- •Вариационный ряд
- •Распределение выборки
- •Несмещенные оценки дисперсии
- •Замечание
- •Состоятельность
- •Теорема Бореля
- •Замечание
- •Теорема Гливенко - Кантелли
- •Замечание
- •Гистограмма
- •Построение гистограммы
- •Замечание
- •Эффективность
- •Замечание
- •Метод моментов Пирсона
- •Достаточное условие состоятельности оценки, найденной по методу Пирсона
- •Метод максимального правдоподобия Фишера
- •Ди для математического ожидания (генеральной средней) µ при известной дисперсии σ2
- •Пример простой статистической гипотезы
- •Пример сложной статистической гипотезы
- •Замечание
- •Замечание
- •Минимаксный критерий
- •Критерий Бейеса
- •Регрессионный анализ
- •Замечание
- •Задачи регрессионного анализа
- •Аддитивная модель регрессии
- •Замечание
- •Уравнение множественной линейной регрессии
- •Проверка значимости уравнения множественной линейной регрессии
- •Несмещенная точечная оценка остаточной дисперсии
Несмещенные оценки дисперсии
при известном математическом ожидании Мξ:
,
при неизвестном математическом ожидании Мξ:
; .
Доказательство несмещенности оценок , ,
Так как элементы выборки одинаково распределены и независимы, то
;
.
Несмещенность вытекает из определяющего выражения для этой оценки дисперсии и следующих равенств:
.
Эмпирическая функция распределения, её основные свойства.
Эмпирическая функция распределения
Определение по выборке
Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке (x1,x2,…,xn), называется функция , определяемая при каждом значении действительного переменного x как отношение числа ν(x) элементов выборки, меньших x, к объему выборки n:
.
Определение по вариационному ряду
Эмпирическая функция распределения может быть найдена по вариационному ряду , используя следующее аналитическое представление:
Свойства эмпирической функции распределения
Из определения эмпирической функции распределения по вариационному ряду и из соотношения
следует, что есть не что иное, как функция распределения выборки , и поэтому она обладает всеми свойствами, присущими интегральной функции распределения дискретной случайной величины, а именно:
определена на всей числовой оси;
принимает значения из отрезка [0;1];
кусочно-постоянная;
не убывает при возрастании аргумента x;
непрерывна слева;
имеет скачок значения в каждой точке , равный соответственно .
Пример
График эмпирической функции распределения выборки
(2, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 4):
Замечание
Значение при любом значении переменной x зависит от выборки (x1, x2,…, xn). Следовательно, данная функция при каждом значении своего аргумента есть случайная величина. Эмпирическая функция распределения , рассматриваемая в качестве случайной оценки теоретической функции распределения Fξ(x), имеет следующие важные свойства.
Свойство состоятельности эмпирической функции распределения: теорема Бореля, теорема Гливенко - Кантелли.
Состоятельность
Последовательность эмпирических функций распределения при неограниченном возрастании объема выборки n сходится по вероятности к функции распределения Fξ(x) наблюдаемого признака ξ.
Теорема Бореля
Для любого значения переменной x и произвольного числа >0
.
Из определения эмпирической функции распределения по выборке (x1, x2,…, xn) непосредственно вытекает, что
,
где - индикатор (число успехов в одном наблюдении) случайного события :
.
Случайные величины независимы, одинаково распределены и, следовательно, имеют одно и то же конечное математическое ожидание:
.
Таким образом, для последовательности индикаторов выполняются условия применимости Закона больших чисел в форме Хинчина, согласно которому среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию:
.
Замечание
Смысл предельного соотношения Бореля состоит в том, что для каждого конкретного значения переменной x при достаточно больших значениях объема выборки n практически достоверно, что значение эмпирической функция распределения отличается от значения неизвестной функции распределения Fξ(x) признака ξ на величину, меньшую наперед заданного числа, сколь угодно малого.