§ 57. Поверхностный интеграл I рода

57.1. Основные понятия

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный

интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности 5, с площадью 5, пространства

Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Разобьем поверхность

5 на n частей 5i , площади которых обозначим через 605i

(см. рис . 246) , а ди аметры - через di , i = 1; n . В каждой части 5;

возьмем произвольную точку Mi(Xi; Yi; Zi) и составим сумму

n L J(Xi; Yi; Zi)Д5i . (57.1)

i=l

Она называется uнтеграл'Ь1iOU для функции J(x; у; z) по nоверхности

5.

§ Если при л = тах di --7 О интегральная сумма (57.1) имеет пре-

1:::;i:::;n

дел, то он называется поверхностным интегралом 1 рода от

функции J(x;y;z) по поверхности 5 и обозначается // J(x;y;z)ds.

5

Таким образом, по определению,

n 1! J(x; у; z) ds = lim L J(Xi; Yi; Zi)Д5i .

Л--;О

5 (n--;оо) i=1

(57.2)

~ Отметим, что «если поверхность 5 гладкая (в каждой ее точке су-

ществует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с

перемещением точки по поверхности), а функция J(x; у; z) непрерывна

на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема

существования) .

Поверхностный интеграл 1 рода обладает следующими свойствами:

1. // с· J(x;y;z)ds = с· /! J(x;y;z)ds, где с - число.

5 ~ 5

2. ! / (Л (х; у; z) ± J2(X; у; z)) ds = ! / J1 (х; у; z) ds ± /! J2(X; у; z) ds.

555

3. Если поверхность 5 разбить на части 51 и 52 такие, что 5 =

= 51 U 52, а пересечение 51 и 52 состоит лишь из границы, их разделяющей,

то

// J(x;y;z)ds= /! J(x;y;z)ds+!! J(x;y;z)ds.

5 51 52

4. Если на поверхности 5 выполнено неравенство J1 (х; у; z) ~

~ J2(X;y;Z), то !! Л(х;у;z)ds:::;!! J2(Xiy;z)ds.

5 5

5. !! ds = 5, где 5 - площадь пове~хности 5.

5

6·1!! J(x; у; z) dsl :::; !! IJ(x; у; z)1 ds.

5 5

7. Если f(x; У; Z) непрерывна на поверхности В, то на этой поверхности

существует точка (Хс ; Ус; zc) такая, что

JJ f(x; У; Z) ds = f(x c; Ус; zc) . S

5

(теорема о среднем значении).

57.2. Вычисление поверхностного интеграла I lJoAa

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода сводится к вычислению

двойного интеграла по области D - проекции поверхности S на

плоскость Оху.

Разобьем поверхность S на части Si, i = 1; n. Обозначим через а;

проекцию Si на плоскость Оху. При этом область D окажется разбитой

на n частей al, а2, ... , аn . Возьмем в ai произвольную точку Fi(Xi; Yi) и

восстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверхностью

В. Получим точку Mi(Xi; Yi; Zi) на поверхности Si. Проведем в

точке Mi касательную плоскость и рассмотрим ту ее часть Ti , которая

на плоскость Оху проектируется в область ai (см. рис. 247). Площади

элементарных частей Si, Ti и аl обозначим как f::1Si , f::1Ti и f::1ai соответственно.

Будем приближенно считать, что

Рис. 247

Следовательно,

(57.3)

Обозначив через "/i 6стрый угол между осью

Oz и нормалью ni к поверхности в точке Mi , получаем:

6.Ti · COS"/i = f::1ai (57.4)

(область ai есть проекция Т; на плоскость Оху).

Если поверхность S задана уравнением Z =

= z(x; у), то, как известно (см. (45.2)), уравнение

касательной плоскости в точке Mi есть

Z~(Xi; Yi)' (Х - Xi) + Z~(Xi; Yi)' (У - Yi) - (Z - Zi) = О,

где Z~(Xi; Yi), Z~(Xi; Yi), -1 - координаты нормального

вектора к плоскости. Острый угол "/i

есть уГО'л между векторами k = (О; О; 1) и

ni = (-Z~(Хi; Yi); -Z~(Хi; Yi); 1).

1

Равенство (57.4) принимает вид

60Ti = )1 + Z~ 2(Xi; Yi) + Z~ 2(Xi; Yi)600"i.

В правой части формулы (57.2) заменим 60Si (учитывая (57.3)) на полученное

выражение для 6oTi , а Zi заменим на Z(Xi; Yi), Поэтому, переходя

к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра Si (а

следовательно, и O"i), получаем формулу

// f(x; У; z) ds = // f(x; У; z(x; У)) . )1 + z~ 2 + z~ 2 dx dy, (57.5)

S D

выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по

проекции S на плоскость Оху.

Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида У

= У(Х; z) или х = х(у; z), то аналогично получим:

// f(x; У; z) ds = // f(x; У(Х; z); z) . )1 + y~ 2 + y~ 2 dx dz

S D1

и

// f(x; У; z) ds = // f(x(y; z); У; z) . )1 + x~2 + x'z 2 dy dz, (57.6)

S D2

где D1 и D2 - проекции поверхности S на координатные плоскости

Oxz и Oyz соответственно.

