1 Исследование задачи оптимального распределения ресурсов

1.1 Задание

В организации имеется возможность выпускать n видов изделий . При их изготовлении используются ресурсы . Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами . Расход ресурса - го вида на единицу изделия -го вида составляет ден. ед. Цена единицы продукции -го вида равна . Требуется найти оптимальный план выпуска изделий, который обеспечивал бы организации максимальный доход.

1. Построить математическую модель задачи распределения ресурсов (ПЗЛП).

2. Построить двойственную задачу (ДЗЛП) к задаче распределения ресурсов, дать экономическую интерпретацию, переменных, целевой функции, ограничений.

3. Двойственным симплекс-методом найти оптимальные решения прямой и двойственной задач, пояснить экономический смысл всех переменных.

4. С помощью двойственных оценок обосновать рациональность оптимального плана, сопоставив стоимость затрат израсходованных ресурсов и максимальный доход от реализации всех изделий и по каждому изделию отдельно.

5. Найти границы изменения дефицитных ресурсов, в пределах которых не изменится структура оптимального плана.

6. Уточнить значения недефицитных ресурсов, при которых оптимальный план не изменится.

7. Найти границы изменения цены изделия каждого вида, в пределах которых оптимальный план не изменится.

8. Определить величину ресурса , введением которого в производство можно компенсировать убыток и сохранить максимальный доход на прежнем уровне (ресурсы предполагаются взаимно заменяемыми), получаемый при исключении из производства единиц ресурса , что вызывает уменьшение максимального дохода на ед.

9. Оценить целесообразность приобретения единиц ресурса по цене за единицу.

10. Установить, целесообразно ли выпускать новое изделие , на единицу которого ресурсы расходуются в количествах единиц, а цена единицы изделия составляет единиц.

11. Решить задачу с помощью программы Simplex Solver, в среде Microsoft Excel, приложить отчеты, провести вычислительный эксперимент для уточнения границ изменения ресурсов и цен.

1.2 Алгоритм двойственного симплекс-метода

1. Выбор разрешающей строки.

   1. Находим отрицательный элемент в строке .

   2. В столбце над этим найденным элементом выбираем любой положительный элемент, эта строка – разрешающая, переход на пункт 2.

   3. Если в столбце над найденным элементом нет положительных элементов, то ПЗЛП не имеет смысла, а ДЗЛП не имеет решения, переход на пункт 10.

2. Выбор разрешающего столбца.

   1. Элементы строки делим на соответствующие элементы разрешающей строки под переменными.

   2. Из полученных отношений выбираем максимальное отрицательное отношение, этот столбец – разрешающий, переход на пункт 2.4 (максимальным из отрицательных отношений может быть отношение - отрицательный ноль).

   3. Если среди полученных отношений нет отрицательных, то ПЗЛП не имеет решения, ДЗЛП не имеет смысла или решения, переход на пункт 10.

   4. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца получен разрешающий элемент.

3. Заполнение нижних частей клеток таблицы.

   1. Под разрешающим элементом всегда ставим «1».

   2. Остальные элементы разрешающей строки переписываются без изменений.

   3. Остальные элементы разрешающего столбца переписываются с противоположным знаком.

   4. Остальные элементы таблицы находим по правилу прямоугольника:

искомый элемент умножаем на разрешающий и из этого произведения вычитаем произведение элементов, расположенных на противоположной диагонали прямоугольника, образуемого искомым и разрешающим элементами (все элементы из верхних клеток).

4. Построение новой симплекс-таблицы.

   1. Меняем местами переменные из разрешающей строки и разрешающего столбца.

   2. Элементы из нижних клеток предыдущей симплекс-таблицы делим на верхний разрешающий элемент и записываем на соответствующие места в верхние клетки новой симплекс-таблицы.

5. Если в новой таблице в строке есть отрицательные элементы то переходим на пункт 1. (Нецелесообразно выбирать за разрешающую строку – те же строки, что и на предыдущих шагах).

6. Нахождение допустимого (одновременно оптимального) решения прямой задачи.

   1. Если в новой таблице в строке нет отрицательных элементов, а в столбце свободных членов остались отрицательные элементы, то строка с отрицательным значением выбирается за разрешающую.

   2. Переход на пункт 2.

7. Если в новой симплекс-таблице в строке и столбце нет отрицательных элементов, то найденное решение является оптимальным.

8. Если в строке есть нулевой элемент, то это признак альтернативного оптимума для ПЗЛП. Для нахождения альтернативного решения выполняется еще один шаг симплекс-метода.

   1. Столбец с нулевым элементом в строке выбирается за разрешающий.

   2. Находится неотрицательные отношения столбца свободных членов к соответствующим элементам разрешающего столбца.

   3. Из полученных отношений выбирается минимальное неотрицательное отношение – это разрешающая строка, разрешающий элемент найден.

   4. Переход на пункт 3.

9. Если в столбце есть нулевой элемент, то это признак альтернативного оптимума для ДЗЛП. Для нахождения альтернативного решения выполняется еще один шаг симплекс-метода.

   1. Строка с нулевым элементом в столбце выбирается за разрешающую.

   2. Переход на пункт 2.

10. Конец.