Задание 2. Система экономико-математических моделей оптимального планирования и управления

Оптимизационными называются такие экономико-математические модели, в которых определены система ограничений на использование наличных ресурсов (материальных, временных, трудовых и т.д.) и цель их распределения с точки зрения некоторого критерия (критериев) оптимальности.

Общая структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, принимающей значения в пределах ограниченной условиями задачи области, и из ограничений, характеризующих эти условия.

Вид целевой функции F, вид ограничений и специальные ограничения на переменные (например, требование неотрицательности) определяют выбор метода математического программирования для решения оптимизационной задачи: линейного программирования, нелинейного программирования, динамического программирования, целочисленного программирования и т.д.

Среди линейных моделей математического программирования особое место занимают четыре типа моделей:

1. модель общей задачи линейного программирования;

2. модель транспортной задачи линейного программирования;

3. модель распределительной задачи линейного программирования;

4. модель ассортиментной задачи линейного программирования.

Рассмотрим модель общей задачи линейного программирования и модель транспортной задачи линейного программирования.

Математически модель общей задачи линейного программирования можно представить в следующем виде.

Найти значения n переменных x₁, х₂, ..., х_n (например, количество продаваемого товара), которые удовлетворяют системе ограничений:

f_i (х₁, х₂, …, х_n) {<,=,>} b_i ( )

и максимизируют или минимизируют целевую функцию (например, максимальный доход от реализации товара)

Z = f (х₁, х₂, …, х_n) (max / min).

Если на переменные налагается условие неотрицательности, тогда в модель задачи вводится условие

(x_j > 0), (j = ).

Модель общей задачи линейного программирования применяют для решения следующих задач: планирование товарооборота; оптимизация загрузки производственных мощностей; оптимальное составление исходных компонентов при изготовлении продукции; планирование рациональных покупок продуктов питания; оптимальное использование сырья; определение оптимального плана выпуска изделий.

Сущность транспортной задачи линейного программирования состоит в наивыгоднейшем прикреплении поставщиков однородного продукта ко многим потребителям этого продукта.

Экономико-математическая формулировка и модель транспорт­ной задачи имеют следующий вид.

Найти такие неотрицательные значения x_ij>0, , которые минимизируют затраты на перевозку грузов:

при ограничениях

Первые уравнения представляют собой условие, что от каждого поставщика вывозится весь продукт.

Вторая группа n равенств выражает условие, что спрос каждого потребителя полностью удовлетворяется.

Третий тип ограничений связан с возможностью решения задачи при наличии баланса между предложением и спросом: что отражает сущность так называемой закрытой модели тран­спортной задачи.

Если спрос не равен предложению: то имеем открытую модель транспортной задачи, которая бывает двух видов:

а) когда предложение больше спроса, т. е. вводят «фиктивного» потребителя с заявкой и транспортными издержками .

При решении задачи часть товаров попадает к фиктивному потре­бителю, а фактически это означает, что этот груз останется на соот­ветствующей базе поставщика;

б) когда предложение меньше спроса, т. е. при распределении продукции руководствуются более сложными соображениями, но при возможности получения товаров от внешне­го поставщика задачу можно свести к закрытой модели.

Четвертый тип ограничений (x_ij>0) означает, что товары пере­возятся от поставщиков потребителям, т. е. исключаются встреч­ные перевозки.

Модель транспортной задачи линейного программирования используется и для решения задач по оптимизации размещения производства, предприятий торговли, планов загрузки оборудования и др.

В практическом задании 2 предлагается:

1) определить тип оптимизационной модели;

2) составить экономико-математическую модель задачи;

3) найти с помощью инструмента Excel Поиск решения оптимальное решение задачи;

4) выполнить анализ оптимального решения по следующим отчетам: отчет по результатам, отчет по устойчивости и отчет по пределам;

5) отчеты распечатать.

Методика решения двух типов оптимизационных задач представлена в пункте 5.1.

Задача 2.1

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья, ед.
	А	Б	В	Г
Энергия	1	2	1	0	18
Материалы	1	1	2	1	30
Труд	1	3	3	2	40
Прибыль от реализа­ции единицы изделия, ден. ед.	12	7	18	10

Требуется определить оптимальную производственную про­грамму предприятия, обеспечивающую максимальную прибыль от реализации продукции.

