Svetlov_Filosofia_matematiki
.pdf
Кризис математики в начале ХХ века |
31 |
|
|
лу хх в. канторовская теория множеств «нашла широкое примене ние во многих областях математики. Кантор и Рихард Дедекинд понимали, сколь важна теория множеств для обоснования теории целых чисел (конечных, или 'финитных', и трансфинитных) для анализа понятий линии или размерности и даже для оснований математикю)З2. Рассел назвал Кантора величайшим мыслителем XIX в. Гильберт утверждал о теории множеств Кантора: «Мне представляется, что это самый восхитительный цветок математиче ской мысли и одно из величайших достижений человеческой дея тельности в сфере чистого мышления»ЗЗ.
Проблемы начались, когда Кантор попытался определить мно жество всех трансфинитных множеств. Согласно теореме Кантора, существует бесконечное число трансфинитных кардинальных мно жеств. Согласно этой же теореме, если такое «сверхмножество»
существует, то должно существовать и множество всех его под
множеств, которое должно быть больше «сверхмножества». «Сле довательно, заключил Кантор, должно существовать трансфинит ное число, превосходящее наибольшее из трансфинитных чисел. Придя к столь нелепому выводу, Кантор сначала растерялся; однако затем он решил, что все множества можно разбить на противоречи вые и неnротиворечивые, и в 1899 г. сообщил об этом Дедекинду. Таким образом, множество всех множеств и соответствующее ему трансфинитное число попадали в разряд 'противоречивых' - и тем самым исключались из рассмотрения»З4.
Рассел, узнав о парадоксе «сверхмножества», сначала усомнил ся в правильности рассуждений Кантора. По его мнению, Кантор, должно быть, «совершил очень тонкую логическую ошибку, кото рую я (Рассел. - В. с.) надеюсь объяснить в одной из следующих работ»ЗS. Результатом размышлений Рассела стала формулировка нового парадокса, названого в его честь парадоксом Рассела.
Рассел обратил внимание на то, что возможны два вида клас сов: содержащие себя в качестве собственного элемента и не со-
~lOжные для него ВЫВОДЫ с крайней последовательностью, могущей стать роковой и для него»> (Кантор Г. Указ. соч. С. 273).
32Там же. С. 234.
33Цит. по: Клайн М. Указ. соч. С. 237.
34Там же. С. 235.
35Там же. С. 235.
32 |
Глава 2 |
держащие себя в качестве собственного элемента. К первым от носятся, например, понятия «список», «каталог», «классифика ция», «абстракция» и т. п. Подобные понятия составляют мень шинство, поэтому их называют нестандартными. Обычно же классы не содержат себя в качестве элемента своего класса, не входят в объем собственного множества (стандартные классы). Скажем, элементами множества «студент» являются конкретные
студенты, но очевидно, что само это множество студентом не яв
ляется, ибо не имеет ни возраста, ни национальности или факуль тетской принадлежности.
Логически парадокс обнаруживается в том, что неизвестно, ку да поместить стандартное множество. В классе, который является собственным элементом, ему не место, поскольку он не входит в свой класс. Но его нельзя включить и в класс, который собствен
ным элементом не является, поскольку он представляет стандарт
ный класс и не должен находиться среди собственных элементов. Формально это выглядит так. Пусть R = «семейство тех и только тех классов Х, которые не являются своими элементами и потому удовлетворяют условию Х е Х». Таким образом, имеет место эк вивалентность Х Е R ;: Х е Х Подставив вместо переменной Х символ R, получим RE R;: R е R, т. е. противоречие.
Парадокс Рассела - самый известный из относящихся к осно ваниям математики, но не единственный. Поскольку все они обла дают одной и той же логической структурой, именно структурой парадокса «Лжец», они здесь не рассматриваются36• Этот парадокс возникает как следствие незаконной, имеющей характер порочного круга, по мнению Рассела, самореференции определенных поня тиЙ. Пуанкаре назвал понятия, не способные к непротиворечивой самореференции, непредикативными. Обнародование парадокса Рассела и ему подобных противоречий побудили математиков к по иску непредикативных понятий не только в теории множеств, но и в других разделах математики. Вскоре одно из таких понятий было обнаружено в основаниях классической математики - понятие «наименьшей верхней границы». Оказалось, что оно включает сре ди прочих значений и то, которое призвано обозначить, т. е. наи меньшую верхнюю границу. Поскольку никто не мог гарантиро-
36 Обсуждение этого парадокса содержится в приложении 2.
Кризис математики в начале ХХ века |
33 |
|
вать, что если до сих пор то или иное непредикативное понятие не
приводило к противоречиям, то их не будет и в будущем, у некото
рых математиков возникло ощущение, что математика стоит не
просто на шатком, а логически противоречивом основании.
