3.2 Метод контурных токов

Введем понятие вектора-столбца контурных токов I. Размер вектора [ст,1], он имеет вид:

I

I

I

I _

Элементы матрицы Г показывают, как &-ый контур входит в s-тую ветвь схемы. Очевид­но, матрицу Г можно использовать для связи величин контурных токов с токами ветвей. Для этого необходимо выполнить умножение матрицы Г на вектор I. Для этого, очевидно, необхо­димо транспонировать матрицу Г, заменив индексы у элементов местами: [Г_у 1 = [Г.. ]. Те­перь матрица rt имеет размер [l, а], тогда можно осуществлять умножение:

I е =Г, • I

Последнее уравнение отображает зависимость l токов ветвей от а контурных токов. Вы­берем последние в качестве независимых переменных, т.е. будем искать контурные токи, про­текающие, по определению, через хорды схемы. Рассмотрим уравнение по закону Ома в виде:

U = Ze • I е + Ee Подставим в это уравнение значение Ie, равное Tt-I. Получим:

Ue = Z е Tt • I + Ee Умножим последнее равенство на матрицу контуров Г слева. Получим:

Г-ие = Г - Z е .rt • I+ Г.Ев По второму закону Кирхгофа Г • Ue = 0, тогда введем соответствующие упрощения:

Г-Ze-rt = Z Г-Ее = - Е ^Л Z •I = Е Рассмотрим размерность полученных выражений:

[Ft ] = [l, 4 Ze =[l, l]

[Ze Tt] = [l,a] r = [ a , l ] л Z = [a,a]

Таким образом, матрица Z - квадратная матрица размера [a, а], которая получила на­звание матрицы сопротивлений схемы:

Z =

Z-i Zi₂

^Z2 1 ^Z 22

Z

Z

2а

^Za1 Z

Вектор Е имеет размерность:

Z

79

щ

U

и

имеет размерность [v, 1], равную числу узлов схемы без одного, т.е. числу ребер дере-

ва.

Вспомним структуру матрицы главных сечений П [v, 1]. Элементы матрицы П опреде­ляют сечения, на которых оканчиваются ветви схемы. При этом число элементов матрицы, от­личных от 0 в каждом столбце, всегда равно 2, т.к. это означает, что ветвь соединяет два узла схемы. Исключения составляют ветви, выходящие из базисного узла, или в него входящие, т.к. для них число отличных от 0 элементов в столбце равно 1.

Таким образом, напряжение на ветви можно характеризовать разностью потенциалов между узлами, причем если ветвь соединяет узлы i и j, то напряжение равно Ue=Ui-U/; если ветвь выходит из базисного узла схемы, то напряжение на ней равно потенциалу другого узла. Поэтому вектор напряжений на ветвях размерностью [l, 1] можно определить в виде матрич­ного произведения матриц Пи U, однако при этом матрица П должна быть предварительно транспонирована т.е.:

к ] , = ] .

При этом размер матрицы nt=[1,v], а выражение для напряжений на ветвях схемы име­ет вид:

Ue =П, U

80

Последнее соотношение реализует метод узловых потенциалов в матричном виде.

Последние соотношения позволяют провести расчет схемы по методу узловых потенциа­лов, однако, для получения результата необходимо определить значения матриц 7 и J. В принципе, задача решается путем двухкратного перемножения матриц П, Ye и nt, а вектор за­дающих токов схемы J определяется путем умножения матрицы П на вектор Je. Однако такое решение задачи весьма громоздко, т.к. требует выполнения операций с матрицами. Существу­ет формализованный способ построения матриц 7 и J, который вытекает из свойств матрицы. Покажем этот способ, а затем докажем его.

1. Можно утверждать, что если схема состоит только из двухполюсников, то матрица Y диагонально симметрична, т.е. для любых к и s, принадлежащих интервалу k,s е[1, у] спра­ведливо соотношение: yks=ysk (напомним, что размер матрицы Y - [у, у], что определяется числом уравнений относительно узловых потенциалов, равного числу сечений схемы на еди­ницу меньшего, чем число узлов).

