина ). При

=max{z_k}0 в пределе получаем требуемое неравенство. 

Пример 1: Для любых a, bC (от а до b)dz =b-a по любому пути . Действительно, (от а до b)dz =(от а до b)1dz =

=lim(при 0)1z_k =lim[(z₁-z₀)+(z₂-z₁)+...+(z_n-z_n-1)] =lim(z_n-z₀] =b-a.

Пример 2: (по замкнутому z-z₀=R)dz/(z-z₀)ⁿ ={0, при nZ, n1; 2i, при n=1. (по замкнутому z-z₀=R)dz/(z-z₀) =2i. (независимо от радиуса R).

Для z: z-z₀=R, Arg(z-z₀)=t, t[0, 2], так что z-z₀ =Re^it  z=z₀+Re^it. При n1: (по ) =z=z₀+Re^it; dz=iRe^itdt =

=(от 0 до 2)iRe^itdt/(Rⁿe^int) =i/R^n-1(от 0 до 2)e^i(1-n)tdt =i/R^n-1(от 0 до 2)[cos(1-n)t+isin(1-n)t]dt =1-n0 =

=i/R^n-1[sin(1-n)t/(1-n) - icos(1-n)t/(1-n)] (от 0 до 2) =0. При n=1: (по ) =(от 0 до 2)iRe^itdt/(Re^it) =i(от 0 до 2)dt=2i

Интегральная т-ма Коши.

Т-ма Коши для односвязной области. Если функция f(z) аналитична в односвязной области G, то интеграл по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой G равен нулю: (по )f(z)dz =0 (т.е. интеграл (от z₁ до z₂)f(z)dz не зависит от формы кусочно-гладкого пути G, соединяющего точки z₁, z₂G).

 Для упрощения док-ва добавим условие: f `(z)C(G) (т-ма верна и без этого условия). Тогда согласно формулам

f `(z) =ðu/ðx+iðv/ðx =... все частные производные ðu/ðx, ðv/ðx, ðu/ðy, ðv/ðyC(G). Кроме того f(z)=u+ivC(G)  u(x,y), v(x,y)C(G). При этих условиях для интегралов (по )udx-vdy и (по )vdx+udy в равенстве (1) т-мы о сущ-ии и вычислении интеграла верна формула Грина: (по )udx-vdy =(по D)(ðQ₁/ðx-ðP₁/ðy)dxdy =(по D)(-ðv/ðx-ðu/ðy)dxdy, (по )vdx+udy =

=(по D)(ðQ₂/ðx-ðP₂/ðy)dxdy =(по D)(ðu/ðx-ðv/ðy)dxdy. Но f(z)H(G)  ðu/ðy =-ðv/ðx, ðu/ðx =ðv/ðy  интегралы равны нулю. Т.о. (G)[(по )f(z)dz =(по )udx-vdy+i(по )vdx+udy =0] 

Т-ма Коши для многосвязной области. Если f(z) аналитична в многосвязной области и на ее границах, то интеграл по внешней границе равен сумме интегралов по внутренним границам (при одинаковом обходе границ).



Пусть при обходе внутренности всех границ остаются слева. Проведем разрезы A₁B₁,...,A_kB_k,...,A_nB_n. Получим односвязную область с одной границей Г=(A₁B₁)(-₁)(B₁A₁)(A₁A₂)...(A_nB_n)(-_n)(B_nA_n)(A_nmA₁). В этой области f(z) аналитична, и по предыдущей т-ме (по Г)f(z)dz=0. Но (по Г)=(по А₁В₁)+(по -₁)+(по В₁А₁)+(по А₁А₂)+...+(по A_nB_n)+

+(по -_n)+(по B_nA_n)+(по A_nmA₁) =(по -₁)+...+(по -_n)+(по )  (по -₁)+...+(по -_n)+(по )=0  (по ) =

=(по ₁)+...+(по _n) 

Cледствие: Если f(z) аналитична в двусвязной области G и на ее границах  и ₁, то (по )f(z)dz =(по ₁)f(z)dz (при одинаковом обходе  и ₁).

Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть в области G задана такая функция f(z), что (от z₀ до z)f(z)dz не зависит от выбора кусочно-гладкого пути G, соединяющего любые точки z₀, zG (т.е. (по )f(z)dz по любому замкнутому кусочно-гладкому пути G равен нулю). Если точка z₀ закреплена, то получаем функцию от z: (от z₀ до z)f(z)dz =Ф(z). (1)

Т-ма об аналитичности интеграла с переменным верхним пределом.

Если f(z)C(G) и интеграл (1) не зависит от выбора кусочно-гладкого пути G, соединяющего точки z₀, zG, то этот интеграл явл-ся аналитической функцией в области G, причем (zG)[Ф`(z) =((от z<sub>0</sub> до z)f()d)`_z =f(z)], т.е. Ф(z) есть первообразная для f(z) в области G.

 Док-во, как и для функции одного действительного переменного. 

Если F(z) - первообразная для f(z) в области G, то и F(z)+C - тоже первообразная, т.к. (F(z)+C)` =F `(z)+0 =f(z). Покажем, что любые две первообразные F₁, F₂ отличаются на постоянную. Обозначим F₁(z)-F₂(z) =F(z) =U(x,y)+iV(x,y). Тогда

F `(z) =F<sub>1</sub>`(z)-F₂`(z) =f(z)-f(z) =0, а с другой стороны F `(z) =ðU/ðx+iðV/ðx =ðV/ðy-iðU/ðy. Значит, ðU/ðx=0, ðU/ðy=0   U не зависит ни от x, ни от y  U=C₁. ðV/ðx=0, ðV/ðy=0  V=C₂, F(z) =C₁+iC₂ =C  F₁(z)-F₂(z) =C, ч.т.д. Т.о., мн-во всех первообразных (неопределенный интеграл) имеет вид: F(z)+C, где F(z) - любая конкретная первообразная, а С - произвольная постоянная. 

Т-ма Ньютона-Лейбница.

Пусть f(z)C(G) и интеграл (от z₀ до z)f(z)dz не зависит от выбора кусочно-гладкого пути G, соединяющего z₀, zG. Тогда, если F(z) - какая-либо первообразная для f(z) в области G, то (от z₀ до z)f(z)dz =F(z)-F(z₀) =F(z) (от z₀ до z).

 Док-во дословно как для функции одного действительного переменного. 

Замечание: Утверждения предыдущих двух т-м тем более справедливы для функции f(z), аналитической в односвязной области G, т.к.такая функция непрерывна в G и согласно интегральной т-мы Коши интеграл от нее не зависит от выбора пути.

Пример: f(z) =z²H(C)  (от 0 до i)z²dz =z³/3 (от 0 до i) =i³/3 =-i/3 (по любому пути от 0 до i).