^IC2 - ^S2 ( ^U 2 _ ¹ C 2 ^R 2 * ^b2 ( ^I C 2 ^R 2 Г )> . ..

In"

i_ _e 2 C2 2 +2 (C2 2 f у

^R- H

I ~ ВЫХ

V У "^c2~ * ' ^Ci

^UBbIX ~ ( ^I C i ^I C 2 )^RJH

f Pi (E n ~ (I c i ~ I C 2 ) R h -ICR ) Л

U i + I _ciRi + bi{I _ciRi)

I _Ci = SiUi -IciRi + bi(IciRi)2)x i-e

V У

^A P2 ((ICi-IC2 )Rg-IC2R2 ) ^A

Ic2 = S2 (U2 - Ic2R2 + b2 (Ic2R2 )² )X ⁱ_ ^{e U2}+^{Ic 2R2} +^{b2 (Ic 2R2 )2}

V У

^Ucm ~ En Ueblx U 3 m - En Ueblx RJCI

л

¹ C \

^R H у

R

U

^U С И 2

BbX

Ucm = f ( l a ) U 3 T = ф ( ⁷ С 1 ) ^U C H 2 =^f { I C 2 ) ^иЗИ 2 = ф ( ⁷ С 2)

Ic 1 = S Ui - ICiRi + bi(lCiRi )² )x i-e

₂ W i . 0 U i + I C i R + b { I C R )

У

' P2 {^UBL 1X-C2^r2 ) ^Л

a Pi( En -Unbix ~^i^Ri) Л

3.6 Гибридный анализ электронных схем

3.6.1 Формирование уравнений гибридного резистивного 2п-полюсника

В методах узловых потенциалов, контурных токов, методе обобщенных ветвей в качестве переменных и неизвестных в уравнениях использовались физические величины одного типа: в методе узловых потенциалов и обобщенных ветвей — напряжения, точнее узловые потенциа­лы схемы, в методе контурных токов — токи схемы. Зачастую более удобным оказывается ис­пользование при составлении уравнений электронных схем напряжений и токов в отдельных элементах или точках схемы. Составленные таким образом уравнения называются гибридны­ми уравнениями.

Удобство использования гибридного анализа состоит в том, что путем определенных ма­тематических преобразований удается проводить расчеты не только обычных линейных схем, но и нелинейных, в которые включаются положительные и отрицательные нелинейные сопро­тивления, зависимые источники напряжения и тока, управляемые напряжением и током в том числе нелинейные, реактивные компоненты: конденсаторы и индуктивности. Гибридный анализ оказывается особенно удобен, если схема содержит незначительное количество нелинейных компонентов, но большой процент управляемых источников и линейных компонентов.

Идея гибридного анализа состоит в том, что в исходной схеме осуществляется выделе­ние всех нелинейных элементов, реактивных элементов, в результате чего оставшуюся часть схемы, состоящую из линейных активных резисторов, независимых и зависимых линейных ис­точников напряжения и тока, представляют в виде некоторого 2т-полюсника, все выделенные элементы являются нагрузкой которого. Сточки зрения физического смысла задачи все прове­денные операции являются корректными, т.к. схема лишь разделяется на две группы компо­

109

нентов. Описание оставшейся линейной части схемы может быть осуществлено просто мето­дами, о которых речь пойдет ниже.

Выделенные элементы (двухполюсники) заменяются независимыми источниками ЭДС или тока по следующим правилам:

Управляемые напряжением нелинейные сопротивления заменяются независимыми ис­точниками ЭДС;

Управляемые током нелинейные сопротивления заменяются независимыми источниками

тока;

Емкости (линейные и нелинейные) заменяются независимыми источниками ЭДС;

Индуктивности (линейные и нелинейные) — источниками тока.

Входы образовавшегося 2m-nonrocHHKa (будем обозначать его N) (таких входов 2m), будем называть входами напряжения или входами тока по типу элемента, подключенного ко входам (т.е. если некоторый элемент заменяется источником ЭДС, то соответствующие входы 2"-полюсникэ называются входами напряжения, если элемент заменяется источником тока — то соответствующие входы называются входами тока).

Предположим, что у сформиро-

N

2m-norracHMK:

линейные сопротивления, независимые источники, линейные зависимые источники

Входы напряжения (а)

Рис. 3.28

m, +1

Входы тока (в)

V

Ш! +1

V

Ш1 + 2

ib =

mi

m1+m2

mi +m2

По принципу построения 2m-nonrocHHKa, в его составе остались независимые источники ЭДС и тока, линейные резисторы и зависимые источники тока и эдс (линейные). Обозначим вектор независимых источников внутри 2m-nonrocHHKa в виде и.

Т.к. все элементы внутри 2m-nonrocHHKa линейные, то для него можно записать систему гибридных матричных уравнений в виде:

т„ +1

т +т

т +т

2

m ! + 1

2

b

a

m

ii0

Здесь Ни M — некоторые гибридные матрицы, отражающие связь токов входов на­пряжения и напряжений входов тока с величинами эдс входов напряжения, величинами токов входов тока, а также влияние независимых источников внутри 2т-полюсника N. Очевидно, что судя по структуре уравнений, матрицы Ни S = MU можно разбить на подматрицы в со­ответствии с размерностью векторов va и ib.

