Замечание

Значение α (или β) вычисляется по распределению вероятностей критической статистики в предположении, что неизвестное распределение вероятностей генеральной совокупности отвечает гипотетически верному утверждению H₀ (или H₁):

;

.

Вероятности ошибок первого и второго рода для любых гипотез и критериев находятся при разных предположениях о неизвестном распределении, что исключает наличие не зависящих от вида гипотез и вида критерия фиксированных соотношений между ними.

Пример

Имеется выборка (x₁) единичного объема из генеральной совокупности, распределенной по закону N(µ,1) с неизвестным параметром µ.

Проверяется простая гипотеза H₀: µ=0.

Для проверки основной гипотезы используется критерий K, согласно которому гипотеза H₀ не отвергается, если выборочное значение x не превосходит некоторой константы c.

В данном случае в соответствии с приведенными условиями:

• альтернативой служит сложная гипотеза H₁: µ≠0;

• статистика применяемого критерия имеет вид K(x₁)=x₁;

• распределение вероятностей значений статистики критерия совпадает с распределеним исходной генеральной совокупности;

• критическая область есть полубесконечный интервал ;

• вероятность α ошибки первого рода вычисляется по распределению N(0,1) - распределению статистики критерия, соответствующему основной гипотезе H₀, следовательно,

,

где Φ(c) - значение функции Лапласа для константы c;

• вероятность β ошибки второго рода находится по распределению N(µ,1) - распределению статистики критерия, отвечающему альтернативной гипотезе H₁:

.

Геометрически величины α и β равны площадям окрашенных фигур на следующем рисунке.

С возрастанием константы c вероятность α ошибки первого рода уменьшается, при этом вероятность β ошибки второго рода возрастает.

Наблюдается типичная для критериев тенденция:

при попытке изменить критерий с целью уменьшения вероятности одной из его возможных ошибок вероятность другой ошибки, как правило, увеличивается, т.е. снижение уровня значимости критерия приводит к снижению его мощности.

Поиск критерия, обладающего среди всех прочих критериев наименьшими ошибками, как первого, так и второго рода одновременно, в общем случае заведомо обречен на неуспех.

28. Основные меры качества статистического критерия, сравнение критериев по данным мерам. Оптимальные статистические критерии: минимаксный, Бейеса.

Рассматриваются критерии K₁, K₂ с вероятностями ошибок первого и второго рода α₁, α₂ и соответственно β₁, β₂.

Минимаксный критерий

Критерий K₁ считается не хуже критерия K₂ в смысле минимаксного подхода, если

.

Качество таких критериев при их сравнении измеряется величиной . Полагается, что чем меньше наибольшая из вероятностей ошибок первого и второго рода, тем лучше критерий.

Критерий K^(mM) называют минимаксным критерием, если он не хуже любого другого критерия в смысле минимаксного подхода.

Минимаксный критерий имеет самую малую «наибольшую» (по мере ) ошибку среди всех прочих критериев.

Критерий Бейеса

Применяется в случаях:

а) если известно априори, что с вероятностью r справедлива гипотеза H₀, а с вероятностью s=1-r - гипотеза H₁;

б) когда задана линейная «функция потерь»: потери от ошибочного решения равны r, если происходит ошибка первого рода, и равны s, если совершается ошибка второго рода.

Критерий K₁ считается не хуже критерия K₂ в смысле бейесовского подхода, если

.

Качество сопоставляемых критериев при этом подходе оценивается величиной rα+sβ, равной вероятности ошибки критерия в случае (а) или математическому ожиданию потерь в случае (б).

Критерий K^(В) называют критерием Бейеса, если он не хуже любого другого критерия в смысле бейесовского подхода.

Критерий Бейеса имеет самую малую «средневзвешенную» (по мере rα+sβ) ошибку среди всех прочих критериев.

29. Критерий, наиболее мощный среди статистических критериев заданного уровня значимости. Определяющие условия для критической области наиболее мощного критерия.

30. Критерий отношения правдоподобия. Лемма Неймана – Пирсона.

31. Этапы проверки статистической гипотезы с помощью критерия заданного уровня значимости.

32. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания (генеральной средней) нормального распределения при известной и неизвестной генеральной дисперсии.

33. Проверка гипотез о числовом значении дисперсии нормального распределения.

34. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности (генеральной доли признака) - параметра биномиального распределения.

35. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей (генеральных долей признака) для двух биномиально распределенных генеральных совокупностей.

36. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных распределений при известных дисперсиях.

37. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных распределений при неизвестных, но равных генеральных дисперсиях.

38. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

39. Основной подход к созданию критериев, используемых для проверки гипотезы о законе распределения вероятностей.

40. Критерий согласия Пирсона.

41. Критерий согласия Колмогорова.

42. Предмет дисперсионного анализа.

43. Однофакторный дисперсионный комплекс. Предпосылки однофакторного дисперсионного анализа. Однофакторные дисперсионные модели: детерминированная, случайная.

44. Разложение выборочной дисперсии однофакторного дисперсионного комплекса. Таблица однофакторного дисперсионного анализа.

45. Проверка основной гипотезы однофакторного дисперсионного анализа. Тестирование пар уровней фактора.

46. Проверка гипотезы о равенстве генеральной средней результативного признака заданному значению при осуществлении однофакторного дисперсионного анализа.

47. Несмещенные точечные оценки факторной, остаточной и общей дисперсии результативного признака. Доверительный интервал для остаточной дисперсии.

48. Двухфакторный дисперсионный комплекс. Предпосылки двухфакторного дисперсионного анализа. Двухфакторные дисперсионные модели: детерминированная, случайная, смешанная.

49. Основное тождество двухфакторного дисперсионного комплекса. Таблица двухфакторного дисперсионного анализа.

50. Проверка основных гипотез двухфакторного дисперсионного анализа. Статистики критерия Фишера для различных типов модели.

51. Предмет корреляционного анализа. Основные предпосылки корреляционного анализа.

52. Понятие «корреляционная зависимость случайной величины от других переменных». Уравнение и функция регрессии. Линейная корреляционная зависимость.

53. Равносильность понятий «некоррелированность» и «стохастическая независимость» для случайных величин, совместное распределение которых подчинено нормальному закону (Гаусса).

54. Парный коэффициент корреляции и парный коэффициент детерминации как меры тесноты связи между двумя случайными величинами.

55. Двумерная корреляционная модель. Уравнения линейной парной регрессии.

56. Корреляционное поле. Корреляционная таблица. Точечные оценки параметров двумерного нормального распределения.

57. Проверка (в рамках двумерного корреляционного анализа) гипотезы об отсутствии стохастической зависимости между двумя случайными величинами.

58. Интервальное оценивание парного коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии при осуществлении двумерного корреляционного анализа.

59. Задачи многомерного корреляционного анализа. Корреляционная матрица, выборочная корреляционная матрица. Свойства корреляционных матриц.

60. Частные коэффициенты корреляции и детерминации. Их значение и свойства.

61. Множественные коэффициенты корреляции и детерминации. Их значение и свойства.

62. Проверка значимости частного и множественного коэффициентов корреляции.

63. Интервальная оценка частных коэффициентов корреляции.

64. Уравнения регрессии в случае трехмерной корреляционной модели.

65. Предмет и задачи регрессионного анализа.