более мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математиче­ское моделирование. Математическое моделирование позволяет при помощи математических символов и зависимостей составить описание происходящего процесса.

Математическая модель - это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью. Точ­ность оценивается степенью совпадения предсказанных в процессе вычислительного экспери­мента на модели значений выходных параметров с истинными их значениями.

В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п. Процесс формирования математической модели и использование ее для анали­за и синтеза называется математическим моделированием. Проведение исследований на та­кой модели называют вычислительным экспериментом.

Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать ал­горитм реализации математической модели.

Алгоритм - это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием. Математические модели могут представлять собой системы дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных), системы алгеб­раических уравнений, простые алгебраические уравнения, бинарные отношения, матрицы и др. Сложные модели требуют больших затрат времени на проведение вычислительных экспери­ментов. Системы уравнений таких моделей обычно отличаются плохой обусловленностью, что создает проблемы обеспечения устойчивости вычислительного процесса, достижения необхо­димой точности при приемлемых затратах времени.

1.1.1 Системный анализ и моделирование

Моделируемые процессы весьма разнообразны по своей природе и степени сложности. В связи с этим существуют различные подходы к их анализу и способу построения моделей.

Все процессы делятся на детерминированные и стохастические.

Детерминированными называются такие процессы, в которых отсутствуют случайные воздействия, динамика которых полностью определяется начальными условиями, и динамиче­ские переменные являются функциями времени. Поэтому динамику можно однозначно пред­сказать на основе изучения его механизма. Модели отображающие детерминированные про­цессы называются детерминированными.

Стохастическими процессами называются такие, параметры которых изменяются слу­чайно, под воздействием неконтролируемых дестабилизирующих воздействий, поэтому одно­значно предсказать поведение таких процессов на основе их изучения затруднительно; можно говорить лишь о вероятности того или иного типа их поведения. В стохастических системах ди­намические переменные при фиксированных начальных условиях могут принимать различные значения. В то же время, может быть определена вероятность заданного значения динамиче­ской переменной и ее среднего значения. Модель отображающая такой процесс называется стохастической.

Стохастическое поведение может быть следствием случайных воздействий на динамиче­скую систему или, что очень существенно, выражать внутренние свойства системы. Стохасти­ческий процесс может быть следствием особенности системы и возникает при определенных условиях даже без внешних воздействий. Математическое моделирование позволяет устано­вить условия, при которых динамическая система переходит от детерминированного процесса к стохастическому. 8