Задача 2.2

Продукцией городского молочного завода являются мо­локо, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производ­ство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего време­ни при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные авто­маты в течение 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основ­ное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны — в течение 16,25 ч. При­быль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответствен­но равна 30, 22 и 136 ден. ед. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производ­ство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком коли­честве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной.

Задача 2.3

Три овощехранилища каждый день обеспечивают кар­тофелем пять магазинов. Магазины подали заявки соответственно на 100, 130, 80, 190 и 100 т. Овощехранилища имеют соответственно 200, 175 и 225 т. Тарифы (в ден. ед. за 1 т) указаны в следующей таблице.

Овощехранилища	Магазины
	1	2	3 4	4	5
1 2 3	5 7 2	7 1 3	4 3 6	2 1 8	5 10 7

Требуется составить оптимальный план перевозок, минимизирующий суммарные транс­портные расходы.

Задача 2.4

Торговое предприятие реализует товары нескольких групп: А, В, С, D. Известны нормативы затрат ресурсов в расчете на единицу товара по каждой группе и соот­ветственно величины ресурсов b_i.

Ресурсы	Нормативы затрат ресурсов по продаже товаров (аij)				Ограниченные объемы ресурсов (bi)
	А	В	С	D
Рабочее время, чел.-час.	2	1	0,5	4	2400
Площадь торговых залов, м2	1	5	3	0	1200
Издержки обращения, ден. ед.	3	0	6	1	3000
Доход в расчете на еди­ницу товара, ден. ед.	7,5	3	6	12
План продажи товаров, ед.	Х1 = ?	Х2 = ?	Х3 = ?	Х4 = ?

Требуется найти оптимальный план товарооборота и максимальную величину дохода.

Задача 2.5

Для приобретения оборудования, размещаемого на производственной площади 38 м², фирма выделяет 20 млн руб. Имеются единицы оборудования двух типов: типа А стоимостью 5 млн руб., требующее 8 м² производственной площади и имеющее производительность 7 тыс. единиц продукции за смену, и типа Б стоимостью 2 млн руб., занимающее площадь 4 м² и дающее за смену 3 тыс. единиц продукции.

Требуется определить оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум производительности участка.

Задача 2.6

ОАО «Универмаг «Центральный» получило предложение от фирм ОАО «Элема», ЗАО «Акмо», ОАО «Веснянка» на покупку пальто трех размеров 46-48, 50-52, 54-56. Стоимость пальто в зависимости от размеров и их количественное ограничение даны в таблице.

Фирма	Размер			Ресурсы, шт.
	46-48	50-52	54-56
ОАО «Элема»	110	115	126	180
ЗАО «Акмо»	107	115	130	150
ОАО «Веснянка»	104	109	116	120
Потребность, шт.	120	190	140

Требуется определить, как следует распределить заказы для выполнения этих требований, чтобы общая стоимость была минимальной.

Задача 2.7

Кондитерская фабрика для производства трех видов ка­рамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья для ка­ждого вида 1 т карамели приведены в таблице. В ней же указа­но общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реали­зации 1 т карамели данного вида.

Вид сырья	Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели			Общее количество сырья (т)
	A	В	С
Сахарный песок Патока Фруктовое пюре	0,8 0,4 -	0,5 0,4 0,1	0,6 0,3 0,1	800 600 120
Прибыль от реализации 1 т продукции, ден. ед.	108	112	126

Требуется определить оптимальный план производства карамели, обеспечивающий мак­симальную прибыль от ее реализации.

Задача 2.8

Имеются три оптовые продовольственные базы – А1, А2, А3, товарные запасы которых составляют 200, 250 и 200 т соответственно, и пять магазинов В1, В2, В3, В4, В5, которым необходимо по их заявкам 190, 100, 120, 110 и 130 т товара соответственно. Величины транспортных издержек С_ij (ден. ед. за 1 т) представлены следующей матрицей:

.

Требуется составить оптимальный план перевозки товара с баз в магазины при условии минимизации транспортных затрат на перевозку грузов.

