14.

Прямые ax – 2y – 1 = 0

и

–6x

+

4y –

b = 0

совпадают,

если a и b соответственно

равны _______________________________.

15.

Площадь

треугольника,

которая

отсекается

плоскостью

5x −6 y +3z +120 = 0

от

координатного

угла

OXY

равна

1. 480

2. 400

3. 240

4. 120

5. 200.

16.

Если

точка

M,

лежащая

на оси OZ

равноудалена

от плоскостей

2x + 2y – z – 1 = 0 и 2x – y + 2z +2 = 0, то ее координаты равны ________.

17.

Параметрические

уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

М0 (2;-3;-5) перпендикулярно к плоскости 6x – 3y – 5z + 2 = 0

имеют вид ______________________.

18.

Прямая

3x − 2 y + z + 3 = 0

параллельна

плоскости

4x − 3y + 4z +1 = 0

2x - y + Сz – 2 = 0

если

C

равно

1. 1

2. 2

3. 0

4. -2

5. -1.

19.

Через

фокус

эллипса

x2

+

y 2

=1

проведен

перпендикуляр

25

15

1. 7.

2. 5.

3. 3.

4. 6.

5. 10.

20. Фокусы

гиперболы

16x 2 − 9 y 2 = −144

лежат на оси ________, и

расстояние между ними равно __________________________.

31.

1.

Точной

нижней

гранью

множества

X

называется

число m

такое,

что __________________________.

2.

Последовательность

{an }∞n=1

называется

ограниченной

сверху,

если __________________________.

3.

Запись

lim an = - ∞,

по определению (через M,N), означает, что _______.

n→∞

4.

Если

последовательность {an }∞n=1

является бесконечно малой, причем

an ≠0

для

любого n,

тогда

lim

1

_____________________.

n→∞ an

6. Если x = f −1( y) является функцией, обратной к функции

y = f ( x ), то

функция f ( f −1( y)) равна __________________________.

9.

Функция

y = f ( x ) называется

непрерывной

справа в

точке x0 ,

если для любого ε>0 ___________________________.

10.

Точка

x0 называется точкой

устранимого

разрыва

функции

y = f ( x ), если ____________________________.

11.

Если

функция y = f ( x )

монотонно

возрастает на интервале (a,b) и

sup

f = M

( M = const ),

то

lim

f(x)__________________________.

x (a,b)

x→b−0

12.

Первый

замечательный

предел

–

это __________________________.

Доказательство: _________________________.

2

π

π),

19. Функция

f(x) = (1 + sin x) x

,

если

x (−

;0)

U(0;

будет

,

если

x = 0,

2

2

A

непрерывной

в точке

x = 0

при

A,

равном _____________________.

−

1

20. Для функции

x+2 в точке x = -2 односторонние

пределы

y = 5

равны ____________________ и ___________________, точка

x = -2

является точкой

разрыва ___________________ рода.

(какого?)

32.

2.

Последовательность {an }∞n=1 называется возрастающей, если ____________.

3.

По

определению,

предел

последовательности

{an }∞n=1

равен

бесконечности ( lim an

= ∞ ) , если ________________________.

n→∞

4.

Если последовательность

{an }∞n=1 возрастает, то ее неограниченность

означает, что

lim

an _________________________.

n→∞

{an }∞n=1 является

бесконечно малой, а {bn }∞n=1 -

5.

Если

последовательность

ограниченной, то

lim

a

n

b

__________________________.

n→∞

n

6.

Если

lim a

n

= lim b =

A

и

a

n

≤с

n

≤ b

n

, то

последовательность

n→∞

n→∞

n

7.

Функция y = f (x) называется убывающей на множестве X, если ________.

8.

Число

A называется пределом функции

y = f (x)

на + ∞

( lim

f (x) =A) , если __________________________.

x→+∞

12.

По

теореме

о

пределе

произведения

функций,

если lim f (x) =A,

x

→a

lim g(x) =B , то ___________________. Доказательство: ________________.

x→a

13.

