Пример простой статистической гипотезы

Н: "Наблюдаемый признак распределен равномерно на [0;1]".

Сложной статистической гипотезой называется предположение о том, что неизвестное распределение вероятностей принадлежит некоторому множеству распределений, состоящему более чем из одного элемента.

Пример сложной статистической гипотезы

Н: "Распределение наблюдаемого признака подчинено закону редких явлений".

Данное предположение указывает на семейство распределений Пуассона, содержащее бесчисленное множество элементов, каждый из которых однозначно определяется значением параметра .

Проверкой статистической гипотезы называется процедура принятия или отвержения сделанного предположения по определенному правилу на основе имеющихся выборочных данных.

Если логически полную группу выдвинутых предположений составляют две статистические гипотезы, то проверяемую гипотезу H₀ принято называть основной (или нулевой), а противоположную ей гипотезу H₁ - альтернативной (или конкурирующей) гипотезой.

Правило, определяющее условия, при которых статистическая гипотеза отвергается или не отвергается¹, называется статистическим критерием.

Математическую основу статистического критерия составляет выбираемая с учетом особенностей поставленной конкретной задачи специальная функция выборочных данных – статистика критерия K(x₁,x₂,…,x_n), точное или асимптотическое (т.е. предельное при неограниченном возрастании объема выборки) распределение вероятностей которой при выполнении гипотезы H₀ известно.

Кроме того, в области возможных значений используемой статистики критерия выделяется определенным образом некоторое множество W, называемое критической областью (или областью отвержения гипотезы).

При проверке гипотезы H₀ руководствуются правилом:

если значение статистики критерия K(x₁,x₂,…,x_n) для выборки (x₁, x₂,…, x_n) принадлежит критической области W, то основная гипотеза отвергается, в противном случае – не отвергается (признается правдоподобной).

Замечание

Вывод о том, справедливо ли выдвинутое предположение, делается по выборке, т.е. в условиях возможной неполноты информации, следовательно, он может быть ошибочным.

Таким образом, статистический критерий не устанавливает, верна или нет рассматриваемая гипотеза, а позволяет лишь проверить (в рамках этого критерия), согласуются ли с данным предположением выборочные данные или же противоречат ему (и потому исходная гипотеза отклоняется).

27. Ошибки первого и второго рода, возможные при проверке статистической гипотезы. Уровень значимости и мощность статистического критерия.

В результате проверки гипотезы H₀ при заданном критерии K возможны верные решения двух следующих видов:

• истинная гипотеза H₀ не отвергается;

• ложная гипотеза H₀ отвергается.

Ошибка первого рода совершается, когда основная гипотеза H₀ верна, но отвергается в соответствии с заданным критерием K.

Вероятность α ошибки первого рода называется уровнем значимости (или размером) критерия K:

.

На практике уровень значимости критерия задается изначально, исходя из потребностей реальных приложений и потенциальных последствий вероятных ошибок, при этом часто используются стандартные значения: 0,05; 0,01; 0,005.

Ошибка второго рода допускается, когда альтернативная гипотеза H₁ верна, но отвергается в соответствии с заданным критерием K (т.е. если основная гипотеза H₀ не верна, но не отвергается).

Величина 1-β, где β - вероятность ошибки второго рода:

,

называется мощностью критерия K.