§ 72. OrlEpatop гамильтона

72.1. Векторные дифференциальные операции первого

порядка

Основными дифференциальными операциями (действиями) над

скалярным полем И и векторным полем а являются grad И, div а, rot а.

Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются ве'ICторными

оnершцv.я.ми первого nор.яд-к:а (в них участвуют только первые

производные) .

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора

Гамильтона

Этот символический вектор называют также оператором 'V (читается

«набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации

со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение

» вектора 'V на скаляр И или вектор а производится по обычным

правилам векторной алгебры, а «умножение» символов gx, gy' gz на

величины И, Р, Q, R понимают как взятие соответствующей частной

производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции

первого порядка:

1. 'VU = (JLl + JLJ + JLk). и = aUl + дU] + aU k = gradU.

дх ду az дх ду az

2. 'Va = (JLl+JLJ+JLk) ·(P·l+Q.J+R-k) = дР +qQ+aR = div'a.

fu ~ & fu ~ &

l j k

3. "v Х а = ддх дду aдz = rot а.

Р Q R

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций

и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним

518

надо пользоваться правилам и векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть за-

писана в виде дU

8>.. = \1U . ё = (ё· \1) . И,

где ё = (COS а; cos.8; cos ,).

72.2. Векторные дифференциальные операции второго

порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному

полю получается новое поле , к которому можно снова применить

этот оператор . В результате получаются дuффере'Н'Цuал'Ь'Н'Ые оnера'

Ции второго nорядr.;а . Нетрудно убедиться , что имеется лишь пять

дифференциальных операций второго порядка: div grad И, rot grad И,

grad div а, div rot а, rot rot 0;.

(Понятно, что операция div div 0;, например, не имеет смысла:

div о; - скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е . о div div 0;, бессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго

порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что

оператор действует только на множитель , расположенный непосредственно

за оператором .

~ 1. divgradU = \1(\1U) = (\1. \1)U = (::2 + :;2 +~) . и =

- д2 т.; + д2 u + 8

2u. Правая часть этого равенства называется 8х 2 8у2 8z2

оператором Лапласа скалярной функции И и обозначается t::.U. Таким

образом,

82u 82u 82u

divgrad И = t::.U = --2 + --2 + --2'

8х 8у 8z

(72.1)

Дифференциальное уравнение Лапласа t::.U = о играет важную роль

в различных разделах математической физики. Решениями уравнения

Лапласа являются так называемые гармо'Нu'Чесr.;uе фу'Нr.;v,uu.

3аме'Ча'Нuе. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение

скалярный оператор дельта:

82 82 82

t::.=\1.\1=-+-~+-

8х2 8у- 8z2

(который тоже называют оператором Лапласа).

~ 2. rot grad И = \1 х (\1U) = (\1 х \1)U = О, так как векторное произведение

двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это

означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

519

4. div rot а = \7 . (\7 х а) = о, так как смешанное произведение трех

векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что

поле вихря - соленоидальное.

5. rot rot а = \7 х (\7 х а) = \7(\7 . а) - (\7 . \7)а = grad div а - 6.а, так

как двойное векторное произведение обладает свойством

ах (Ь х с) = Ь· а· с - с· а· Ь.

Здесь 6.а = 6.Р i + 6.Q J + 6.R k - векторная величина, полученная в

результате применения оператора Лапласа к вектору а.