§ 61. Знакочередующиеся

И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

61.1. Знакочередующиеся РЯДЫ. Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися.

З'Н.а-х;о'Чередующuмс.я р.ядом называется ряд вида

00

U 1 - и2 + Uз - и4 + ... + (-1) n+ 1 и n + ... = 2: ( -1 уn+ I и n , (61.1)

п=1

где иn > О для всех n Е N (т. е. ряд, положительные и отрицательные

члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место досmаmо'Ч'Н.ыU признак

сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернулли).

451

Теорема 61.1 (признак Лейбница). 3накочередующийся ряд (61.1)

сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно

убывает, т. е. Иl > И2 > ИЗ > ... > ИN > ... ;

2. Общий член ряда стремится к нулю: Iim иn = О.

n--+оо

При этом сумма S ряда (61.1) удовлетворяет неравенствам

0< S < Иl. (61.2)

о Рассмотрим сначала ча(;тичную сумму четного числа (2т) членов

ряда (61.1). Имеем

S2m = Иl -' И2 + Из - И4 + ... + И2m-l - И2m =

= (Иl - И2) + (из - И4) + ... + (И2m-l - И2m).

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно.

Следовательно, сумма S2m > О И возрастает с возрастанием

номера 2т.

С другой стороны, S2m можно переписать так:

S2m = Иl - (И2 - Из) - (И4 - щ) - ... - (И2m-2 - И2m-l) - И2m·

Легко видеть, что S2m < Иl. Таким образом, последовательность S2, S4,

S6,,'" S2m,'" возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она

имеет предел Iim SZm = S, причем О < S < Иl.

n--+оо

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2т+1) чле-

нов ряда (61.1). Очевидно, что S2m+l = S2m + И2m+l. Отсюда следует,

что

Iim S2m+l = lim (S2m + И2m+l) = Iim S2m + О = S,

т~oo щ~оо т100

т. к. Iim И2m+l = О В силу второго условия теоремы. Итак, Iim Sn = S

т~oo n-700

как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд (61.1)

сходится, причем О < S < Иl' • 3а.ме'Чшн:u..я.

1. Исследование знакочередующегося ряда вида

(61.3)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его

членов на (-1) к исследованию ряда (61.1).

Ряды (61.1) и (61.3), для которых выполняются условия теоремы

Лейбница, называются леi1.б'Ни'Цевс'll:И.ми (или рядами Лейбница).

~ 2. Соотношение (61.2) позволяет получить простую и удобную

оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного

ряда его частичной суммой 5n . Отброшенный ряд (остаток) представляет

собой также знакочередующийся ряд (_l)n+l (иn+l - иn+2 + ... ),

сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е.

5n < иn +l' Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных

членов.

Прu.мер 61.1. Вычислить приблизительно сумму ряда

Q Решение: Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно

записать: 1 - ~ + -ь - ... = 5. Взяв пять членов, т. е. заменив 5 на

11113111

55 = 1 - 22 + з3 - 44 + 55 = 4 + 27 - 256 + 3125 ~ 0,7834,

сделаем ошибку, меньшую, чем -lo = 46~56 < 0,00003. Итак, 5 ~ 0,7834 .

• 61.2. Общий достаточный признак сходимости

знакопеременных рядов

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопере(

х)

менного ряда. Числовой ряд L иn , содержащий бесконечное мно-

n=1

жест во положительных и бесконечное множество отрицательных чле-

нов , называется зн.ах:оnере.мен.н.'Ы.м.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общui1 достатО"

ч'ныi1 nрuзнак сходимости.

Теорема 61.2. Пусть дан знакопеременный ряд

иl + и2 + ... + и n + ... (61.4)

Если схрдится ряд

(61.5)

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам

знакопеременный ряд (61.4).

о Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов

(61.4) и (61.5):

00

(щ + lu] 1) + (и2 + IU21) + ... + (иn + lunl) + ... = :l)un + lunl)·

n=1

00

Очевидно, что О ~ и n + lunl ~ 21unl для всех n EN. Но ряд L 21un l

n=1

сходится В силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов (п. 59.1)

. Следовательно, на основании признака сравнения (п. 59.3) сходится

00

и ряд L (иn + lu"I). Поскольку данный знакопеременный ряд (61.4)

,,=1

представляет собой разность двух сходящихся рядов

00 00 00

,,=1 ,,=1 ,,=1

то, на основании свойства 2 числовых рядов, он (ряд (61.4)) сходится . • Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится

ряд (61.4), то это не означает, что будет сходиться ряд (61.5).

Пример 61.2. Исследовать сходимость ряда f: (_1)n+l .1.

n=1 n

Q Решение: Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены

условия признака Лейбница. Следовательно, указанный ряд сходится.

Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е.

ряд

расходится (гармонический ряд).

61.3. Абсолютная И условная СХОДИМОСТИ числовых

РЯдОВ. Своиства абсолютно СХОАЯЩИХСЯ РЯдОВ

• ~ Знакопеременный ряд называется абсолютно сход.я.щuмс.я.,

если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сход.я.щuмс.я., если

сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Так, ряд, показанный в примере (61.2), условно сходящиЙся. Ряд

00 1

'"'( _1)"-] . -

~ n!

n=]

4

абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов,

сходится (см . при мер 60.4).

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают

особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных

сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).

Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без доказательства.

~ 1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму 5, то ряд, полученный

из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту

же сумму 5, что и исходный ряд (теорема Дирихле).

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами 5] и 52 можно почленно

складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся

ряд , сумма которого равна 5] + 52 (или соответственно 5] - 52).

з. Под произведением двух рядов и] + и2 + . .. и Vl + V2 + . .. понимают

ряд вида

(ЩVl) + (VIV2 + U2Vl) + (UIVЗ + U2V2 + UЗV1) + ...

... + (UIVn + U2Vn-l + .. . + UnVl) + ...

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами 51 и 52

есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна 51 ·52.

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются,

перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят

от порядка записи членов.

В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения

(свойства), вообще говоря, не имеют места.

Так , переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться

того, что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 - ~ + ~ - ! + ...

условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна 5 . Перепишем

его члены так, что после одного положительного члена будут

идти два отрицательных. Получим ряд

Сумма уменьшилась вдвое!

Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда

можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или

расходящийся ряд (теорема Римана).

Поэтому Д~йствия над рядами нельзя производить, не убедившись

в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости

используют все признаки сходимости знакоположительных рядов,

заменяя всюду общий член ряда его модулем.