§ 66. Ряды фурье

66.1. Периодические функции.

Периодические процессы

При изучении разнообразных nерuодu'Ч,ес-х;uх nро'Цессов, т. е. процессов,

которые через определенный промежуток времени повторяются

(встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и

практике автоматического регулирования и т. д.), целесообразнее разлагать

периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной

ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция у = f(x), определенная на множестве

D, называется nерuодu'Ч,ес-х;оu (0'1. п. 14.3) с nериодом Т > О, если

при каждом х Е D значение (х + Т) Е D и выполняется равенство

f(x + Т) = f(x).

Для построения графика периодической функции периода Т достаточно

построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить

его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один

и тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.

2; Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(ax) имеет

период ~; действительно, f (а. (х + ~)) = f(ax + Т) = f(ax).

3. Если функция f(x) имеет период Т и интегрируема на отрезке

а+Т Ь+Т

[ха; Xl] Е IR, то J f(x) dx = J f(x) dx при любых а и Ь Е [ха; Xl]'

а Ь

о Пусть, например, О < а < Ь < Т, тогда

а+Т Ь а+Т J f(x) dx = J f(x) dx + J f(x) dx. (66.1)

а а ь

с другой стороны,

Ь+Т а+Т Ь+Т J f(x) dx = J f(x) dx + J f(x) dx. (66.2)

а+Т

47

Ь+Т ь ь

Но J f(x) dx = (подстановка х = и + Т) = ! f(и + Т) dи = J f(x) dx.

а+Т q а

Подставляем полученный результат в (66.2) и, сравнивая с (66.1), име-

а+Т Ь+Т

ем J f(x) dx = J f(x) dx. • а Ь

Т Ь+Т

В частности, J f(x) dx = J f(x) dx.

о ь

Простейшими периодическими функциями являются тригономе-

трические функции sin х и cos х. Период этих функций равен 21Г, т. е.

т = 21Г.

Простейшим периодическим процессом (движением) является простое

гар.мО1iи'Чес'Кое 'Колеба1iuе (движение), описываемое функцией

у = А . sin(wt + 410), (66.3)

t ;?: О, где А - а.мnлитуда 'Х:олеба1iUЯ, w - 'Частота, 410 - 1iа'ЧаЛЬ1iа.я

фаза.

Функцию такого вида (и ее график) называют npocmoi1 гар.мо'Н.и'

X:oi1. Основным периодом функции (66.3) является Т = 7:, т. е. одно

полное колебание совершается за промежуток времени 21Г (w показыw

вает, сколько колебаний совершает точка в течение 21Г единиц времени).

Проведем преобразование функции (66.3):

у = Asin(wt + 410) = Asinwtcos41o + Acoswtsin41o = acoswt + bsinwt,

(66.4)

где а = А sin 410, Ь = А cos 410. Отсюда видно, что простое гармоническое

колебание описывается периодическими функциями sinwt и coswt.

Слож'Ное гар.мО1iи'Чес'Кое 'Х:олеба1iuе, возникающее в результате наложения

конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также

описывается функциями вида sin wt и cos wt. Так, функция

41(t) = Ао + А 1 sin(t + 411) + А 2 sin(2t + 412) + ... + А зо sin(30t + 41ЗО) =

зо

= Ао + L Аn sin(nt + 41n)

п=l

зо

или, что равносильно, функция 41(t) = Ао + I: (ancosnt + bnsinnt)

п=l

задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гар-

моники есть Т1 = 21Г, второй Т2 = 2;, третьей Тз = 2;, ... , тридцатой

Тзо = ~~, а период функции у = Ао (<нулевая гармоника») есть любое

число, то функция 'P(t) имеет период, равный 27Г, т. е. Т = 27Г.

Понятно, что при наложении простых гармоник получаем периодическую

функцию, описывающую сложное периодическое колебание

(периодический процесс).

Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую

периодический процесс, можно представить в виде суммы простых

гармоник вида (66.3) или (66.4)? Если да, то как найти неизвестные параметры

(коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначала

на второй вопрос, а потом·и на первый.

66.2. Тригонометрический РЯД Фурье

С помощью так называемого тригонометрического ряда любую

(практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда,

членами которого являются простые гармоники.

~ ТрuгО'I-Lо,м,еmрu-ч,ес7СU,м, ря.до,м, называется функциональный ряд

вида

а20 + а] cos х + Ь] sin х + ... + аn cos nх + ЬN sin nх + ... =

00

= 2ао + 'L"..- аn cos nх + Ь n s.ш nх,

n=]

(66.5)

где действительные числа ао, аn , ЬN (n = 1,2, ... ) называются 'К:оэффu'

Циеnта.ми ряда.