Возвращаясь к целям гибридного анализа, необходимо отметить, что он имеет смысл не сам по себе, а как удобный аппарат для решения нелинейных уравнений, описывающих схемы, а также дифференциальных уравнений для расчета переходных процессов.

Рассмотрим, каким способом можно хотя бы упрощенно представить себе структуру гиб­ридных уравнений, точнее, гибридных матриц Ни S.

Несложно видеть, что из последнего уравнения следует, что если закоротить все источ­ники ЭДС входов напряжения и разомкнуть все источники тока входов тока, то первое слагае­мое в гибридном матричном уравнении становится равным нулю. При этом уравнение прини­мает вид:

ab a + a

b "ba "ЬЬ

ib Sb

Н

V

111

a

v

2

Рис. 3.29

Rb

Ra

Рис. 3.30

Rc

i 2 =0

Ra!l(Rb + Rc )'

Rb

Rc

Рис. 3.3i

<i2

i

i

Ra ii (Rb + R c Г ~ Х Ж + Ш ~

Ra + Rb + Rc

Ra + Rb + Rc

^h i i =

Ra-(Rb + Rc)

Ra + Rb + Rc R a -(Rb + Rc)

h = i i

■2 Vi=0

i2 -(RbllRc) R

h

v

V

Rb

О

Г ^л

Ra

Rc

V2

^h 21 = ^V2

¹ i2 =0

Рис. 3.32

Rb Г л - Ч ;

R

I T

Рис. 3.33

i2

V2

^h 22 = ^V2

V1=0

Я Я Я + Я

2

h

2 2

3.6.2 Учет независимых источников напряжения и тока

Исключим из N -полюсника зависимые и независимые источники напряжения и тока. Та­ким образом, в гибридных уравнениях, описывающих схему, исключается вектор S. Для этого специального случая будем обозначать оставшуюся часть схемы 2и-полюсником N, опуская знак ~ в обозначениях токов и напряжений. Рассмотрим вопрос о существовании матрицы H для многополюсника, состоящего только из линейных резисторов.

Необходимым и достаточным условием существования гибридной матрицы для линей­ного резистивного многополюсника N является следующее:

i. Ветви, соответствующие входам напряжений, не содержат контуров;

ii2

Рис. 3.35

Достаточное условие существования матрицы H.

Вспомним свойства матрицы главных сечений П. По первому закону Кирхгофа П1в=0, где Ie — вектор токов ветвей.

Выберем дерево схемы таким образом, чтобы все входы напряжений явились ребрами дерева. Так как по необходимому условию существования матрицы H эти входы не образуют контуров, то это возможно всегда. Обозначим ветви, относящиеся к ребрам дерева и являю- щиеся входами напряжений индексом E. Оставшиеся ветви внутри 2п-полюсника, относящие- ся к ребрам дерева (т.е. линейные резисторы) обозначим индексом R.

Обозначим проводимости, от- носящиеся к хордам дерева и не яв-

ляющиеся входами токов, индексом G, наконец, проводимости ветвей, относящиеся ко входам токов и яв- ляющиеся по определению хордами дерева, обозначим индексом J.

С учетом указанных обозначе- ний 2п-полюсник может быть пред- ставлен эквивалентной схемой сле- дующего вида (рис. 3.36).

Так как n-полюсник N состоит только из линейных резисторов, то он может характеризоваться матрицей

сопротивлений. При этом часть схемы, относящаяся к ребрам дерева — матрицей резисторов Zr, а часть схемы, относящаяся к хордам — матрицей проводимостей Ув.

Рассмотрим более подробно соотношение П1е=0. Матрица П, по определению — пря- моугольная размером (vxl), в которой элемент яъ определяет принадлежность s-ой ветви схемы k-ому сечению. Если пронумеровать ветви дерева таким образом, чтобы ребра дерева

Рис. 3.34

^VE v )

2п-полюсник:

N линейных резисторов

VYJ J

О

Входы напряжения

E

R G рис. 3.36

Входы тока

J

113

получили номера от 1 до v, то, очевидно, элементы яъ, k=1, 2, ... v; s=1, 2, ... v будут со­ставлять единичную диагональную матрицу, т.к. через одно ребро, по определению, проходит только одно сечение. Знак диагональных элементов — +1, т.к. направления сечений и ребер совпадают. Разбив матрицу Л" на подматрицы, таким образом, можно записать:

п и

EE 0 _ER

'RE

RR

^nEJ X ^R = 0

riRJ G

ребра хорды

В последнем уравнении левая подматрица представляет собой единичную диагональную матрицу размером (vxv), где v — число ребер, а правая подматрица — матрица, отображаю­щая положение хорд относительно главных сечений. Токи входов напряжения, ребер, не отно­сящихся к входам напряжения, хорд, не относящихся к входам тока, обозначены соответствен­но: IE, IR, I G, IJ.

