Дидактический план

№ п/п

Умение

Алгоритм

1

Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы А порядка n

1. Составить характеристический многочлен

.

2. Написать характеристическое уравнение

.

3. Найти корни характеристического уравнения – собственные числа матрицы А.

4. Для каждого составить систему уравнений для определения собственных векторов, отвечающих собственному числу .

5. Найти фундаментальную систему решений полученной системы – базис собственного подпространства .

6. Объединить все найденные системы по всем различным корням характеристического многочлена. Получаем линейно независимую систему из собственных векторов матрицы А

2

Построить ортогональную систему векторов по заданной линейно независимой системе (ортогонализовать систему векторов )

1. Положить .

2. , где . Получаем ортогональную пару векторов .

3. Для любого k=3, 4,…,m .

4. Выписать полученную систему ортогональных векторов g₁,g₂,…,g₃ линейные оболочки системы {f} и {g} совпадают: L(f₁,f₂,…,f_m) = L(g₁,g₂,…,g_m)

3

Выписать матрицу А квадратичной формы Q(x) = (Ax,x), где x R. Проверить, будет ли квадратичная форма положительно определенной (по критерию Сильвестра)

1. Пусть

Тогда матрица квадратичной формы , здесь

.

Получится симметричная матрица А.

2. Вычислить все угловые миноры матрицы А.

.

3. Применить критерий Сильвестра: если , то квадратичная форма положительно определена

4

Привести квадратичную форму Q(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием ( )

1. Выписать симметричную матрицу А квадратичной формы.

2. Найти собственные числа матрицы А.

3. Найти собственные векторы , отвечающие собственным значениям . Они образуют базис в R³

4. Ортогонализовать базис , т.е. получить ортогональный базис .

№ п/п

Умение

Алгоритм

5. Нормировать базис {g}: .

– ортонормированный собственный базис матрицы А.

6. Составить ортогональную матрицу С, столбцами которой служат собственные векторы ₁, ₂, ₃.

С – ортогональная матрица перехода от стандартного базиса {e} к базису .

7. Сделать замену переменных х=Су, которая приводит квадратичную форму Q(x)=(Ax,x) к каноническому виду .

8. Записать обратное преобразование координат

5

Привести центральную кривую второго порядка с центром в начале координат к каноническому виду (предварительно следует убедиться в том, что центр находится в начале координат)

1. Выписать матрицу квадратичной формы

, где a₂₁ = a₁₂.

2. Найти собственные числа ₁, ₂.

3. Найти ортонормированные собственные векторы ₁, ₂,.

4. Составить матрицу перехода С от базиса {e} к базису .

5. Записать канонический вид кривой

.

6. Определить тип кривой, сделать чертеж

6

Проверить, образует ли линейное подпространство множество W, в котором определены операции сложения и умножения на число

1. Пусть , т.е. для них выполнены условия, определяющие множество W. Составить вектор , где – произвольные числа.

2. Выяснить, принадлежит ли вектор z множеству W, т.е. выполнены ли для z условия, определяющие множество W.

3. Сделать вывод:

если ZW, то W – подпространство; в противном случае, множество W не является подпространством

7

Выяснить, образует ли данная система векторов {f} базис линейного пространства

1. Выписать стандартный базис {e} данного линейного пространства и определить размерность пространства.

2. Определить координаты данной системы векторов {f} в стандартном базисе {e}.

3. Составить матрицу А из координат векторов {f} в базисе {e}.

4. Найти ранг матрицы А.

5. Сделать вывод:

если rank А равен размерности пространства, то система {f} образует базис, в противном случае – нет

8

Найти координаты вектора х в новом базисе {f}, если он задан в базисе {e}

1. Определить координаты новой системы {f} по старому базису {e}.

2. Записать координаты вектора по базису {e} в j-ый столбец матрицы С.

Полученная невырожденная матрица есть матрица перехода С от старого базиса {e} к новому базису {f}.

3. Пусть – вектор–столбцы координат х в соответствующих базисах. .

№ п/п

Умение

Алгоритм

4. Найти обратную матрицу .

5. Вычислить координаты вектора х в новом базисе {f}:

9

Проверить линейность заданного оператора

1. Составить вектор , где – числа, .

2. Найти образ .

3. Найти образы Ах и Ау.

4. Проверить, совпадают ли векторы и

.

.

5. Сделать вывод:

если равенство в п. 4 верно, то оператор А – линейный, в противном случае – нет

10

Написать матрицу оператора А в заданном базисе {e}

1. Найти образы базисных векторов и записать их координаты в исходном базисе {e}.

2. Записать в k-й столбец А координаты вектора по базису {e}.

Полученная матрица А – матрица оператора А в базисе {e}

11

Найти координаты образа у=Ах в заданном базисе {e}

1. Написать матрицу А оператора А в базисе {e}.

2. Выписать вектор–столбец x_e координат х в базисе {e} и определить координаты y_e вектора у в базисе {e}: ye = A  xe

12

Определить, как меняется матрица оператора А при переходе от базиса {e} к базису {f}

1. Составить матрицу перехода С от {e} к {f}, вычислить .

2. Записать матрицу оператора А в базисе {e}.

3.Вычислить матрицу оператора в базисе {f}:

13

В пространстве P многочленов степени задана система векторов и преобразование А. Убедиться, что {f} – базис, оператор А – линейный, написать матрицы оператора А в базисах {e} и {f}, где {e} – стандартный базис

1. Выписать стандартный базис пространства P;

.

2. Выяснить, образует ли система векторов {f} базис пространства P (см. умение 7)

3. Проверить линейность оператора А (см. умение 9)

4. Выписать матрицу перехода С от базиса {e} к базису {f} (см. умение 8), вычислить .

5. Написать матрицы оператора А в базисах {e} и {f}.

6. Убедиться, что A_f = C^–1A_eC