Глава xhi. Числовые ряды

§ 59. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

59.1. Основные понятия ... . ... .... .. ...... . ................... 438

59.2. Ряд геометрической ПРОr:'рессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

59.3. Необходимый признак сходимости числового ряда .

Гармонический ряд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 442

11

§ 60. Достаточные признаки сходимости

знакопостоянных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 444

60.1. Признаки сравнения рядов.............................. 444

60.2. Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

60.3. Радикальный признак Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 448

60.4. Интегральный признак Коши.

Обобщенный гармонический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

§ 61. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды............... 451

61.1.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница .......... 451

61.2. Общий достаточный признак сходимости

знакопеременных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 453

61.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.

Свойства абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

Глава XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

§ 62. Функциональные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

62.1. Основные понятия....................................... 457

§ 63. Сходимость _______________степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 458

63.1. Теорема Н. Абеля........................................ 458

63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. . . . . . .. 459

63.3. Свойства степенных рядов ...... , . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . .. 462

§ 64. Разложение функций в степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 463

64.1. Ряды Тейлора и Маклорена.. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. 463

64.2. Разложение некоторых элементарных функций

в ряд Тейлора (Маклорена) ............................. 465

§ 65. Некоторые приложения степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

65.1. Приближенное вычисление значений функции.......... 471

65.2. Приближенное вычисление определенных интегралов.. 473

65.3. Приближенное решение дифференциальных

уравнений ................................................. 475

Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

§ 66. Ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

66.1. Периодические функции. Периодические процессы . . . . . 478

66.2. Тригонометрический ряд Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 480

§ 67. Разложение в ряд Фурье 27r-периодических функций. . . . . . .. 483

67.1. Теорема Дирихле........................................ 483

67.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.. 486

67.3. Разложение в ряд Фурье функций ПРОЦЗВОЛЬНОГО

периода.................................................. 487

67.4. Представление непериодической функции

рядом Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 489

12

67.5. Комплексная форма ряда Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 491

§ 68. Интеграл Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 493

Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

§ 69. Основные понятия теории поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 499

§ 70. Скалярное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

70.1. Поверхности и линии уровня............................ 501

70.2. Производная по направлению. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

70.3. Градиент скалярного поля и его свойства. . . . . . . . . . . . . .. 504

§ 71. Векторное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 506

71.1. Векторные линии поля.................................. 506

71.2. Поток поля. . . .. . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. .. 507

71.3.Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса... 510

71.4. Циркуляция поля........................................ 513

71.5.Ротор поля. Формула Стокса.. . . . .. . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. 515

§ 72. Оператор Гамильтона......................................... 518

72.1. Векторные дифференциальные операции

первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

72.2. Векторные дифференциальные операции

второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

§ 73. Некоторые свойства основных классов векторных полей. . . . 520

73.1. Соленоидальное поле.................................... 520

73.2. Потенциальное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 521

73.3. Гармоническое поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

Глава ХУII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 74. Функции комплексного переменного.......................... 525