Рассмотрим второй закон Кирхгофа в матричном виде:

г и в = 0

В матрице Г размера (cxl) каждый элемент rks определяет, как s-тая ветвь входит в k-ый контур. Т.к. по определению главные контура выбираются проходящими через хорды схемы, то в матрице Г можно выделить единичную подматрицу размера (схо), которая соот­ветствует хордам. Т.к. все хорды нумеруются, начиная с (v+1) по порядку, то структура мат­ричного уравнения по второму закону Кирхгофа имеет вид:

^U E

г и Е

^Г GE Пз R

^Г J7 ^J- JR

V

ребра

GG 0GJ U

X

'JG JJ

а

хорды

U , U

Для дальнейшего доказательства теоремы рассмотрим соотношение П-Г¹ и докажем, что П-Г = 0.

В скалярном виде последнее равенство означает, что для всех i и j должно выполняться равенство:

E

n E G

n R G

0

114

KeHmypj+1

Рис. 3.38

'i,s+1 "' ^А js

Очевидно при этом, что

, s^r J,s , s+1^Г J,s +1 = ⁰ .

Рассмотрим (j + 1) контур (рис. 3.38), проходящий через хорду (s+2). Элементами матриц Пи Г, соответствующих се- чению i, контуру j + 1, ветвям s и s+2 будут значения: ₁

i, s+2 = -1; Г J,+1_s = + 1 ; ^Г J+1,s+2 = ¹ При этом, очевидно, справедливо равенство:

Щ ,s ^rj + 1 , s + Щ ,s+2 Г J + 1,s+2 = ⁰

с

[строка i матр. П]• [столбец j матр. TJ = 0

т о

л

[строка i П]* б

е ^ц

= о,

Г ¹

где i = 1, 2,..., v j = 1,2,...&; или, что то же

[строка i матр. Л]* [строка j матр. ГТ = 0 .

Последнее равенство можно записать в виде суммы следующим образом:

самое,

is ^Fs = о

i =^1,2,.-, v J =¹ ■²,. -v

s=1

В сумме слагаемое, отличное от 0 имеет место лишь в том случае, если некоторая s-тая ветвь входит одновременно в сечение i и контур J. Предположим, что имеется некоторое i-тое сечение, совпадающее по направлению с s-той ветвью (ребром), и две хорды, s+1 и s+2, оп­ределяющие два контура: j и j + 1. Предположим далее, что контура имеют противоположное к ребру s, и, следовательно, сечению i направление.

Рассмотрим j-тый контур (рис. 3.37), для которого направ- Сечение i ^КонтУР^л/у ₊ 1 ление контура (хорды) совпадает с направлением сечения

(ребра). Тогда для соответствующих элементов матриц Пи Г справедливо:

= 1.

к,

1- Г =

_- 1 '

А¹"

Рис. 3.37

Г

^А J,s+1

1.

Сечение i

s+2

Таким образом, для всех возможных соотношений между ветвями, контурами и сечения­ми соотношение П-Г¹ = 0 доказано.

I s

115

GG ⁰ GJ x UR - П LL_g - riR _G

JG JJ ^U G

U

В соответствии с рассмотренным выше представлением матриц Пи Г в виде единичных

подматриц размером (vxv) и (gxg) соответственно, можно рассмотреть соотношение ПГ ¹ в виде:

ПГ¹ = 1v

^П хорд ^{X Г}ребер

Г t

ребер

1а 1v П хорд^Х = Гр + Пх = 0

1а

Тогда справедливо, что

Г¹р = - Пх Г =- П _Х

Возвращаясь ко второму закону Кирхгофа для метода узловых потенциалов, можно запи-

сать:

г и

^ГGE ¹ ^GR

' JE

2

JR

U ,

0

JG JJ ^U G

U

•n

EJ

n

RJ

^U E

1gg 0gj _х ^ur = ₀

0

Для схемы имеются также очевидные соотношения:

⁷ R "r

L

YRVR.

G YGVG

^U G

⁷ G ¹ G

где 7r, Yr — матрицы сопротивлений (проводимостей) ребер; Yg, 7g — матрицы проводимостей (сопротивлений) хорд.

Для составления матрицы H необходимо решить уравнения относительно "e и Vj при заданных значениях Ve и "j. (задача) Запишем матричные уравнения по первому и второму законам Кирхгофа

г U „ = 0.

через подматрицы. Получим:

¹E + N E G ¹ G + П E J ¹ J = ^{0 1}R + n R G ¹ G + ^П R J ¹ J = ⁰ П I e G V E - H'RGVR + VG = 0 •NJVE - П R J V R +VJ = 0

Исключим из второго уравнения вектора "r и "g: "r = YrUr, "g = YgUg.