Задача 2.9

Фирма производит два вида макаронных изделий А и В. Их производство ограничено наличием сырья и рабочим временем. Для каждого изделия вида А требуется 400 кг сырья, а для изделий вида В – 350 кг сырья в неделю. Фирма может получить от своих поставщиков до 800 кг сырья в неделю. Для каждого изделия вида А требуется 120 минут рабочего времени, а для изделий вида В – 140 минут. В неделю можно использовать 10 часов рабочего времени.

Требуется определить, какое количество макаронных изделий каждого вида следует фирме выпустить в неделю, если 1 кг макаронных изделий вида А приносит 120 ден. ед. прибыли, а вида В – 115 ден. ед. прибыли.

Задача 2.10

Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся в магазине продуктов питания, а также их стоимость приведены в следующей таблице:

Питательные вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов							Нормы суточной потребности
	мясо	рыба	молоко	масло	сыр	крупа	картофель
Белки, г	180	190	30	70	260	130	21	118
Жиры, г	20	3	40	865	310	30	2	56
Углеводы, г	0	0	50	6	2	650	200	500
Минеральные соли, г	9	10	7	12	60	20	70	8
Стоимость 1 кг продукта, ден. ед.	5000	4000	700	3000	7000	1200	500
Количество продукта в рационе, кг	Х1=?	Х2=?	Х3=?	Х4=?	Х5=?	Х6=?	Х7=?

Требуется определить дневной рацион, содержащий не менее суточной нормы потребности человека в необходимых питательных веществах и обеспечивающий минимальную общую стоимость продуктов.

Задача 2.11

На каждом из четырех филиалов производственного объединения могут изготовляться изделия четырех видов. Учи­тывая необходимость углубления специализации, решено, что каждый филиал будет выпускать только один из видов изде­лий. Себестоимость изделий различается по филиалам и опре­деляется матрицей

.

Требуется найти такое распределение выпуска продукции между фи­лиалами, чтобы общая себестоимость продукции была мини­мальной.

Задача 2.12

Торговое предприятие реализует четыре группы товаров. Плановые нормативы затрат ресурсов на единицу товарооборота (ден. ед.), а также объемы ресурсов заданы в таблице.

Виды ресурсов	Товарные группы				Объем ресурсов
	I	II	III	IV
Торговые площади, м2	1	2	3	2	3600
Складские площади, м2	2	1	2	3	1600
Рабочее время продавцов, чел.-час.	5	3	1	2	2400
Издержки обращения, ден. ед.	1	2	3	4	3843
Прибыль, ден. ед.	7	8	10	5

Требуется найти оптимальный план товарооборота и максимальную величину дохода.

Задача 2.13

Мясокомбинат имеет в своем составе четыре завода, на каждом из которых могут выпускать три вида колбасных изде­лий. Мощности каждого из заводов соответственно равны 320, 280, 270 и 350 т/сут. Ежедневные потребности в колбасных изделиях каждого вида также известны и соответственно равны 450, 370 и 400 т. Себестоимость 1 т каждого вида колбасных изделий на каждом заводе определяется матрицей:

.

Требуется найти такое распределение выпуска колбасных изделий между заводами, при котором себестоимость изготовляемой продук­ции являлась бы минимальной.

Задача 2.14

Для производства трех видов продукции предприятие использует два типа технологического оборудования и два вида сырья. Нормы затрат сырья и времени на изготовление одного изделия каждого вида приведены в таблице. В ней же указа­ны общий фонд рабочего времени каждой из групп технологи­ческого оборудования, объемы имеющегося сырья каждого ви­да, а также цена одного изделия данного вида и ограничения на возможный выпуск каждого из изделий.

Требуется определить такой план производства продукции, согласно ко­торому будет изготовлено необходимое количество изделий каждого вида, а общая стоимость всей изготовляемой продук­ции будет максимальна.

Ресурсы	Нормы затрат на одно изделие вида			Общее количество ресурсов
	1	2	3
Производительность оборудования (шт./ч.): I типа II типа	2 4	- 3	4 1	200 500
Сырье (кг): 1 вида 2 вида	10 30	15 20	20 25	1495 4500
Цена одного изделия, ден. ед.	10	15	20
Выпуск (шт.): минимальный максимальный	10 20	20 40	25 100	- -

Задача 2.15

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Пот­ребности в сырье каждого из предприятий соответственно рав­ны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пун­кта его получения. Тарифы перевозок являются известными ве­личинами и задаются матрицей

.