2. Элемент диагонали ykk равен сумме проводимости ветвей, пересекаемых k-тым сече­нием. При этомykk называется собственной проводимостью k-ro сечения.

3. y ks — сумма проводимости ветвей, общих для k-ro и s-ro сечений; yks называется вза­имной проводимостью k-oro и s-oro сечений.

При этом порядок составления матрицы состоит в следующем:

заготавливается квадратная таблица размером уху, т.е. числом строк и столбцов, рав­ным количеству главных сечений. Поочередно рассматриваются все ветви, входящие в схему, и их проводимости вписываются с соответствующим знаком в соответствующие клетки в виде слагаемых. Проводимости ветвей алгебраически суммируются с теми элементами квадратной

81

матрицы, которые расположены на пересечении строк и столбцов, имеющих номер пересе- кающих данную ветвь главных сечений. При этом знак составляющих взаимной проводимости определяется взаимным расположением главных сечений.

Рассмотрим пример. Допустим, в схеме имеются A, В, C, D сечения. Очередная ветвь проходит через сечения A, C, D, на- правления которых изображены на рисунке 3.7:

(Можно предположить, что рассматриваемая ветвь является хордой, т.к. через ребро, по определению, проходит лишь одно

^Ри°. ³⁷ сечение).

При этом составляющие матрицы Y, соответствующие указанной ветви, имеют вид:

Очевидно, что если ветвь пересекает m сечений, то она вписывается в m клеток табли- цы. Проводимость ребер дерева вписывается в клетки матрицы только один раз.

Вектор задающих токов схемы J — вектор-столбец, &-тая компонента которого равна ал-

гебраической сумме токов, подтекающих к &-тому сечению. Причем знак «+» выбирается в случае, если ток ветви противоположен направлению се- чения, а знак«-», если направления сечения и то- ка совпадают.

Рассмотрим пример, основанный на приве- денной выше скелетной схеме некоторой цепи рис. 3.8:

В соответствии с выбранным направлением токов и главных сечений, матрица 7имеет вид:

A B

^j 3 + ^j 4 + ^j 8

C

A

D

Рис. 3.8

C

D

Y =

Вектор задающих токов схемы:

Ji + Ja + j

J _ 1 + ' 2 + ^J 6

j 2 + ¹ 3 + ¹ 7

Докажем указанное правило составления матрицы проводимости и вектора задающих то­ков схемы.

82

По определению, матрица Y формируется в соответствии с соотношением:

Y = П- Ye Ut

Транспонируем обе части матрицы, используя предварительно сочетательный закон: Y =(n-Ye-nt )t =((n-Ye)-nt )t =n-(n-Ye)t =n-(Y. )t-nf

Так как матрица Ye диагонально симметрична и диагональна, следовательно Yet=Ye. При этом, очевидно, что результат перемножения матриц после их транспонирования не изменится, т.е. Yt=Y. Это означает, что матрица 7 диагонально симметрична. Т.е. первое свойство мат­рицы доказано.

Будем теперь обозначать элементы матрицы буквами 7iks.

^ж ii ^ж 12 ^Ж1 k ^ж,

«21 ^Л 2 2 ^Ж2 k ^Ж2 l

п

% 1 % 2 ^Ж k ^Ж l

^Kv2

^Ж k ^Ж l

Диагональный элемент ykk матрицы Y получается умножением k-ой строки матрицы П на k-ый столбец матрицы Ye nt.

В свою очередь, k-ый столбец матрицы Yent получается умножением матрицы Ye на k-ый столбец матрицы nt. В результате элемент Ykk матрицы 7 можно определить в виде:

Укк = [k^P. П] ^столб^атр^ • ] = [kстр. П] Y • [Кстолб.]] = = [^k Cmp.U]-^Ye \^k стр . П\ = [л k l ■ ^Л ... % ]• ^Ye 'к^{л л} ... 1

(строка матрицы П равна столбцу транспонированной матрицы nt). Таким образом, можно записать, что:

ykk Уе1 n k 2 У в 2 ... КыУв1 J ^X[%1 Щ2 ... 1 =

Г2 2 2

!_ • Уе1 + • У в 2 + ... + - kl • У el J = Z • У si

i=1

Таким образом, проводимость k-то сечения определяется суммой проводимостей ветвей, входящих в это сечение со знаком (+), т.к. для всех ветвей входящих в сечение л = ±1, т.е. пш²=1. Для ветвей, которые в сечения не входят 7ik=0. Таким образом, второе свойство матрицы 7доказано.