YRVR + NRGYGVG + ORJIs =0

Третье уравнение решим относительно VG:

(*)

VG = П E G V E + П R G V R

Подставим это выражение в уравнение (*), получим:

YRVR + HRGYG [HEGVE + H R G V R ) + NmIJ = 0

а

"

Ш _и = ^Л

116

YrVr + NrgYgNRgVr = -NrgYgHEdYE - HRJIJ

VR = [YR + ПRGYG П RG H - ПRGG^YG ПEG^VE Пии J

Исключим из третьего уравнения системы Vr и Vg.

-ПлуЕ - П R G Z RI R +ZGIG = 0

Из второго уравнения выразим Ir:

¹ R = - П R G ' G ~ П R J ¹ J .

»

Подставим его значение в уравнение (***), получим:

- URGVE - HRGZR [- HRGIG - П R J I J ] + ZGIG = 0 - URGVE + П R G Z RURGIG + П R G Z RURJIJ + ZGIG = 0 ' G \ P r G^Z R HRG + ^Z G П E G ^V E л r g^z R л r j i j

Ig ^^GZRHRG + Zg f¹ [URGVE

Подставим уравнение (****) в первое уравнение системы:

IE + n E G [ n R g Z R n R g + ZG л [URGVE -URGZRПл ] + = 0

¹E = ^- PEG\HRG^ZRHRG + ^ZG]" П E G ^V E + EG \ P RG^Z R" R G + ^Z G ] " "RG^ZR"RJ ^П EJ • ' ,

ИЛИ

IE = - HEGZ -¹ URGVE + [ U E G Z - ¹ ПRGZRПш - UEJ ]• I

7 = 7 + _П 1 Z П

^ л 1 1^mr g ^R ^{1 1} R G

^URG = ^{[RX G]; ПRG} =^{[G XR] Z}r=ребра 2М-полюсника Подставим значение Vr из формулы (**) в последнее уравнение системы. Получим:

- ПEJVE - nJ YR + URGYGnRG J"¹ [- URGYGURGVE ~ Пю 1э ]+ VJ = 0 Отсюда:

VJ = N J V e - П < ш [yr + URGYGNRGJ"¹URGYGП<Е(УЕ - п<ш [yr + П л u R GлПш J

Обозначив Y = \yr + nRGYGn^fRG ] и приведя подобные члены:

• = \п' -П/Y^-1 П Y П' 1-V _V-П ^,_{11 1}' (******)

• J V EJ RJ¹ RG G EG J ^V E ¹¹RJ^{1 11}RJ¹J V J

Таким образом, нами получена формула для определения Ie и Vj через значения эдс входов напряжения и токов входов тока:

117

n j Y - ¹ Л ш

Вспомним исходное уравнение для гибридного описания схемы:

'10

Рис. 3.39

В схему входят 3 независимых источника тока и один независимый источник напряжения. Выде- лим все независимые источники в виде входов тока и напряжения, соответственно. оставшийся вось- миполюсник является (2n, n=4) чисто резистивным, следовательно для него применимы все выводы доказанной теоремы.

Лостроим дерево схемы таким образом, что- бы ребра дерева проходили через входы напряже- ния, а хорды — через входы тока рис. 3.41.

Лостроим матрицу главных контуров схемы:

1. контур: хорда 7, ветви 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7

2. контур: хорда 8, ветви 1, 2, 3, 4, 8.

3. контур: хорда 9, ветви 4, 5, 9.

4. контур: хорда 10, ветви 3, 4, 5, 6, 10

Лри этом матрица главных контуров имеет вид:

10

4-

Рис. 3.41

I

V

- Л

7 Л ¹

EG' ¹¹ EG

^Л EG ^{7 Л} U⁷ R ⁿRJ

- Л

M^f V Л Y Л^f

^{1 1} R J ¹ RG G EG

Таким образом, последнее полученное выражение дает не только факт возможности рас­чета элементов Haa, Hab, Hba, Ньь гибридной матрицы, но и их числовые значения, выражен­ные через параметры 2и-полюсника. Рассмотрим ЛРИМЕР.

Лостроить гибридную матрицу для схемы, изображенной на рисунке:

40

Рис. 3.40

E

8

9

118

nER = [0 0 0 0 0]. _nEG = ₁

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

Построим матрицы Zr, Zg , Y_R, yg:

1 0 0 0 0

0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Построим аналогично матрицу главных сечений:

R

G

n =

Выделим подматрицы матрицы П:

R Е

0 0

RG

RJ

ZR

z G = 2

Yg = zg¹ = |0,5|

= 11 ⁰ 0J

1 0 0 1 0-1

1-1 -1

0-1 -1 0 0-1

Найдем элементы Z и Y:

1 0

п

Y

Z

R " R

119

7 - 7g + HRGZRHRG - 2 + [1

= 2 + 5 = 7

1111]

7 -¹

0 = 2 + [1

0

1111]-

0 0 0 0 1 1

± - Y ± -R П n rgY- gI

RG

0,5 • 11 1 1 1 1l

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Y

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

6 7

1 7

1 7

1 7

1 7

После выполнения действий:

