3. Канонические уравнения Гамильтона. Первые интегралы уравнений Гамильтона. Эквивалентность лагранжевого и гамильтонового формализма.

Канонические уравнение Гамильтона

Методы получения и анализа уравнений движения, основанных на функции Лагранжа, носит название формализма Лагранжа, он охватывает не только механические системы но и квантово-механические системы и электромагнитное поле. Кроме этого метода, существует и другой метод составления дифференциальных уравнений движения для механических и других систем, основанный на функции Гамильтона или обобщенной энергии. Этот метод называют гамильтоновым формализмом.

Каждое уравнение Лагранжа есть дифференциальное уравнение второго порядка, а число уравнений равно s - числу степеней свободы механической системы. Считается, что система дифференциальных уравнений имеет нормальный вид, если все уравнения, входящие в нее, первого порядка. Заданную систему дифференциальных второго порядка можно привести к нормальному виду множеством способов.

Гамильтон указал способ приведения дифференциальных уравнений Лагранжа к нормальному виду, дающий симметричные, т.е. одинаковые по форме уравнения относительно разных переменных, входящих в них. Эти дифференциальные уравнения получили название канонических дифференциальных уравнений движения. Они называются также уравнениями Гамильтона.

Рассмотрим один из способов получения канонических уравнений, причем выведем их для системы с идеальными голономными связями и обобщенно-потенциальными силами. Перейдем от совокупности обобщенных координат q₁, q₂,...q_S независимых переменных, задающих положение всех точек системы, к новой совокупности независимых переменных, в которой к s координатам q_j прибавлено s обобщенных импульсов: . Совокупность 2s канонических переменных - обобщенных координат q_j и обобщенных импульсов р_j - в любой момент времени однозначно определяет механическое состояние системы материальных точек. Если в методе Лагранжа для составления системы дифференциальных уравнений движения должна быть известна функция Лагранжа, то теперь исходной служит функция Гамильтона: (1)

которая должна быть выражена через канонические переменные. Последнее всегда возможно, т.к. является однозначной функцией р_j и q_j.

Итак, пусть H = H(p_j, q_j). Запишем теперь функцию Лагранжа системы (1) через функцию Гамильтона, которую считаем заданной: (2) Используя (2) для составления уравнения Лагранжа получим одно уравнение Гамильтона, а дифференцируя (2) по p_j частным образом - другое уравнение Гамильтона:

(3)

Из системы (3) видно, что уравнения Гамильтона имеют симметричный вид относительно канонических переменных р_j и q_j, благодаря чему они находят широкое применение в теории, в частности в статистической физике. Вспомним, что в лагранжевом формализме состояние системы из n материальных точек описывают положением одной изображающей точки в пространстве конфигураций, образованном обобщенными координатами q_j. Аналогично в гамильтоновом формализме состояние системы описывают положением изображающей точки в фазовом пространстве, образованном обобщенными координатами q_j и обобщенными импульсами р_j . Конфигурационное пространство имеет s, а фазовое 2s измерений.

Уравнения Гамильтона особенно удобны при исследовании систем, содержащих циклические координаты. Согласно определению, циклической координатой q_j называется координата, которая не входит в лагранжиан, и отсюда, как мы знаем, следует (на основании уравнения Лагранжа ), что обобщенный импульс p_j, соответствующий этой координате, является постоянным. Но если производная p_j будет равна нулю, то и производная будет также равна нулю. Следовательно, циклическая координата будет отсутствовать не только в лагранжиане, но и в гамильтониане.

Интегралы уравнений Гамильтона

Из уравнений Гамильтона можно получить интегралы, аналогичные вытекающим из уравнений Лагранжа, т.е. интеграл обобщенной или полной механической энергии, и циклические интегралы обобщенных импульсов. Так как частые производные по времени от функции Лагранжа и Гамильтона совпадают, то условием сохранения обобщенной энергии является независимость Н от времени явно. Н = const выражает первый интеграл движения или интеграл энергии.

Из формулы (3) видно, что совпадают и частные производные по координате от обеих функций:

А это значит, что уравнения Лагранжа и Гамильтона имеют общие циклические интегралы.