Если парадокс Рассела и ему подобные парадоксы стимулиро
вали математиков к поиску и исключению непредикативных поня
тий из всех разделов математики и тем самым - к обоснованию ее непротиворечивости в целом, то аксиома выбора, явная формули ровка которой принадлежит Э. Цермело (1871-1953), породила сре ди них другую волну проблем и тревог. Аксиома выбора имеет много вариантов. Один из самых понятных такой. Пусть дано мно жество М, подмножества которого - непустые множества. Тогда всегда можно выбрать по одному элементу из каждого подмножества и образовать из них новое подмножество. Так, из каждой квартиры многоквартирного дома, в которой проживает хотя бы один чело век, согласно аксиоме выбора, можно отобрать по одному предста вителю для общего собрания жильцов данного дома.
Аксиома выбора неявно использовалась Кантором для доказа тельства теоремы о том, что любое бесконечное множество содер жит подмножество с кардинальным числом Мо. Аналогично посту
пали многие другие математики при решении своих частных
проблем. В 1923 г. Гильберт назвал аксиому выбора принципом, без
которого невозможна теория математического вывода. Вместе с тем именно эта аксиома в начале хх в. стала объектом жесточайшей критики со стороны ведущих математиков Европы (Ф. Бернштейна, Э. Бореля, Р. Бэра, А. Лебега). «Суть критики сводилась к тому, что ссли не указано правило, по которому из каждого множества выби рается по элементу, то реально выбор не производится и поэтому В действительности новое множество не образуется. В ходе доказа тельства выбор может измениться, поэтому доказательство утрачи вает силу. По выражению Бореля, выбор без правил представляет собой акт веры; поэтому аксиома выбора лежит за пределами мате матики»37. Пример Рассела поясняет смысл проблемы. Допустим, имеется сто пар ботинок. Если из каждой пары требуется выбрать левый ботинок и образовать множество из ста левых ботинков, то процесс выбора не составит труда, так как известно правило, кото-
37 Клайн М. Указ. соч. С. 244-245.
34 |
Глава 2 |
рому оно подчиняется, - «из каждой пары выбирай левый бати ною). Если же обувь заменить, скажем, носками, то из-за невозмож ности отличить левый носок от правого сразу же возникнет вопрос, погубивший в свое время буридановского осла, об основаниях вы бора носка как левого. Иными словами, аксиома выбора критикова лась за принципиально неконструктивный характер. Она указывала
на возможность построения нового множества, но ничего не гово
рила, как именно это можно сделать.
В целом в начале хх в. сложилась следующая ситуация. Теория множеств Кантора, хотя и не без споров и возражений, бьmа призна на основанием всей математики. Каждый математический объект мог быть сформулирован в терминах теории множеств, т. е. пред ставлен как теоретико-множественный объект. Вместе с тем пара доксы трансфинитных множеств Кантора, Рассела и родственные им, неконструктивный характер аксиомы выбора и так называемых доказательств существования, бесконтрольное использование ма тематиками непредикативных понятий и связанная с этим потенци альная угроза возникновения новых противоречий, наконец, отсут
ствие достаточных логических средств для точного выражения и анализа математических рассуждений - все это создавало впечат ление если не фундаментальной ошибочности, то, по крайней мере, ненадежности теоретико-множественного обоснования математики. Стали говорить о (третьем) кризисе математики.
Но был ли на самом деле кризис математики? Ни одна из су ществующих в то время математических теорий не была признана формально противоречивой. Ни одна из фундаментальных теорем арифметики, геометрии, алгебры, анализа и топологии не была признана ошибочной, и не было никакого повода сомневаться в достоверности самих этих наук. Все споры свелись исключительно к тому, как интерпретировать необычные теоретико-множествен ные объекты канторовской теории, основанные на допущении акту альной бесконечности, в привычных методологических схемах и абстракциях. Следовательно, в начале хх в. возник кризис не мате матики, а ее методологии: обнаружилось очередное резкое несоот ветствие объяснительных средств, которыми расnолагшlU матема
тики в рассматриваемое время, тем новым теоретико-множест
венным объектам, которые они же сами и создавали. В частности, абстракция актуальной бесконечности, которой так свободно поль-
Кризис математики в начале ХХ века |
35 |
|
|
зовался Кантор, противоречила принятым в то время представлени ям об ограниченных познавательных способностях человека и ко
нечном характере доступного ему опыта.
Как всегда, было предложено множество выходов из кризисной ситуации, начиная от призывов Кронекера полностью запретить теорию трансфинитных множеств Кантора, попыток ее существен ной ревизии, предпринятых интуиционистами и конструктивиста ми, и до надежд построить логически безупречное основание этой теории логицистами и формалистами.
Как будет показано, ни одна из предложенных программ спасе ния теории множеств Кантора не достигла своей цели. Одной из причин такой неудачи можно считать разделяемое всеми специали стами, работающими в области обоснования математики, общее заблуждение, что математика должна иметь единое и достоверное основание - источник, из которого она могла бы гарантированно извлекать свои истины. Математика не только не имеет такого ос
нования, но она также не имеет раз и навсегда заданного универсу
ма своих объектов и операций над ними. Создание неевклидовых
геометрий ясно показало, что математика имеет дело с множеством возможных моделей, ни одна из которых не является для нее более фундаментальной, чем другая. Математика, как никакая другая нау ка, - в очень высокой степени замкнутая и независимая от непо средственного влияния практических потребностей, саморазви вающаяся и самодетерминирующаяся область знания, внешние (психологические, культурные, социальные) причины для которой
являются важными, но не определяющими.