Для недиагональных элементов матрицы Y — проводимостей между сечениями k и s (где ^s), по аналогии можно записать, что

Уь = % 2 > ... ]'^Ye -[n_s1, Ж s 2 , ... Л I

Т.к. матрица Ye диагональная, то последнее соотношение можно раскрыть в скалярном

виде:

83

Уъ = -П si • Ув1 ⁺ Л k 2 s 2 • Уе 2 + - + -П si • У el ] = Z % k i ^л si ' У

i=1

Таким образом, стало очевидным и третье свойство матрицы Y:

Произведение 7iki-nsi отлично от нуля лишь для тех ветвей, которые проходят одновре- менно через два сечения к и s, причем равно +1, если сечения направлены друг относительно друга одинаково, и равно -1, если сечения направлены встречно.

Полученные соотношения также доказывают правильность высказанного утверждения для составления матрицы Y при каноническом виде схемы с общим базисным узлом. Т.е., если сечения выбраны одинаковым образом относительно узлов схемы (например, все — наружу), то при определении взаимных проводимостей сечений знак проводимостей ветвей всегда от- рицателен.

Рассмотрим вопрос о векторе J. По определению, J = -n.Je. Для k-той компоненты векто- ра:

l

i k = ~ [^П к i ' пк 2 ]• л = • }_в1 +Пк2 - je 2 +... + n k i • jel \ = ~Yj'^Kki • J'ei

i=i

Поэтому k-тая компонента вектора J равна сумме задающих токов ветвей, причем компо- нента берется со знаком «-», если ток совпадает по направлению с сечением схемы, и «+», ес- ли ток противоположен сечению схемы.

Сложность матрицы Y и процесса ее составления существенно определяется выбором главных сечений схемы. Спецификой радиоэлектронных схем является то, что один из узлов схемы обычно принимают за базисный (нулевой), которому присваивается нулевой потенциал. В реальных схемах практически все узлы оказываются связанными теми или иными проводи- мостями с нулевым. При этом процедура составления матрицы Y существенно упрощается. Главные сечения можно выбрать охватывающими все узлы, кроме базисного, причем каждое главное сечение охватывает только 1 узел. Дерево схемы выбирается состоящим из ветвей, идущих от базисного ко всем узлам схемы. При этом каждое сечение характеризуется своим потенциалом, равным напряжению на соответствующем ребре, т.е. ветви, соединяющей на- званный узел с базисным. Направления главных сечений выбираются таким образом, чтобы

они были направлены наружу.

В соответствии с указанным выше правилом, собственные проводимости сечений будут всегда вычисляться как арифметическая сумма проводи- мостей ветвей, исходящих из соответствующего узла, взятых со знаком плюс, а взаимные прово- димости сечений учитываются со знаком минус, т.к. сечения всегда противоположно направлены. Для вектора задающих токов схемы правило не изменяется. Со знаком «-» учитываются токи, вы- текающие из сечений, со знаком «+» — втекаю- щие. Рассмотрим пример, пусть задана схема, изображенная на рисунке 3.9:

При указанном выборе дерева схемы матрица проводимости схемы имеет вид:

84

Рис. 3.10

Y

Вектор задающих токов схемы:

j +

4 - J 5

J

1 ~ J2 ~ 6

J 2 ~ J 3 _ ^J 7

3

J 4

8

Можно записать ее более компактно в виде:

J' = YU '

Квадратная матрица Y' может быть рассмотрена как обобщенный параметр трехполюс- ного элемента. Все элементы матрицы имеют размерность проводимости, она называется матрицей проводимости трехполюсника.

