§ 73. Некоторые свойства основных

КЛАССОВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

73.1. Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле а называется соле'Ноuдал'Ь'Н:ы.м, если

во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. div а = о.

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей

вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле,

создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический

ток, и другие.

Приведем некоторые своuсmва соленоидального поля.

1. В соленоидальном поле а поток вектора через любую замкнутую

поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает

из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников

и стоков.

2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного

поля, т. е. если div а = о, то существует такое поле Ь, что а = rot Ь.

Вектор Ь называется ве-х:mор'Н'Ь/. . м nоmе'Н:цuало.м поля а.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения

соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное

утверждение - поле ротора векторного поля есть соленоидальное -

нами доказано (выше мы показали, что div rot а = о).

3. В соленоидальном поле а поток вектора через поперечное сечение

векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое

инmенси6носmыо трубки).

о Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями

В1 и В2; боковую поверхность трубки обозначим через S

(см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую

из В1, В2 И В, равен нулю. Следовательно,

где n - внешняя нормаль.

s

Рис. 280

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль n перпендикулярна

к векторам поля, то JJ аn ds = О и, следовательно,

5

JJ аn ds = - JJ аn ds.

51 52

Переменив направление нормали на площадке В1, т. е. взяв внутреннюю

нормаль nl, получим:

• В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает,

что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени,

равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

73.2. Потенциальное поле

Векторное поле а называется nоmен'Цuалън'Ым (или беЗ6uхре6'ЫМ,

или градUенmН'ЬtМ) , если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е.

rot ii = О. Примером потенциального поля является электрическое поле

напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Своi1.сmво 1. Циркуляция потенциального поля ii по любому замкнутому

контуру в этом поле равна нулю.

О Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

С = f a".dl = О. • L

В частности, для силового потенциального поля это означает, что

работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей

текущей жидкости равенство С = О означает, что в потоке нет

замкнутых струек, т. е. нет водоворотов .

Своi1.сmво 2. В потенци~ьном поле ii криволинейный интеграл

f Р dx + Q dy + R dz вдоль- любой кривой L с началом в точке 1\11

L

И концом В точке М2 зависит только от пола-

жения то.чек M1 и М2 И не зависит ат фармы

кривой.

Q Это свайство вытекает из свойства 1. Дей-

ствительна, взяв в пале две тачки M1 и М2 , Рис. 281

саединим их двумя кривыми M1pM2 И M1qM2 так, чтабы кантур

M1pM2qM1 лежал внутри паля (см. рис. 281). Тогда, в силу свайства 1,

имеем f Р dx + Q dy + R dz = О.

MlpM 2QMI

Учитывая свайства кривалинейнага интеграла, палучаем:

f Р dx + Q dy + R dz =

М,рМ2 чМ• f Р dx + Q dy + R dz + f Р dx + Q dy + R dz =

М'РМ2 М2ЧМ, f f = О,

М'Р М2 М'ЧМ2

Т. е. f Р dx + Q dy + R dz = f Pdx + Qdy + Rdz. •M l pM2 М.Ч М2

Своi1.сmво 3. Потенциальнае пале является палем градиента некотарай

скалярной функции U(x;y;z), т. е. если ratii = О, то существует

функция И(х; у; z) такая, что. ii = grad И.

О Из равенства rot а = о вытекает что дР = lj.Q lj.Q = aR aR = , ду дх' az ду' дх

= ~~, т. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом

некоторой функции И = U(х; у; z) (следствие 56.1). Эту функцию

называют потенциалом векторного поля а = Р{ + Q] + Rk; dU =

= Pdx + Qdy + Rdz.

Отсюда: р = дU Q = дU R = дU . Следовательно

&' ~' fu '

- - - дU - дU - дU -

а = р. i + Qj + Rk = - . i + - . j + - . k = gradU,

дх ду az

т. е. вектор поля а является градиентом скалярного поля. •За.ме'Ч,а-н,uе. Из равенства rot grad И = О следует обратное утверждение

~ поле градиента скалярной функции И = U(х; у; z) является

потенциальным.

Из равенства а = grad [J следует, что потенциальное поле определяется

заданием oanoi1 скалярной функции И = U(х; у; z) - его потенциала.

Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

(x;y;z)

U(x;y;z) = J Pdx+Qdy+Rdz=

(XO;YO;zo)

х у z J Р(х; уо; zo) dX + J Q(x;~; zo) ~ + J R(x; У; () d( + с, (73.1)

хо Уо 'О

где (хо; уо; zo) координаты фиксированной точки, (х; у; z) - координаты

произвольной точки. Потенциал определяется с точно

·стью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что

grad(U + а) = grad И).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных

функций (Р(Х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) - проекции вектора поля на

оси координат).

За.ме-ча-н,uе. Определение потенциального поля может быть дано

иначе - векторное поле а называется потенциальным, если оно является

градиентом некоторого скалярного поля, т. е. а = gradU. (Иногда

пишут а = - grad И; знак «минус » пишут для удобства, обычно

векторные линии направлены в сторону убывания И: поток жидкости

направлен туда,. где давление меньше; теплота перемещается от более

нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример 73.1. Установить потенциальность поля

а(М) = (yz - 2x)1 + (xz - 2у)] + xyk

и найти его потенциал.

Q Решение: Имеем:

rota =

~

д

дх

yz - 2х

j

д

ду

xz - 2у

k

д

дz

ху

= (х - x)l - (у - у)] + (z - z)k = о.

Следовательно, поле вектора а потенциальное.

Найдем потенциал И по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной

точки начало координат, т. е. хо = уо = Zo = о. Так как

Р(х; уо; zo) = -2х, Q(x; у; zo) = -2у, R(x; у; z) = ху, то

х у z

U(х; у; z) = J (-2х) dX+ J (-2~) d1, + J ху d( +с = _х2 _y2+ xyz + C • .

О О О

73.3. Гармоническое поле

Векторное поле а называется гарм,О1tu-ч.еС7I:Uм, (или .лаnлаСО6'Ым,),

если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным,

т. е. если rota = О и diva = о.

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей

стационарного безвихревого потока JКидкости при отсутствии В

нем источников и стоков.

Так как поле а потенциально, то его MOJКHO записать в виде

а = grad И, где И = U(х; у; z) - потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

div а = div grad И = о,

или, что то JКe самое,

т. е. потенциальная функция И гармонического поля а является решением

дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется,

как YJКe упоминали, гармонической.