1 7

6 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

6 7

1 7

1 7

П 7~¹n^f

E G " 11 EG

1,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 1,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 1,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 1,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 1,5

1 7

1 7

1 7

6 7

1 7

+

120

v

Рис. 3.42 Vr _v

^H a b

П E G ^z П R G ^z R HRJ

E J

Получим:

H _ь. --П¹ - П 1 Y ~¹П Y П ¹

ba

E J

^H b b

R J '

RG J-G^{1 1} EG

- ^{U 1} R J ^{Y -1} " R J

4 7

2 7 4 7

12 7 1 7 2 7

1 7 10 7 6 7

2 7 6 7 12 7

^vp ⁱP k1

2n- полюсник:

q ^vq k2

только линейные резисторы

VE =

1 1

^H ab

a a

1

4

2

4

v

7

7

7

7

v

8

8

v

9

9

v

^H ba

^H bb

v

v

a

L

a a

b h

^q

i j

^q

Если соблюдается необходимое и достаточное условие существования гибридной матри- цы для 2п-полюсника, то, очевидно, для него можно записать:

121

2 3

0 0

1 0

0 0 1

1

- 1 - 1

2

2

a a

H

H

p q

^H b a ^H b p Hbb ^H b q

q p

q b

Последнее уравнение записано для 2и-полюсника, содержащегося внутри 2т-полюсника. Нас, в принципе, не интересуют значения токов через выделенные независимые источники эдс и напряжения на выделенных независимых источниках тока. Поэтому из соответствующей сис­темы уравнений можно исключить уравнения относительно ip и vq. При этом получим:

^H b a ^H b p

^H a b ^H b b

^H aq ^H b q

Или, записывая уравнения в несколько ином виду, получим:

Таким образом, выявилось в явном виде значение матрицы источников S , а также мат­рицы H в виде:

ПРИМЕР 1.

Е

0

П =

П ЕЕ = 11

П RE

Z F

2 0 0 2

R

G

1E 2R 3R

П ^л = 0 0 1 0

П RR

YR

0 1

0,5 0 0 0,5

nEG 1

П RG

ZG = 4

Рис. 3.43

Рис. 3.44

П eJ

П RJ

11

1 1

Yg = 0,25

q a

a

v

a a

a p

b

V

b

^q

4

5

0

1

0

122

= -(4/3 + 2 ) = - з ! = -10/3

Нахождение методом возбуждений-откликов

- 1/6 - 2/3 2/3 -10/3

ПРИМЕР 2.

2 " 2

-CZb Е

ba = nJ - n¹ R J ^{Y 1} U r g ⁷ g n ^f e G = ¹

Z = Zg + n'RGZRnRG = 4 + -1 0

2 0 0 2

= 4 + - 1 0'

Y = 0,375

4 + 2 = 6

- 0,25 0 =

H

H

П Z — i n t

j'i'e g ^л eg

1 '6^M 6

^ПЕ£ ^{Z n}<jR_RⁿRJ- ^ПJ = ¹ • - 6

2 0-1 - 2 -1 0 • -1 = - .1-1 0 • -1 0 2-1 6 - 2

= 1•2-1 = -2 6 3

0,25-1 = 1

= 1 - 0,25

• 4 = 22

3 3

bb J

R

G

Рис. 3.45

П

0,25

Рис. 3.46

I

0

H

1

RJ

'2

123

- 1 -1 = 0-1

4 0 0 2

7 = 7 + П' 7 П

Y = Yr T+ HP rG±YGHP Rg

3.6.3 Учетуправляемых источников при формировании гибридной матрицы

При наличии в схеме управляемых источников проблема формирования гибридной мат- рицы существенно усложняется. Одной из важных задач является определение типа элемента замещения: каким из входов, входом напряжения или входом тока является замещаемый эле- мент.

Предположим, в схеме имеется нелинейные резисторы, которые могут быть представле- ны либо входами напряжения, либо входами тока, а также зависимые источники ЭДС и тока (рис. 3.47).

Предположим, что оба входа явля- „ .

ются входами напряжения, тогда гибрид- ные уравнения 4-хполюсника имеют вид:

6 Ом -CZb

'4

Внутри 2п-полюсника отсутствуют независимые источники ЭДС, поэтому

вектор источников S равен 0.

Определим коэффициенты матрицы H путем исследования откликов входов схемы. Найдем коэффициент hn, рассмотрев условие: v1 - задано; v2=0, т.е. элемент закорочен:

П

1 0 ⁼ 0 1

0 0

7 R

" 0 0

4 0 0 2

YR

0 0 " 0 0

1 0 = 0 1

0,25 0 0 0,5

П я а

П

R G

П

П RJ

YG

1 0 " 0 1

-1 0 = 0 1

0,25 0 0 0,5

'2

^V 7

Vc

ab Vn

H ь

Hbb

3 Ом

'' v l

V

v5 = 2*'3

v6 = k*'4

-у-

v2 . '2

-у-

-y-

Рис. 3.47

13-N, 1 4—¹2

9a = -(2 • i3 + k • i4 ) = 2 • ii - k • i4

3 Ом

О

' - Ф a -

'4 " 6 "

2

V

k' ' <

6 Ом

v6 = k*'4 Рис. 3.48

■4

1

п

П RE

П RR

V

a a

7

8

|3

'3

/'1

V

6

2

4

6

2

124

Из величин коэффициентов матрицы следует, что при k = 2 матрица не существует, т.к. элементы hj обращаются в бесконечность. Рассмотрим случай, когда в той же схеме один из

нелинейных резисторов представляется

входом напряжения, а второй — входом тока.