Последовательность

{an }∞n=1 ,

an = sin

nπ

,

является

2

А. Возрастающей

Б. Убывающей

В. Немонотонной.

(Ответ обосновать ).

14.

lim

n5 + 2

равен

(3n2 − n)5

n→∞

1. 1

2. 1/3

3. 0

4. 1/4

5. ∞.

15.

lim

x3 −8

равен _____________________________________.

x2 − 4

x→2

x

3

x2

16.

lim

−

равен

2x2

x→∞

+1

2x −1

1. 0

2. -1/2

3. -1/3

4. -1/4

5. ∞.

17.

lim x ctg 2x

равен _____________________________________.

x→0

1

18.

lim (cos x) x 2

равен

x→0

1. 1

2. e

3. 1/ e

4.

e

5. ∞.

2

lnx

19.

Функция

f (x) =

,

если

x (0,1) U (1,∞),

x −1

A,

если

x =1,

будет непрерывной в точке

x = 1 при A, равном _______________.

1

20.

Для

функции

y = 31−x

в

точке

x = 1 односторонние

пределы

33.

1.

Последовательность

{an }∞n=1

называется

ограниченной

снизу,

если __________________________.

2.

По

определению

( через окрестность точки A ), число A

называется

пределом

последовательности

{an }∞n=1 , если ________________________.

3.

Для

сходимости

монотонной

последовательности

достаточно

( и необходимо ),

чтобы

она

была ___________________________.

4.

Если

последовательность

{an }∞n=1 убывает,

то

ее

неограниченность

означает, что lim an

__________________________.

n→∞

5.

Если последовательность {an }∞n=1

является

бесконечно

большой,

причем an ≠ 0 для

любых n. Тогда

lim

1

_________________________.

n→∞ an

6.

По

определению

(

на языке

ε −δ ), число

A

называется

пределом

функции

y = f (x)

в

точке

x0 ,

если _________________________.

7.

По определению (на языке

ε-M) ,

lim

f (x) = A, если __________________.

x→∞

8.

Если

функция f(x)

является

бесконечно малой

в точке x0,

а функция

g(x)

ограниченной

в окрестности

точки

x0,

x

≠ x0 , то

lim

f (x) g(x) _________________________.

x→x0

9.

Обозначение f(x)=o(g(x)) при

x → x0

означает, что ___________________.

10.

Формулировка теоремы

о

непрерывности

сложной

функции

такова ___________________________.

11.

Точка x0 называется точкой

разрыва второго

рода

функции

y=f(x),

если ___________________________.

12.

Пусть

f (x) ≤ z(x) ≤ g(x)

при

x (a −δ; a + δ)

,

x ≠ a ,

δ>0 и

lim f (x) = lim g(x) = A, тогда

lim z(x) __________________________.

x→a

x→a

x→a

Доказательство: ____________________________.

13.

Последовательность

{an }∞n=1 ,

an =(-1)n

cos

nπ

,

является

2

А. Возрастающей

Б. Убывающей

В. Немонотонной.

(Ответ обосновать ).

14.

lim

n4 − n2 +1

равен

(n + 3 n)2

n→∞

1. 1

2. 1/2

3. 0

4. 4

5. ∞.

15.

lim

x3 −1

равен ___________________________.

x→1 x2 +3x − 4

16.

1

−

2

lim

равен

1 − x

− x2

x→1

1

1. -1

2. 0

3. 3

4. -1/2

5. ∞.

17.

lim 1 − cos x

равен ___________________________.

x→0

sin 2x

18.

lim

ln(1 − 2x)

равен ___________________________.

tg

x

x→0

1. 1

2. 0

3. -2

4. -4

5. ∞.

πx)

1

20.

Для

функции f(x)= (1 +sin

1−x

в

точке x =1

односторонние пределы

2

точка x = 1

равны _______________________ и _____________________, а

является

точкой

разрыва ___________________________________ рода.

(какого?)

34.

1.

По

определению

(

на языке

ε-N ),

число A называется

пределом

последовательности

{an }∞n=1 ,

если _____________________________.

2.

Последовательность

{an }∞n=1

называется

бесконечно

малой,

если _____________________________.

