4. Движение в центральных полях. Кеплерова задача. Параметрическое уравнение. Траектории движения.

Движение в центральном поле.

Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении одного тела, мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния r до определенной неподвижной точки; такое поле называют центральным. Т.к. потенциальная энергия зависит в нашем случае только от расстояния r, то мы имеем дело со случаем сферической симметрии, при котором допустим произвольный поворот около любой оси. Поэтому любая угловая координата, характеризующая вращение около неподвижной оси, должна быть циклической. Симметрия системы заметно упрощает ее исследование. Прежде всего, из сферической симметрии вытекает, что вектор момента импульса М=r  p будет в нашем случае постоянным. Отсюда следует, что радиус-вектор r будет все время перпендикулярным к фиксированному направлению вектора М, что возможно только, когда вектор r все время лежит в одной неподвижной плоскости, перпендикулярной к М. Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости.

Движение точки в полярных координатах определяется полярным радиусом r и углом . Система имеет две степени свободы, две обобщенные координаты, следовательно два уравнения движения. Лагранжиан такой системы имеет вид:

Эта функция не содержит явном виде координату . Всякую обобщенную координату q_i не входящую явно в лагранжеву функцию, называют циклической. В силу уравнения Лагранжа для такой координаты т.е. соответствующий ей обобщенный импульс является интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат. В нашем случае одно из уравнений движения ( 1 . ) Возвращаясь к закону сохранения момента

Отсюда непосредственно получается первый интеграл Второе уравнение Лагранжа относится к координате r, не выписывая самого уравнения, выразим через M из^** и подставляя в выражение для энергии, получим интеграл энергий Отсюда разделяя переменные и интегрируя: ( 2. )

Далее, написав , подставив сюда ее из ^" и интегрируя, находим: (3 . ) Формулы (1), (2), (3) решают в общем виде поставленную задачу. (3) представляет уравнение траектории. (2) определяет в неявном виде расстояние r движущейся точки от центра как функцию времени.

§ . Кеплерова задача

Вообще говоря, могут иметь место разнообразные центрально-симметричные поля по зависимости U от r. Однако наибольший практический интерес в механике представляет случай силы, управляющей движением небесных тел. Задачу о движении двух тел под действием этой силы и называют кеплеровой. Сила тяготения, приложенная к небесному телу, определяется законом всемирного тяготения: , потенциальная энергия задается выражением . Форму траектории для этого случая получим используя формулу:

( )

Подставляя в нее и производя интегрирование, получим:

( ! )

Выбирая начало отсчета угла так, чтобы const=0, и вводя обозначения

( )

p-параметр и е-эксцентриситет орбиты. В зависимости от численного значения эксцентриситета уравнение представляет эллипс, параболу, гиперболу или окружность.

В этих обозначениях уравнение (!) примет вид

( )

Это есть уравнение кривой второго порядка в полярных координатах (уравнение конического сечения с фокусом в начале координат). Следовательно в рассматриваемом центральном поле возможны следующие виды траекторий движения:

• е > 1, Н > 0 - движение инфинитное и соответствует гиперболическому

• е < 1, Н < 0 - движение финитное, соответствует эллиптическому

• е = 1, Н = 0 - движение инфинитное, соответствует параболическому

• е = 0, - движение финитное, происходит по окружности

(Если область допустимого изменения r ограничена лишь одним условием, то движение частицы r>r_min инфинитно - ее траектория приходит из бесконечности и уходит в бесконечность. Если область изменения r имеет две границы r_min и r_max , то движение является финитным.)