Требуется составить такой план перевозок, при котором общая стои­мость перевозок является минимальной.

Задача 2.16

На молочном комбинате для производства двух видов сливочного мороженого и двух видов пломбира требуется молоко натуральное, молоко сухое, молоко сухое обезжиренное, масло сливочное, сахар, молоко сгущенное, молоко сгущенное обезжиренное. Используется оборудование для расфасовки и упаковки мороженого. Нормы затрат указанных ресурсов на производство 1 т мороженого приведены в таблице. В этой же таблице указана прибыль от реализации 1 т мороженого каждого вида, приведено общее количество ресурсов данного вида, имеющееся в распоряжении молочного комбината, а также указаны минимально возможный выпуск сливочного мороженого II вида и максимально возможный – пломбира I вида (эти границы определены на основе установившегося спроса на мороженое).

Требуется определить такой план производства мороженого молочным комбинатом, обеспечивающий максимальную прибыль от его реализации.

Ресурсы (кг)	Норма расхода ресурса на 1 т мороженого				Общее количество ресурсов
	сливочного I вида	сливочного II вида	пломбира I вида	пломбира II вида
Молоко натуральное	550	-	620	-	64100
Молоко сухое	40	30	20	20	4800
Молоко сухое обезжиренное	30	40	30	30	5200
Масло сливочное	86	110	150	52	22360
Сахар	160	92	158	128	26240
Молоко сгущенное	-	-	-	50	800
Молоко сгущенное обезжиренное	-	158	30	50	7910
Производительность оборудования (машино-час.)	4,5	4,5	4,5	4,5	720
Прибыль от реализации 1 т мороженого, ден. ед.	315	278	573	370	-
Выпуск (т): минимальный максимальный	- -	40 -	- 120	- -	- -

Задача 2.17

На трех хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 90 т муки. Эта мука потребляется четырьмя хлебоза­водами, ежедневные потребности которых равны соответствен­но 80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомби­натов на хлебозаводы задаются матрицей

Требуется составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок являлась бы минимальной.

Задача 2.18

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств массовой информации: телевидения, радио, газет и афиш. Из данных прошлых периодов известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 ден. ед. в расчете на 1 ден. ед. затраченных средств.

Распределение рекламного бюджета подчинено следующим ограничениям:

- полный бюджет не должен превосходить 500000 ден. ед.;

- на телевидение следует расходовать не более 40 % бюджета;

- на радио целесообразно расходовать не менее половины той суммы, которая планируется на телевидение.

- на афиши следует расходовать не более 20 % бюджета.

Требуется распределить средства по различным источникам рекламы оптимальным образом.

Задача 2.19

Исходя из специализации, колбасный цех может выпускать четыре вида продукции П1, П2, П3, П4, используя при этом три вида сырья С1, С2, С3. Общие запасы имеющегося сырья, нормы расхода в кг на 1 т на единицу продукции и цена реализации единицы каждого вида продукции (ден. ед.) приведены в таблице.

Сырье	Расход сырья (кг на 1т)				Запасы сырья, т
	П1	П2	П3	П4
С1	1,5	1,5	1	1,5	110,9
С2	3	9	3	5	250,9
С3	7	6	3	9	360,9
Цена, ден. ед.	40,9	50,9	100,9	60,9

Требуется определить такой план производства колбасных изделий, обеспечивающий максимальную стоимость реализованной продукции.

Задача 2.20.

Имеются три оптовые продовольственные базы – А1, А2, А3, товарные запасы которых составляют 300, 300, 250 т соответственно, и пять магазинов В1, В2, В3, В4, В5, которым необходимо по их заявкам 150, 140, 115, 225 и 220 т товара соответственно. Величины транспортных издержек С_ij (ден. ед. за 1 т) представлены следующей матрицей:

.

Требуется составить оптимальный план перевозки товара с баз в магазины при условии минимизации транспортных затрат на перевозку грузов.