Структура матричных уравнений при

этом:

этом i2=0, т.е. второй вход 2т-полюсника разомкнут:

4Z3—

^v1 i3

и

ra -СоК

i 4

+3

1 2

Фа = - 2 * i3 + k

Ф а

U - ?

Фа = ² • '1

-i 2 • i л

-1 2 - 3k +i 8 6 - 3k

^Vi = Ф а + '3

k- ¥ -³ •

'1 = '1

k - 6

k - 6 ^{i 1}

/i k - 6 vi 6 - 3k

По аналогии определяются другие коэффициенты:

v v

3 Ом 4ZZ1—

6 Ом

^-а

vi

i3

/1

v5 = 2* i 3

i 4

V

v2

v6 = k*i 4

Рис. 3.49

t-

Определим коэффициент hii, При

h.1 = ±

О

V

v5 = 2* i 3

v6 = k*i4

'2 _- '4 - ⁰ л

У6 = 0

Фа

■3 . ч

= Фа

Рис. 3.50

^v1 = - ² • ■З + ³ • ■З = ■З ■1 = - ■ 3 . ^v 1 = - ■ 1 . ^h11 = -¹

По аналогии схема для определения hi2:

3

3

2

= 0

125

Аналогично определяются остальные коэффициенты. При этом матрица имеет вид:

1 k

Таким образом, правильный выбор входов напряжения и тока в значительной степени определяет успех построения гибридной матрицы. При неправильном назначении входов мат- рица вырождается.

Рассмотрим способ формирования гибридной матрицы, который называется методом выделения управляемых источников.

Рассмотрим схему некоторой цепи вида рис. 3.52.

Указанная цепь представляет собой 2m-

полюсник, в котором m=1. Гибридное уравнение, опи- сывающее схему, должно иметь вид:

n = hjj-v1.

Заменим вначале управляемый источник тока

независимым источником и выделим его во вход тока. Эквивалентная схема цепи примет вид рис. 3.53.

А гибридное уравнение, описывающее схему в

этом случае, имеет вид: -C3-

'' Rb

3 Ом

Рис. 3.51

l>2

v2

3 • ' 2 * /3 k' ?2

h = л

12

■2 v1=0

■4 = ■ 2

^{0 V}2 = Фа +'4 • ⁶

Фа = -²

■ ^ J. ^k . ■ о

2 * /3 k' '2

-k • L

4 '3

k'„

hn = л = k

H =

2 3k - 6

-CZb

Rb

V1&

\Ra

>Р1а

Рис. 3.52

'2

R„ 1

-1 v •Ru ²

v'&

Ra

Рис. 3.53

Коэффициенты матрицы легко определить по откликам входов. Однако ток '2 не является независимым, а определяется током резистора Ra. С другой стороны, ток резистора Ra не вхо­дит в координатный базис гибридного уравнения, поэтому обычным способом определен быть не может. Для устранения этой трудности введем еще один дополнительный фиктивный вход в рассматриваемой схеме, представляющий собой вход напряжения с напряжением, равным 0, в результате чего получим эквивалентную схему рис. 3.54:

3

2

v

126

Для того, чтобы полученная схема была эквивалентна исходной, необходимо записать дополнительно 2 условия:

V3 = 0 _; i2 = pi3

у

Для получения гибридной матрицы в искомом виде, необходимо исключить 4 нежела­тельных переменных i2, v₃, V2, i₃.

Для этого запишем гибридные уравнения вначале в обычном виде:

i = v - i н v

- Ra Ra

Она, в свою очередь описывается гиб­ридным уравнением вида:

1

R 1

1

-1

1

R

Rb

vh

■1

Рассмотрим условия:

Тогда, очевидно,

^v 2 - ^v - - R b • '2

1 1

h - 'м v₃

R ^{- -} R ³

V3 - 0 ; i2 - pi;

- - R - - v , - p . R - -v, • R (p +¹)

откуда

P + 1

hn - ^Л - '

v R„

что, собственно, и требовалось определить.

Таким образом, суть метода выделения управляемого источника состоит в выделении правильного набора элементов из 2т-полюсника, в результате чего удается воспользоваться уравнениями для гибридного резистивного 2п-полюсника.