Пример 57.1. Вычислить 1 = / / (х - 3у + 2z) ds, где S - часть

S

плоскости 4x+3y+2z-4 = О, расположенной в 1 октанте (см. рис. 248).

Q Решение: Запишем уравнение плоскости в виде z = 2 - 2х - ~y.

Находим zx' = -2, zy' = -~. По формуле (57.5) имеем:

1 = у(х -3у+4- 4х - 3у)· V! +4 + ~dxdY =

i{l-x)

J29 !! J29 /1 3/ = -2- (4 - 3х - 6у) dx dy = -2- dx (4 - 3х - 6у) dy =

D О О

J29 1 . I !(l-x) = -2- / dx(4y - 3ху - 3у2)

О О

= -~2- /1(1з6( 1 - х) - 4х(1 - х) - з16( 1- х) 2) dx =

о

= V29(_16.(I-x)2 _2х2+4.Х3 +16.(I-X)3)1 1 = V29 . • 232 333 09

z

. . . . . . :.:.:.:.j.:.:.:.:.:.:.:"

·.·.·.·.·1·.·.·.·.·.·.·.·. :.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.: . .•• ...•. ::: • J:.::.~: • .::: . ...... , ... ... .. .

А ПШ§Ъblill6 в .....• j .... .. .. 1 У

Рис. 248 Рис. 249

Прu.мер 57.2. Вычислить

1= // x(y+z)ds,

s

где S - часть цилиндрической поверхности х = ~, отсеченной

плоскостями z = О, z = 2 (см. рис . 249).

Q Решение: Воспользуемся формулой (57.6). Поскольку

- у х'-Ото --~' z -,

х ' у

1= // ~.(y+z).Jl+ 1~2y2dYdZ = j/(y+z)dydz=

Dl Dl

1 2 1 2 2 1

= / dy / (у + z) dz = / (YZ + z2 ) 10 dy = / (2у +2) dy = 4,

-1 О -1 -1

• 57.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла

I рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла

1 рода.

ПлощаДЬ поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = z(x; у), а ее проекция на

плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), zx'(x;y) и zy'(x;y) -

непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле

S = 11 ds,

5

или S = 11 V1 + zx,2 + zy'2 dx dy.

D

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления

массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей

с известной поверхностной плотностью распределения массы

, = ,(х; у; z). Все эти величины определяются одним и тем же способом:

данную область разбивают на конечное число «мелких» частей,

делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения;

находят приближенное значение искомой величины; переходят к

пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем

описанный способ на примере определения массы материальной

поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности

есть, = ,(х; у; z). Для нахождения массы поверхности:

1. Разбиваем поверхность S на n частей Si, i = 1,2, ... , n, площадь

которой обозначим 6.Si.

2. Берем произвольную точку Mi(Xi; Yi; Zi) в каждой области Si.

Предполагаем, что в пределах области Si плотность постоянна и равна

значению ее в точке Mi .

3. Масса mi области Si мало отличается от массы ,(Х;; Yi; Zi)6.Si

фиктивной однородной области с постоянной плотностью

n

4. Суммируя т; по всей области, получаем: m ~ L ,(Xi; Yi; Zi)6.Si.

i=!

5. За точное значение массы материальной поверхности S принима-

ется предел, к которому стремится полученное приближенное значение

при стремлении к нулю диаметров областей Si, т. е .

т. е.

n

т = !! ,(x;y;z)ds.

5

(57.7)

Моменты. центр тяжести поверхности

Статистические моменты, координаты центра тroкести, моменты

инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим

формулам:

Sx y =!! z·,(x;y;z)ds,

5

Syz = !! х ·,(х; у; z) ds,

5

Sxz = !! у ·,(х; у; z) ds,

s

Syz Sxz Sxy

х с = -, ус = -, Zc = -,

т т т

Мх = !!(y2+ z2).,(x;y;z)ds,

s

Му = !! (х2 + Z2) ·,(х; у; z) ds,

5

Mz = !! (х2 + у2) .,(х; у ; z) ds,

s

МО = !! (х2 + у2 + z2) ·,(х; У; z) ds.

s

Прuм,ер 57.3. Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой

точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от

радиуса , перпендикулярного основанию полусферы.

Q Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее

уравнение z = JR2 - х2 - у2 ; , = Jx2 + у2 - поверхностная плотность

полусферы.

По формуле (57.7) находим:

т = !! J х2 + у2 ds = ! J J х2 + у2 Х

S D

J х2 у2

Х 1 + 2 2 2 + 2 2 2 dx dy = R -х -у R -х -у

Рис. 250

= R JJ J х2 + у2 dx dy.

D Jю - (х2 +у2)

Переходим к полярным координатам:

r 211" R т 2 1[2 R3

т = R ! ! 2 2' r dr d'P = R ! d'P' ! d1" = --.

D J R - r о о J ю - т2 2

42

Внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки r = R sin t:

~ ~

R 2 2" 2 . 2 2" J r d J R sш t R d R2 J 1 - cos 2t d r = . cos t t = t = . / R2 _ r2 R cos t 2

о у. о о

=R2(~tl! -~sin2tl!) =R2(~-0) 1Г:2 • § 58. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 11 РОДА