Необходимо отметить, что матрица проводимости в указанном виде особенная. Линейно независимыми являются лишь 4 элемента матрицы из 9. Несложно показать [3], что в соответ­ствии с законами Кирхгофа:

X уд' = 0 (k = 1,2,3); ]Г ysk' = 0 (s = 1,2,3)

s=l k=l

Необходимо также отметить, что матрица Y проводимости трехполюсника как правило, несимметрична относительно главной диагонали, так как большинство реальных трехполюс- ных элементов необратимы. При смене номеров узлов в матрице соответствующим образом меняются строки и столбцы матрицы.

85

Если один из узлов матрицы подключен к базисному, то можно сформировать неособен­ную матрицу проводимости трехполюсника Y' путем вычеркивания соответствующего столбца и строки особенной матрицы. Например, если трехполюсник подключен в соответствии со схе­мой рис. 3.11, то соответствующие уравнения имеют вид:

\j 2 = у₂1'"и1'+У 22 V

J ' = Y U '

а матрица Y:

Y'=

У11

У12

У 2 1'

У11 У12 - У 11- У12

У2 1' У22 ' - У21' У22 '

Ун'-У2 1' У12' У22' Уц'+У21'+У 12'+ У22

Возникает вопрос о формировании матрицы проводимости схемы при наличии в ней трехполюсных элементов. Рассмотрим следующий подход к формированию. Вначале исклю­чим трехполюсные элементы из схемы и запишем матрицу проводимости оставшейся части схемы, состоящей теперь только из двухполюсников. Для этого в схеме выберем базисный узел; составим дерево схемы и получим, таким образом, диагонально симметричную матрицу проводимости.

Включение трехполюсников изменит фактически токи узлов (сечений) к которым подклю­чены элементы-трехполюсники. Пусть некоторые узлы схемы p, q и г соединены с узлами 1', 2' и 3' трехполюсника, соответственно. Если бы схема трехполюсников не содержала, то матрич­ное уравнение, записанное в соответствии с методом узловых потенциалов:

J = Y-U

означало бы компактную запись уравнений вида:

^г V

J \ = Z У 1s s^u

s=1

Л = Z Уу s ^u s

s=1

Теперь, когда токи узловр, q и г изменились, для них можно записать уравнения в виде:

86

s ^u s

jp - J 1 = S Ур

8-1

V

Jq - J 2 ' = Z Уqs ^U s 8-1

V

Jr - J3 = Z yrs ^u s

s=1

Здесь токи узлов jj', j2', Jз' определяются равенствами, описывающими трехполюсник в матричном виде:

' i = Z У ik ч '

k = 1

3

^J 2 " Z ^y 2 k k = 1

3

J3 = Z y3k''^U,

k=1

Если заменить потенциалы uj', U2', и из' на эквивалентные Up, Uq, и Ur, получим:

Jp = Z yps • ^Us +yn'^Up + У12 ' ^Uq + У13' ^Ur

s=1

Jq = Z У qs • ^Us + У 21' ^Up + У 22 Uq + У23 ' Ur s=1

Jr = Z yrs • U s + У 3 1 Ч + У3 2 ' U q + У3 3 ' ^U r s=1

Таким образом, вектор задающих токов Jдля схемы, содержащей трехполюсники, запи­сывается аналогичным образом соответствующему вектору для схемы, трехполюсников не со­держащих. Матрица проводимости схемы меняется: к элементам матрицы, записанной без учета трехполюсников на пересечении строк и столбцов с номерами узлов, соответствующих точкам подключения трехполюсника прибавляются соответствующие элементы матрицы про­водимости трехполюсника. Если заменить номера узлов трехполюсника 1', 2' и 3' на номерар, q и r, то остается лишь дописать соответствующие элементы Y' в матрицу проводимости Y в виде слагаемых:

Г'=У

У11

У12 У13 Р

Если один из узлов схемы соединен с базисным, то этот узел не учитывается при состав­лении матрицы проводимости схемы Y, а соответствующие элементы матрицы Y' не включа­ются в таблицу в виде слагаемых.

