§ 55. Криволинейный интеграл I рода

55.1. Основные понятия

Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L)

длины [. Рассмотрим непрерывную функцию f(x ; у) , определенную в

точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками МО = А, M1 , М2 , ••• ... ,Мn = В на n произвольных дуг Mi - 1Mi С длинами 6.l i (i = 1,

2, ... , n)(см. рис . 233). Выберем на каждой дуге Mi-1Mi произвольную

точку (Xi; Yi) и составим сумму

n L f(Xi ; Yi)6.l i. (55.1)

;·:1

х

о

Рис. 233

Ее называют u'H-mеграл'Ь'Н-оiJ. cYMMOiJ. для фу'Н-'К:v,uu f(x; У) ПО 1СривоiJ.

АВ.

Пусть л = шах 6.l i - наибольшая из длин дуг деления. Если

l :( i :(n

при Л -t О (тогда n -t 00) существует конечный предел интегральных

сумм (55.1), то его называют х;рuволuне11н:ым uнтегралом от фунх;'Цuu

f(x; у) по длuн.е х;риво11 АВ (или 1 рода) и обозначают J f(x; у) dl (или

! f(x; у) dl).

L

Таким образом, по определению,

n J f(x; у) dl = lim "" f(xi; Yi)t:::..li. n~OO~

АВ (Л-->О) ;=1

АВ

(55.2)

Условие существования криволинейного интеграла 1 рода (существования

предела интегральной суммы (55.1) при n -+ 00 (л -+ О))

представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 55.1. Если функция f(x; у) непрерывна в каждой точке

гладкой кривой (в каждой точке (х; у) Е L существует касательная

к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении

точки по кривой), то криволинейный интеграл 1 рода существует

и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части,

ни от выбора точек в них.

Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла

от функции f(x; у; z) по пространственной кривой L.

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине

дуги (1 рода).

1. J f(x; у) dl = J f(x; у) dl, т. е. криволинейный интеграл 1 ро-

АВ ВА

да не зависит от направления пути интегрирования.

2. J С· f(x; у) dl = с· J f(x; у) dl, с = const.

L L

3. !(!I(x;y)±f2(x;y))dl=! fl(x;y)dl± J f2(x;y)dl.

L L L

4. J f(x;y)dl = J f(x;y)dl + J f(x;y)dl, если путь интегрирова-

L L , L 2

ния L разбит на части L 1 и L 2 такие, что L = L 1 U L 2 И L 1 И L 2 имеют

единственную общую точку.

4 3

5. Если для точек кривой L выполнено неравенство f1 (Х; у) ~

~ f2(X;Y), то J !l(x;y)dl ~ J f2(X;y)dl.

L L

6. J dl = lim f= tll; = [, где l - длина кривой АВ. 71.-+00 . ,

АВ (>'->0) ,=1

7. Если функция f(x; у) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой

найдется точка (Хс;Ус) такая, что J f(x;y)dl = f(xc;yc) · l (тео-

рема о среднем) . АВ

55.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть сведено

к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства

правила вычисления криволинейного интеграла 1 рода в случаях, если

кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.

Параметрическое ПРej\ставление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t),

У = y(t), t Е [й;,8], где x(t) и y(t) - непрерывно дифференцируемые

функции параметра t, причем точке А соответствует t = й, точке В -

значение t = /3, то

rз J f(x;y)dl= J f(x(t);y(t)) ,)xl'+Yl'dt. (55 .3)

АВ '"

Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла

от функции f(x; у; z) по пространственной кривой АВ, задаваемой

уравнениями х = x(t), у = y(t), z = z(t), й ~ t ~ /3:

rз J f(x; у; z) dl = J f(x(t); y(t); z(t)) . ) x~' + yl' + zl' dt. (55.4)

АВ '"

Явное ПРej\ставление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением у = <р(х), х Е [а; Ь], где <р(х) -

непрерывно дифференцируемая функция, то

ь J f(x; у) dl = J f(x ; <р(х)) . )1 + y~' dx. (55.5)

АВ а

Подынтегральное выражение в правой части формулы (55.5) получа-

ется заменой в левой части у = <р(х) и dl = )1 + y~' dx (дифференциал

дуги кривой - см. п . 41.3).

Прu.мер 55.1. ВblЧИСЛИТЬ J ху2 dl, где L - отрезок прямой меL

жду точками 0(0; О) и А(4; 3).