Гибридный анализ распространен нами на следующие виды элементов электронных схем: линейные сопротивления, все типы управляемых источников, независимые источники ЭДС и тока, а также нелинейные элементы, каждый из которых представляется либо управ­ляемым напряжением источником тока, либо управляемым током источником ЭДС. Кроме того, идея метода управляемых источников позволяет также, при желании, обеспечит расчет напря­жений и токов в любой точке схемы, т.к. для введения указанных параметров в координатный базис схемы достаточно включить в ветвь, в которой необходимо рассчитать ток, фиктивный источник ЭДС с напряжением, равным нулю, а между точками, в которых необходимо рассчи­

2

2

1

'3

127

тать напряжение — фиктивный источник тока, с током, равным 0. При этом фиктивные элемен­ты выносятся из схемы в виде входов напряжения и тока, соответственно, что позволяет рас­считать их основные параметры.

Не следует забывать, что вся теория гибридных матриц выведена в принятом ранее до­пущении, что независимые и управляемые источники тока не образуют сечений.

Расссмотрим формализованные методы составления гибридной матрицы для схем с за­висимыми источниками.

Допустим имеется n таких источников. Каждый источник может быть управляемым током замкнутого накоротко элемента, или узловым напряжением на разомкнутом элементе. Это не снимает общности, т.к. замкнутый элемент может быть всегда добавлен последовательно с любым элементом схемы, а разомкнутый элемент — параллельно. Однако ограничения на вид схем тем не менее имеют место:

1. Зависимые источники напряжения, входы напряжений и независимые источники на­пряжений не образуют контуров.

2. Зависимые источники токов, входы тока, независимые источники тока не создают сече­ний.

Такую схему в целом можно представить в виде:

1. Выделяем независимые и управляемые источники напряжения во входы напряжения.

2. Выделяем короткозамкнутые элементы (токи которых являются управляющими пере­менными), во входы напряжения (с напряжением равным 0).

3. Независимые и зависимые источники тока выделяем во входы тока.

4. Разомкнутые элементы, напряжения на которых являются управляющими переменны­ми для зависимых источников, превращаем во входы тока (с током, равным нулю).

Обозначая:

^Va — входы напряжения

ve — независимые источники напряжения

vvv — управляемые напряжением источники напряжений

vcv — управляемые током источники напряжений

vsv — короткозамкнутые независимые элементы

^b — входы тока

j — независимые источники тока

сс — управляемые током источники тока

vc — управляемые напряжением источники тока

ос — разомкнутые элементы

Векторы напряжений входов напряжения, токов входов напряжения, токов входов тока, напряжения входов тока:

128

V„

V.

v„ V

V

E VV

Тогда гибридная матрица имеет вид:

~a ^ve ^vvv ^vcv

'vc

b

a

b

a

e

I

л

v

129

11 ^H 1 2 ' 1 3 " 1 4

21 " 2 2 " 2 3 ' 2 4

^H 31 ^H 32 ^H 34 ^H 3 4

H

41 ^H 4 2 ^H 4 3 ^H 4 4

X 3 =

Vsv

= 0

W3 =

напряженияуправляемых источников, которые связаны с

напряжениями и токами функциями управления K.

X 2 =

= KW.\

^H 3 1 ^X 1 + ^H 32 ^X 2 + ^H 34 ^X 4

X2 "KH31X1 + KH 32X 2 + KH34X4

V

w,

^H11 + ^H12 I¹ " ^{K H} 3 2 I"^{1 K H} 3 1

Я 1 2 f - ^{K H} 3 2 ] ^1KH34 + H 1 4

h = ^Я 1 1 + " ^{K H} 3 2 ] ¹ K H 3 1 .

M = H14 + H12 [1 - KH32 Г KH 3 4 •

>

3.6.4 Метод Ньютона-Рафсона для гибридных уравнений

Предположим имеется нелинейная резистивная схема N, содержащая линейные и нели­нейные (управляемые током и напряжением) сопротивления, независимые источники тока и ЭДС, все 4 типа управляемых источников. Предположим, что немонотонно изменяющиеся со­противления сечений не образуют.

Вынесем все управляемые напряжением нелинейные сопротивления во входы напряже­ния, все управляемые током сопротивления — во входы тока. Их будет, соответственно,

X

W

X

2

2

W

X

3

3

W

X

4

4

V

oc

V

vc

V

cc

+

V

Ъ

130

Здесь вектор S — вектор неза- висимых источников энергии внутри 2т-полюсника. Несложно понять, что

Рис. 3.55

все элементы правой части указанного уравнения, а именно Я и S не зависят от вида нели- нейностей, представленных во входах напряжения и тока. Поэтому при расчете схемы они все­гда будут вычисляться только один раз.