Активные элементы электронной техники: транзисторы, операционные усилители, в экви­валентной схеме могут быть представлены как зависимые источники тока или напряжения, отображающие их усилительные свойства. Возникает вопрос о матричном описании схем с та­кими элементами.

^q

У

У

2 1

2 2

2 3

r

У

У

У

3 1

3 2

3 3

87

jp Л yp

1=1

jq

i=1

Если один из узлов, к которым подключен источник тока, соединен с базисным (например, q), то в матрицу добавляются лишь два элемента +S и -S, расположенных на од- ной строке матрицы. Если соединен с базисным один из управляющих узлов источника, то ос- таются два элемента +S и -S, расположенных в одном столбце матрицы. Если источник со- единен с базисным узлом и управляется напряжением, отсчитываемым от базисного узла, то в матрицу 7 дописывается лишь один коэффициент +S или - S. 9+Е„

В целом, в соответствии со сформулированным выше правилом для составления матрицы проводимости Y и век- тора-столбца задающих токов J, если направление зависи-

мого источника тока совпадает с направлением главного се- 1 " 1

R, R 2

p — q

jy = S(Uk-Us)

Рис. 3.12

где Uk, Us — потенциалы узлов k и s схемы, a S — крутизна управления (А/В), то несложно сообразить, что уравнения, описывающие ток в сече­ниях, будут иметь вид (при условленных положительных направлениях см. рис. 3.2):

jp - (S u k - S. Us) = X y _pi u _i

X ypi- Ui + S U k - S. Us

Jq + (S •Uk - S •Us) = X y_{q i} u ₁

1=1

£ yq r u - S U k + S U

Каждый из зависимых источников тока, управляемых напряжением, характеризуется за­писью коэффициента S в четырех клетках матрицы:

затвор

с 2

s

k

s

^p

^q

Рис. 3.13

с2,

2

= j ®

v

^Y4 = R- +_R^- + j^aCc

чения (а именно наружу), а потенциал узла входит в управляющую характеристику со знаком «+» (узлы p и к в приведенном примере), то управляющий параметр (крутизна управления) за­писывается в соответствующую клетку матрицы со знаком «+». Если оба этих условия не вы­полняются, то крутизна управления также записывается со знаком «+». Если выполняется лишь одно из условий, то крутизна управления записывается со знаком «-».

ПРИМЕР

Построить матрицу проводимости схемы 7усилительного каскада на полевом транзисто­ре с общим стоком (рис. з.1з).

Рассмотрим эквивалентную схему каскада по переменному току (рис. 3.14).

Для упрощения записи элементов матрицы преобразуем схему, заменив, по возможно-

1 „Q 2 „с»

1 1 затвор" II

ш. Тс,

исток

сток

^у

^и

® й"< О*

\R„

^сти, последовательно и парал­лельно включенные элементы общими комплексными проводи- мостями рис. 3.15.

SLL

© Y 2

C D -

-Ys CZb

3

-с

Рис. 3.14

SU

©

to

п

Рис. 3.15

Yg = 0; Y = joC,; *2 — +

R

1 1

3U,

y 5 = ^j®C 2;

Y6 = J- ⁶ R.

Схема приведена к каноническому виду. Составим дерево схемы в виде рис. 3.16. © ®

Рис. 3.16

Без учета зависимого источника тока матрица Yo имеет вид:

12 3 4

89

I в 'ex ^Yh

Це, ^

Y_m ¹-вы ^U вых • ^YH _ _Y

ПР ~ "u _ K u • Yh

Полная матрица проводимости Y:

1 2

Y

3.3.1 Функции электронных схем

Метод узловых потенциалов позволяет рассчитать потенциалы всех узлов схемы, если задано входное воздействие, а также матрица проводимостей Yдля схемы. Но иногда надо знать не сами потенциалы узлов, а связь между сигналами на входе и выходе схемы, т.е. оп­ределить усилительную способность схемы при различной нагрузке и различных источниках входного сигнала. Такие характеристики являются функциями схем, которые могут быть опре­делены по матрице проводимости без расчета режима работы всей схемы. Схему представим четырехполюсником, в котором выведены входные и выходные узлы. Отметим, что схема представляет собой усилитель, фильтр и т.п. (но не генератор), т.е. в ней отсутствуют незави­симые источники сигнала.