Ряд (66.5) можно записать в виде

00

а; + 2: Ап sin(nx + 'Рп). (66.6)

n=l

Действительно, положив аn = Аn sin 'Рn, ЬN = Аn cos 'Рп, получим:

аn cosnx + ЬN sin nх = Аn sin(nx + 'Рn); ряд (66.5) принимает вид (66.6),

при этом Аn = Ja; + Ь; и tg'Pn = Ъ:.

Свободный член ряда записан в виде ~ для единообразия получающихся

в дальнейшем формул.

Приведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Считая m и n целыми положительными, находим:

те {SinnX I" = О (n i О) J cosnxdx = 1Гn -1Г

-1Г xl =27Г (n=О),

-1Г

]г J sin nх dx = О IIРИ любом n,

-1Г

4

(66.7)

(66.8)

J" cosmx· cosnxdx =

-" 1 "

= 2 J (cos(m + n)х + cos(m - n)х) dx =

J" sin mх . cos nх dx =

{~ (m:j:. n),

(т = n),

-" 1 1г

= 2 J (sin(m + n)х + sin(m - n)х) dx = о,

J" sin mх . sin nх dx =

-1Г 1 " {о

= 21 (cos(m - n)х - cos(m + n)х) dx = 1г

За.ме'Ч,а1iUЯ.

(m:j:. n),

(т = n).

(66.9)

(66.10)

(66.11)

1. Формулы (66.7)-(66.11) показывают, что семейство функций

1, cos х, sin х, cos 2х, sin 2х, cos 3х, sin 3х, ... ,cos nх, sin nх, ...

§ обладает своiiсmвом, орmого-налъ-носmu: интеграл от произведения

любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем

длину 21Г, равен нулю.

2. Формулы (66.7)-(66.11) справедливы и в случае, когда область

интегрирования есть отрезок [о; 21Г] (см. свойство 3 периодических

функций, п. 66.1).

Пусть f(x) - произвольная периодическая функция с периодом

21Г. Предположим, что функция лх) разлагается в тригонометрический

ряд, т. е. f(x) является суммой ряда (66.5):

00

f(x) = 2ао + '~" ап cosnx + Ь" s.ш nх. (66.12)

,,=1

Так как функция f(x) (и сумма ряда) имеет период 21Г, то ее можно

рассматривать в любом промежутке длины 21Г. В качестве основного

промежутка возьмем отрезок [-1Г; 1Г] (также удобно взять отрезок

[о; 21Г]) и предположим, что ряд (66.12) на этом отрезке можно почленно

интегрировать. Вычислим коэффициенты ап и Ь". ДЛЯ этого проинтегрируем

обе части равенства (66.12) в пределах от -1Г до 1Г:

j f (х) dx = j а; dx + f (ап j cos nх dx + ЬП j sin nх dx) =

-л -1(' n=l -rr -Л"

1г

= J ао 2 dx = 1Гао·

16 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс

4 1

Интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны нулю в силу

формул (66.7) и (66.8) .

Отсюда

1 1r

ао =:; J f(x) dx. (66.13)

-".

Умножив обе части равенства (66.12) на cos171x и проинтегрировав полученный

ряд в пределах от -п до п, получим:

1r 1r j f (х) cos171xdx = 2а О! cos171xdx+

-".

+ f (аn i cos 171Х . cos nх dx + Ьn i cos 171Х sil1 nх dx) .

11.=1 -1Г -п

в силу формул (66.7) , (66 .9) и (66 .10) из последнего равенства при

171 = n получаем:

1r j f(x)co snxdx = аn п.

-".

Отсюда

f ( х) cos nх dx , n = 1,2, 3, ... (66.14)

Аналогично, умножив равенство (66.12) на sil1 тх и проинтегрировав

почленно на отрезке [-п;п], найдем:

1 1r

Ьn =:; j f(x) SiIl nх dx , n = 1, 2, 3, . .. (66.15)

~ Числа ао, аn , Ьn , определяемые по формулам (66.13)-(66.15), называются

'Х:оэффu'Цuе'Нmа-мu Фурье функции f(x), а тригонометрический

ряд (66 .5) с такими коэффициентами - рядо-м Фурье

функции f(x).

Для интегрируемой на отрезке [-п; п] функции f(x) записывают

00

ао ~ . f(x) rv 2 + L аn cosnx + Ьп sш nх

n=1

и говорят: функции f(x) соответствует (поставлен в соответствие) ее

ряд Фурье . Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим S(x) .

482