Q Решение: Уравнение прямой ОА есть у = ix, О ~ х ~ 4. Согласно

формуле (55.5), имеем:

Jх у2 4 3 2RJ2 454 dl = J х . (;i X)' 1 + (4) dx = 64 J хЗ dx = 45.

L о О • Полярное представление кривой интегрирования

Если плоская кривая L задана уравнением r = Т(<р), о: ~ <р ~ /3 в

ПОЛЯРНblХ координатах, то dl = Jr2 + (r~)2d<p и

(3 J j(x;y)dl = J j(rcos<p;rsin<p)' Jr2 +r~2d<p. (55.6)

L с>

Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в формулах

(55.3)-(55.6) должен бblТЬ меньше верхнего.

Прu.мер 55.2. ВblЧИСЛИТЬ J (х + y)dl, где LL

лепесток лемнискаТbI r = Jsin 2<р , расположенной в

1 координатном углу.

Q Решение: Кривая интегрирования изображена на

рисунке 234. Воспользуемся формулой (55 .6) . Так , О

как

Рис. 234

cos2 2<p d<p

sin 2<р + . d<p = --::===

sш 2<р J sin 2<р

dl = d<p

r

то, заметив, что О ~ <р ~ I' получаем :

7r 7r

2 2

р

J (х + у) dl = J (Т cos <р + r sin <р) ~: = J (cos <р + sin <р) d<p = 2. • L О О

55.3. Некоторые приложения криволинейного

интеграла I рода

КриволинеЙНblЙ интеграл 1 рода имеет разнообразНblе приложения

в математике и механике.

Длина кривой

Длина l кривой АВ плоской или пространственной линии вычисляется

по формуле l = J dl .

АВ

ПлощаДЬ цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической

поверхности служит кривая

АВ, лежащая в плоскости Оху, а

образующая параллельна оси Oz

(см. рис. 235), то площадь поверхности,

задаваемой функцией z

= f(x; у), находится по формуле Q =

= J f(x; у) dl.

АВ

Масса кривой

z

о

х А в

Рис. 235

Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос, ... ) определя-

ется формулой m = J "((М) dl, где"( = "((М) = "((х; у) - плотность

АВ

кривой в точке М.

О Разобьем кривую АВ на n элементарных дуг М-:;Мi (i = 1, n).

Пусть (Xi; Yi) - произвольная точка дуги М-:;Мi. Считая приближенно

участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой

точке дуги такая же, как и в точке (Х;; Yi), найдем приближенное зна-

чение массы т; дуги М-:;Мi:

mi ~ "((Xi; Yi)6.l i .

Суммируя, находим приближенное значение массы т :

(55.7)

i=l

За массу кривой АВ примем предел суммы (55.7) при условии, что

max6.li -+ О (n -+ 00), т. е.

т= n-li-m+оо "~" "((Xi; fj;)6.l i ,

(тах iJ.li--+О) i=l

или, согласно формуле (55.2),

т = J "((х; у) dl.

АВ

(Заметим , что предел существует, если кривая' АВ гладкая, а плотность

задана непрерывной в каждой точке АВ функцией.) • 4 6

Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты

центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам

Sx= J у·Т'{х;у)dl, Sy= J Х·Т'(х;у)dl,

АВ АВ

Моменты инерции

Sy

х с = -.' m

Sx

УС =-.

m

Для материальной кривой АВ моменты [х, [у, [о инерции относительно

осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:

[х = J У ·Т'(Х; У) dl, 2 [у = J Х ·Т'(Х; У) dl, 2 [о = J (х2 +у2)·Т'(х; У) dl.

АВ АВ АВ

Прuмер 55.3. Найти центр тяжести полуокружности х 2 + у2 = R2

,

лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице

в каждой точке кривой (1' = 1).

о Решение: Из соображений симметрии ясно,

что центр тяжести находится на оси Оу (см.

рис. 236). Поэтому х с = о. Ордината центра тя-

жести J у. dl

АВ

УС = J dl .

АВ

Знаменатель дроби - длина полуокружности.

Поэтому J dl = 1г R.

АВ

у

R

А о в х

Рис. 236

ДЛЯ вычисления числителя воспользуемся параметрическими

уравнениями окружности х = R cos t, У = R sin t, О ~ t ~ 1Г. Имеем:

~ ~ J у. dl = f R sin t . J ю sin2 t + Ю cos2 t . dt = R2 J sin t dt = 2R2

• АВ О О

_ 2R2 _ 2R _ _ 2R

Следовательно, УС - -R - -. Итак, х с - О, УС - -. • 1г 1г 1г