^J Г

1 = YY • и

вых н в

Перечислим основные функции схем: Коэффициент передачи по напряжению Ku =

Коэффициент передачи по току Kt =

L

Сопротивление передачи Z

nep

U L

Входное сопротивление Zex =

1

Входная проводимость Yex =

L 1

' ex вх

Функции схем связаны между собой следующим образом:

U

1

пер

K± Y

K4

K

K 1

« U ¹¹ вых K U • Yh

Y _ lex.

U

Z

^K U • ^Y H

K

3

4

Y

U

r "ex

u

u

L

Z

1

Z

90

Вводятся также понятия режимов холостого хода (Yh=0) и короткого замыкания (Гк=да). В случае работы схемы в режиме холостого хода ее функции обозначаются с верхним индексом <<0»(Ku°), короткого замыкания — с верхним индексом «к» (K/).

Пусть схема представляет собой усилитель или частотно-формирующий каскад, где нет независимых источников сигнала. Рассмотрим вопрос об определении функций схемы через параметры матрицы проводимости Y.

Согласно методу узловых потенциалов:

U = Y-¹ • J

При этом вектор задающих токов схемы имеет 2 компонента, соответствующих входному и выходному токам схемы (рис. 3.17). В узел «а» входной ток втекает, следовательно он берет­ся со знаком «+», выходной ток вытекает из узла «Ь», следовательно он берется со знаком «-». Узловые напряжения в узлах «а» и «Ь» соответственно — Uex и ивых:

^Ub

Предположим, что матрица про- водимости 7 имеет следующий вид:

У11 У12

У1Л-

Y = У 21 У22 У2\

Y г

I.

Yh

U

U

и

a

вых

e x

Уу 1 У v

^У v\

Рис. 3.17

Для построения обратной матрицы Y надо найти алгебраические дополнения для каж­дого элемента, разделить их на определитель матрицы Y, полученную матрицу транспониро­вать:

Y-

А^Л А А

Aw А

Здесь Ау — определитель матрицы, полученной из исходной матрицы Y путем вычерки­вания i-ой строки иу-ого столбца, умноженный на (-1)+':

Нас интересуют потенциалы входного (а) и выходного (Ь) узлов, поэтому полное матрич­ное уравнение решать нет смысла. Надо рассмотреть 2 строки, соответствующих узлам «а» и «Ь»:

1

1

^U а = Т • Z ^Аsa & s—1

= T ' Z ^A sb A s—1

Т.к. в векторе задающих токов J всего 2 ненулевых элемента, то

и

у

V

V

b

s

s

в Х

91

ГАД abb U _вх_ A aaA bb • 1 вх - AbbaA b b • 1вых

ЛАА U _ a Ah • 1 -A Ab_bb. • 1

л aa вых aa ab вх aa bb

^AA ab^U ex ^{- A A} aa^U вых _ ^A a^Ablb" ¹ вых ^{- А} afl , ba • ¹вых ^Л

Ц . „ А Aab

U вх A A a a +\ (Aa a ^ - A ^A ь ь) /• Y _н

Из теории определителей известно, что:

А Л._ь - А Л , _b _ А ,_ьь

aa bb a^ ' ba aa'bb

^ивх д aa¹ вх ^лЬа ¹вых ^u вых д ab ¹ вх ^ЛЬЬ ¹вых)

Эти уравнения преобразуем так, чтобы выделить интересующие нас параметры 1 вх и 1 Для этого исключим их уравнений 1 вх.