3.

Если αn

n→→∞ A , то αn = A+ αn , где

αn

является ______________________.

4.

Если последовательность {an }∞n=1

является бесконечно большой, а {bn }∞n=1

такова, что

bn

≥

an

для

любых n,

тогда предел последовательности

lim b

_____________________________.

n→∞ n

5.

Функция

y = f (x) называется

возрастающей на

множестве X,

если ______________________________.

6.

Число

A

называется

пределом

функции

y= f (x)

в

точке

a

справа

(

lim

f (x) =A

),

если _____________________________.

x→a +0

f (x)

7.

Если

lim

f (x) = 0 ,

lim g(x) = C

,

C ≠0,

то

функция

g(x)

x→a

x→a

является ____________________________.

8.

Вторым

замечательным пределом

называется ______________________.

9.

Функция

y= f (x)

называется

непрерывной

в

точке

a ,

если _____________________________.

10.

Если y = f(x)

непрерывна на [a, b],

а m и M- соответственно наименьшее

и наибольшее значения этой функции,

то ___________________________.

11.

Если y = f (x) является бесконечно малой в точке x0, причем

f (x) ≠ 0 при

x ≠x0 ,

тогда

lim

1

_____________________________.

f (x)

x→x0

12.

По теореме

о предельном переходе в неравенстве,

если

f (x) < g(x) в

окрестности точки a, x ≠ a и lim f (x) =A , lim g(x) =B, то _____________.

x→a

x→a

Доказательство: _______________________________.

13.

Последовательность

{a

n

}∞

,

an = (−1)n ( n +1 − n)

является

n=1

А. Ограниченной сверху Б. Неограниченной сверху

В. Неограниченной

(Ответ обосновать) .

14.

lim

n3 −1 +

2n

равен

(

n +1)3

n→∞

5. ∞

1. 1

2. 2

3. 3

4. 0

15.

lim

x2 −1

равен ______________________________.

x→1 x2 + 2x −3

16.

lim (

x +1 −

x) равен

x→+∞

1. 1

2. 1/2

3. 0

4.

2

5. ∞

17.

lim

arcsin 5x

равен ________________________________.

x→0

tg x

18.

lim

x

3x

равен

x→+∞ x +

2

1. 1

2. e

3. e--6

4. e--3

5. ∞

ln(1 + 4x)

1

19. Функция

x

,

если

x (−4

;0) U(0;+∞),

будет

f (x) =

если

x = 0,

A,

непрерывной

в точке

x = 0

при

A, равном ___________________.

20.

Для

функции

y = x sin

1

в

точке

x = 0

односторонние

x2

пределы

равны____________ и __________, точка x = 0 является точкой

разрыва________________ рода.

(какого?)

35.

1.

Множество

M ограничено

сверху. По определению ,

точная

верхняя

грань

(sup M ) – это ___________________________________________.

2.

По определению,

последовательность {an }∞n=1

называется

бесконечно

большой (

lim an = ∞) , если _____________________________.

n→∞

{an }∞n=1

3. Если

последовательность

возрастает и ее точная

верхняя

грань

sup an = A < +∞ ,

то

предел

последовательности _____________.

4.

Даны

две

сходящиеся

последовательности:

an → A,

bn →B .

Предел

последовательности

{an + bn }

равен ______________________.

5.

Даны

сходящиеся

последовательности: lim

a

n

= A, lim b = B ,

причем

an <bn для любых n = 1,2K, тогда

n→∞

n→∞

n

1. A < B

2. A ≤ B

3. A = B

4. A < B

или

A ≥ B.

7.

По определению на языке последовательностей,

lim f (x) = A если_______.

8.

y = f (x) является

x→+∞

По определению,

функция

бесконечно большой при

x → a + 0 , если _______________________________.

9.

Если

функции

f (x),

g(x), h(x) удовлетворяют

неравенствам

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) при 0 <

x − a

< δ, lim f (x) = lim h(x) =A, то __________.

10.

x→a

x→a

Первый

замечательный

предел - это ____________________________.