Рассмотрим описание нелинейных элементов схемы (т.е. входов схемы). Управляемы напряжением нелинейные резисторы могут быть описаны нелинейными проводимостями, за­висящими от напряжения:

S M

S 2 ^{( V} 2 '

(Va )

2

mj ^S mj V^V mj ⁾

Управляемые током нелинейные резисторы на входах тока могут быть описаны нелиней­ными сопротивлениями, зависящими от напряжений:

Несложно видеть, что напавления токов и напряжений на сопротивлениях и проводимо- стях совпадают с положительными направлениями токов и напряжений на входах 2т- полюсника. Поэтому можно подставить в левой части гибридных уравнений соотношения, опи­сывающие нелинейные элементы и раскрыть уравнения в виде:

G (Va ) - HaaVa ~ H J ь ~ ~ =0

Rb (Ib) - HbaVa - Hbbib - Sb = о

В указанной системе нелинейных уравнений собственно нелинейными являются только члены Ga (Va) и Rb (Ib).

Обратим внимание, что последние уравнения записаны в виде, соответствующем реше­нию методом Ньютона-Рафсона, а именно:

131

\F(Va , lb ) = 0 I F2(Va, lb) = 0 Тогда Якобиан указанных уравнений находится в виде:

J=

Итерационная формула метода Ньютона-Рафсона имеет вид:

X⁷+¹ = X⁷ -[j(X^JJ]"¹ F(X^J)

X = Т.к. ^b TO

y J

VJ

b J

G a (V a^J ) - Haa (V )

l J ) - S J

R b (lb ) - Hba (VJ ) - Hbb (U )

Практическая реализация метода Ньютона-Рафсона для гибридных уравнений трудно­стей не представляет, т.к. начальное приближение может быть определено либо из оценочного расчета, либо, в худшем случае, задано нулевое начальное приближение. Однако серьезным недостатком метода является то обстоятельство, что матрицу Якоби необходимо рассчитывать и обращать на каждом шаге решения нелинейных уравнений.

Существует, однако подход, который позволяет избавиться от этого недостатка. Он со­стоит в том, что нелинейные характеристики сопротивлений заменяются их кусочно-линейными аппроксимациями. Рассмотрим характеристики входов напряжения и тока в некоторой нели­нейной схеме рис 3.56.

E_b{Oj)

Рис. 3.56

Как видно на рисунке, характеристика нелинейного сопротивления, управляемого напря- жением, на участке напряжений E~ (a.) < Vaj < E+a (a.) описывается уравнением:

'aj = ^G a j J ) ^V a j + ' a j ⁽ ° J )

+ 1

b

132

v bj = ^R b j J )¹ bj + ^E b j J ⁾ _

Выберем одну из комбинаций отрезков ст и обозначим их таким образом, чтобы CTI соот­ветствовало первому входу, Ст2 — второму; ami+i — (mi+1) входу тока и т.д. Очевидно, что для определения принадлежности текущей точки тому или иному интервалу расчета, необхо­димо сравнить значения управляющих напряжений на входах напряжений с границами E~ (ст j), E+a (ст j) итоков входов токов — страницами I" (ст j), (ст j).

Как видно из приведенного рисунка (рис. 3.56), на каждом участке справедливо описание ВАХ нелинейного сопротивления, управляемого напряжением, в виде:

Аналогично, ВАХ нелинейного сопротивления, управляемого током —

Причем напряжения и токи должны соответствовать матричным неравенствам:

В общем матричном виде указанное уравнение можно записать:

la = Ga (0)Va + I_a (ст) Vb = Rb (a)lb + Eb (ст) Рассмотрим гибридное описание схемы:

133

Ga (G)Va + I а (°)" HV ~ H J b ~ ~ = 0

Rb (a) Ib + Eb (а)-HbaVa - H J b - S_b = 0

Как и прежде, эти уравнения справедливы при выполнении условий принадлежности то- чек выбранным отрезкам аппроксимации нелинейных ВАХ. Обратим внимание также на тот факт, что I a (q) и Eb(q) константы для выбранных отрезков.

Таким образом, подлежащие решению нелинейные уранения пишутся в виде:

F

V ¹ b у

Ga (a) - Ha

- H

H

Rb (v) - H>b

♦ ' ■ (° " s = 0

Vb (a) - St

Вспомним итерационную формулу метода Ньюона-Рафсоча:

= _ j-iX у (x )

Рассмотрим начальное приближение V°, Ib, которому соответствуют отрезки а⁰. Тогда:

Ga (Я") - Ha _--I-

H

ab

' I a(^Q) " S

H

i Rb(v⁰) - H ь Vb (a) - Sh

Т.е. необходимо знать не точку Va, Ib, а лишь комбинацию отрезков. Аналогично

-H b a 1 Rb

(Я" ) - H

bb

Vb (*ⁿ) - Sb

ЗАДАЧИ.

2 (]) 1 1. Составить гибридную матрицу H для схемы рис. 3.57

-j — г — с с л - методом возбуждений-откликов.

vл п^{2 (1)} П^{1 (2)} @lⁱ² 2. Сделать 2 шага нахождения корня уравнения методом

ab

ba

a

Рис. 3.57

134

XX + 4x - 2 = 0 _f XX - 4x + 2 = 0

3. Определить коэффициент абсолютной чувствительности модуля коэффициента пере- дачи интегрирующей RC-цепи на частоте ю к изменению параметров R и С.

135