^U вх_ IT ^-(А aa ^ ¹"х - ^A b ba • ¹ _вых ) \' ^хА ab

вычитаем из 1 -го 2-е {

1 ab ^u в х л aa ^u в ы х ) л

^еых- Aia Abb ь - A a bb A bb a

1 вых и ивых связаны между собой через параметры нагрузки: 1ebix_Uebix-YH. Используем это в последнем уравнении:

А aЬ^Uвх A a a ^u в ы х > ^ивых ^Y H (лaaльь лaьльa> ^Ц в ы х & a a + ( K a \ b ~ \ b \ a > ' Y > _ ^{А A}ab^uex л

K U

А

где Aaa,tb — двойное алгебраическое дополнение, полученное из исходной матрицы пу­тем вычеркивания строк и столбцов с номерами a и b соответственно.

1. Ун вкл. в матрицу Y — по формуле KU⁰

2. Ун не вкл. вматрицу Y — по формуле KU

Таким образом, функция схемы Ku получилась как результат матричных операций, не связанных с расчетом схемы. Несложно получить соотношения для режима холостого хода:

Y _ 0 л K ° _ Aab

^u А

и короткого замыкания:

YH л л KK _ 0

Если составить эквивалентную схему, включая в нее Yh, то мы должны рассчитать схему для режима холостого хода (т.к. ток нагрузки 1н уже учтен в матрице). Если Yh не входит в мат­рицу проводимости, то Ku считается по общей формуле.

л

92

1. YH ВКЛ. В матрицу Y — по формуле Кт^к, при этом разрывается цепь

между YH и землей

2. YH невкл. вматрицу Y — поформуле К

Несложно получить соотношения для режима короткого замыкания:

А.

Yн

дает:

Т

Y

Л л

Д У

ab

J

Y

ab

к К

А

bb

и холостого хода:

Y. = 0 К ; = 0 Все прочие функции схемы выражаются через Ku и Кт:

Y = 1_вх_ ¹ вых • ^Ки YTKU

ех U , KI • UebL ^Kr Подставив в выражение для Yex выражения для Ku и К через определители, получаем:

YЛ =

Yn - A aab V ( А + Ун • A bbb ) ^{( a} aa + ^Y н ^-A aabtbb)^-A lib * ^Yh

a + Yh -Abb

^A + ^Y. ^-A aa,bb

1. Yh ВКЛ. В матрицу Y — по формуле YEX'

2. Yh невкл. в матрицу Y — по формуле YsX

Получим соотношения для режима короткого замыкания:

и холостого хода:

Y f

aa,bb

Y. = 0

= л А.

В результате матричных преобразований размерности выходных величин должны сохра­няться. Для выражений Ku и К размерности матриц числителя и знаменателя одинаковы, для Yex — порядок матрицы числителя больше порядка матрицы знаменателя.

Еще одна функция проводимость передачи Ynep:

у ^ пых

"^ер и

и ■У

вых н

II..

К и -У„

7 _ ^ чых _ 1вых _ К]

^пер / 1.-Y, Y..

вых

У

bb

У

У

93

Л + Yr 'А aa

Д ■ + ^YP -^А a a , bb

Как правило, для реальн. источн. Rr-^A0 или Уг^л<». Ун вкл. в матрицу проводимости У, Уеыхсчит-ся по формуле:

Y„„ = Y.t

Рассмотрим вычисление функций схем для каскада с общим стоком (см. рис. 3.13, 3.14). Ранее для него получили матрицу проводимости Y:

Y=

Любой из элементов матрицы является комплексной величиной, состоящей из активной и реактивной компонент. Чтобы найти функцию схемы в частотной области, вначале надо запи­сать каждый элемент yks через значение параметров схемы. Проанализировав выражение для требуемой функции схемы, необходимо определить те подматрицы, которые нужны для расче­та. Например, если рассчитывается Ku, a Yh включена в состав матрицы, то нужны только Aab и Aaa. Необходимо записать выражения для вычисления определителей, заведомо вычеркнув строки и столбцы в матрице Y.

Y

Y

а — 1-ый узел; b — 4-ый узел.

* Yh может включаться и не включаться в матрицу проводимости в зависимости от иско­мой функции и используемых формул (см. выше).

94