8. Граничные условия для векторов магнитного поля

Условия для нормальных составляющих векторов и . Граничное условие для нормальной составляющей вектора выводится: аналогично 7.7. Запишем четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме применительно к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 7.1:

7.18 Устремляя и учитывая, что условие достаточной малости требует равномерного распределения нормальной компоненты вектора в обеих средах в пределах , получаем: 7.19 Из уравнения 7.19 следует, что нормальная компонента вектора непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. В свою очередь нормальная составляющая вектора испытывает разрыв, вели­чина которого определяется отношением магнитных проницаемостей: 7.20.

Условия для касательных составляющих векторов и

Граничное условие для касательной составляющей вектора выводится аналогично соотношению 7.15.Применим первое уравнение Максвелла в интегральной форме к прямо­угольному плоскому контуру ABCD, изображенному на рис.7.2: 7.21.

Условие достаточной малости отрезка должно включать теперь тре­бование равномерного распределения касательной составляющей вектора в обеих средах в пределах . Устремляя высоту контура к нулю и учитывая, что напряженность магнитного поля и плотность тока смещения – ограниченные величины, получаем:

7.22

Если на границе отсутствуют поверхностные токи, то правая часть равенства 7.22 равна нулю. В этом случае касательная составляющая вектора оказывается непрерывной: 7.23.

Касательная составляющая вектора , наоборот, претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей: 7.24

Особый интерес представляет случай, когда токи распределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие токи назы­вают поверхностными. Плотность поверхностных токов определяется соотношением: , 7.25

где – единичный вектор, указывающий направление движения положительных зарядов в данной точке; – отрезок (рис.7.4). В этом случае правая часть равенства 7.22 уже не будет равна нулю. Считая распределение плотности поверхностного тока на отрезке равномерным (если это не выполняется, нельзя считать равномерным распределение касательной составляющей вектора Н), преобразуем правую часть указанного равенства следующим образом:

, 7.26

где – проекция вектора на направление . Подставляя выраже­ние 7.26 в 7.22 и деля обе части получающегося равенства на , при­ходим к соотношению:

. 7.27

Уравнение 7.27 справедливо для любого направления касательной . Поэтому его можно переписать в векторной форме: , 7.28 где – значения вектора у границы раздела в первой и во второй средах соответственно. Уравнения 7.27 и 7.28 показывают, что при переходе через границу раздела, по которой текут поверхностные токи, касательная составляю­щая вектора претерпевает разрыв, величина которого определяется плотностью поверхностных токов в рассматриваемой точке. Переходя в уравнении 7.27 к касательным составляющим вектора магнит­ной индукции, получаем:

. 7.29

Отметим, что поверхностные токи, как и поверхностные заряды, в природе отсутствуют. Их вводят для упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя токов, когда не интересуются распределением поля вну­три слоя. В каждой точке внутри реального токового слоя касательная составляющая вектора непрерывна, но ее значения по разные сторо­ны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реально­го токового слоя бесконечно тонким (т.е. поверхностными токами) при­ходится считать, что изменяется скачком.

Полная система граничных условий. Граничные условия на поверхно­сти идеального проводника

Таким образом, на поверхности раздела двух сред должны выполнятся следующие граничные условия:

. 7.30

, - касательные составляющие векторов, , - нормальные составляющие векторов. Где проекция вектора плотности поверхностных токов на направление N₀. S – поверхность раздела 2-х изотропных сред. P – плоскость проведенная через n₀. n₀ - единичная нормаль проведенная из 2-й среды в 1-ю. ₀ – единичная касательная к отрезку l. l – отрезок на линии пересечеия поверхности пересечения раздела и плоскости Р.

У равнения 7.30 составляют полную систему граничных условий. Они справедливы для любых электромагнитных процессов, рассматриваемых в макроскопической электродинамике. Не включенные в систему 7.30 гра­ничные условия для составляющих являются следствия­ми соотношений 7.30 и уравнений состояния .

Граничные условия 7.30 можно также записать в векторной форме:

7.31

При изучении переменных электромагнитных полей вблизи поверхности металлических тел часто предполагают, что рассматриваемое тело явля­ется идеально проводящим. При этом граничные условия 7.30 и 7.31 упро­щаются, т.к. в среде с поле отсутствует. Действительно, объем­ная плотность тока проводимости долина быть ограниченной величи­ной. Поэтому из закона Ома 4.20 следует, что напряженность электри­ческого поля внутри идеального проводника должна быть равной нулю. Полагая во втором уравнении Максвелла , получаем . Так как поле считается переменным, то последнее равенство выполняется только при .

Пусть идеально проводящей является вторая среда. Тогда и условия 7.30 принимают вид:

, 7.32

или в векторной форме:

. 7.33

Таким образом, на поверхности идеального проводника касательная составляющая напряженности электрического поля и нормальная сос­тавляющая напряженности магнитного поля обращаются в нуль.