Другой причиной неудач работ в области обоснования матема
тики можно назвать отсутствие ясного понимания, что такое мате
матическая бесконечность. Основной результат, к которому обычно приходят в процессе обсуждения этой проблемы, - это недопус тимость актуальной бесконечности из-за ее принципиальной нена блюдаемости и непроверяемости в нашем конечном опыте. Но не является ли такое исключение сознательной или бессознательной уступкой старой изжитой позитивистской догме о реальности ис ключительно конечных объектов и иллюзорности бесконечного? Ведь совершенно очевидно, что потенциальная бесконечность про тивопоставляется актуальной в качестве истинной только потом~ что она, как объяснял еще Кантор, и не покидает пределы конечно-
36 |
Глава 2 |
го, т. е., по сути, и не является бесконечностью. Таким образом, ре альная проблема, лежащая в основе споров о законности актуаль ной бесконечности, заключается в том, что до сих пор отсутствует общепринятое и удовлетворительное объяснение связи конечного и бесконечного.
Третьей причиной методологического кризиса математики в на чале хх в. стало обнаружившееся несоответствие используемых большинством математиков логических средств - аристотелевой логики - задачам конструирования новых математических объек тов и теорий. Анализ трансфинитных множеств потребовал уточ
нения не только закона исключенного третьего, но и границ приме
нимости всей классической логики. Усилиями Фреге, Рассела и Уайтхеда была создана символическая логика - один из самых значительных результатов математической мысли этого времени.
Таким образом, рассматриваемый кризис не поколебал постро енное здание математики. Наоборот, он способствовал более быст рой разработке необходимых концептуальных средств для ассими ляции новых открытий и более быстрому прогрессу математики как
науки.
Глава 3
Логицизм.
Математика как СОЗАание
логически очеВИАНЫХ
-
конструкции
Одним из самых фундаментальных и вместе с тем удиви тельных свойств математики называют необходимость ее утвер ждений. Объясняя это свойство, Лейбниц указал на чеТbIре осо бенности логических и математических суждений, KOTopbIe
сыграли впоследствии решающую роль в становлении програм
мы логицизма.
Во-первых, логические и математические истины необходимы, потому что их логическое отрицание ведет к противоречию. Отри цать, что «холостяки есть неженатые мужчины» или «2 + 2 = 4»,
означает утверждать противоречие.
Во-вторых, логические и математические ИСТИНbI как ИСТИНbI
разума допускают в конечное число шагов редукцию к «тождест
венным истинам»38. Например, доказать суждение «2 + 2 = 4» озна чает свести его к тождеству вида «1 = 1». НенеоБХОДИМbIе (случай ные) ИСТИНbI подобны несоизмеРИМbIМ отрезкам, и их редукция к истинам тождества нуждается поэтому в бесконечном числе шагов и доступна только Богу.
В-третьих, редукция логических и математических истин к ис тинам тождества требует построения формального исчисления для вывода следствий из ПрИНЯТbIХ аксиом. «Мне же, беспокойному,
38 Лейбниц Г. Указ. соч. С. 496.
38 |
Глава 3 |
уже давно со всей очевидностью представилось и нечто более важ
ное, а именно, что все человеческие мысли вполне разрешаются на
немногие, как бы первичные; что если бы этим последним были поставлены в соответствие характеры (символы. - В. с.), то из них могли бы образовываться характеры производных понятий, из ко торых всегда могли бы извлекаться все их реквизиты и ВХОдЯщие в
них первичные понятия, и то, что я называю определениями или
значениями, а равным образом и следствия, доказуемые из этих оп ределений. Если бы все это было осуществлено, то каждый, кто пользовался бы в процессе рассуждения и писания такого рода ха рактерами, либо никогда не ошибался бы, либо сам не хуже других с помощью несложных выкладок обнаруживал свои ошибки; к то му же, он приходил бы к открытию истины, поскольку она следует из данных... »39
В-четвертых, будучи аналитическим по своей сути, критерий необходимостиЛейбницапридаетлогике и математикеавтономный характер, принципиальноотделяетих от всех остальных наук. Про блема обоснованиялогики и математики, в отличие от всех осталь ных наук, становитсясугубо внутреннимделом данных дисциплин. Они не нуждаются в обращении к опыту, интуиции, психологии восприятия(познания).
Идеи Канта о синтетическомхарактере математическихсуж дений, конструктивнойприроде математическогознания, незави симости математики от логики не поколебалиуверенностилоги цистов конца XIX и начала ХХ вв. в аналитическом характере математики и логики, но потребовали от них дополнительного прояснения вопроса о соотношении между собой логических и математических истин. Учитывая совместимость последних, воз можны три варианта их отношений. Либо логические и матема тические истины образуют один и тот же класс, либо логические истины являются подклассом математических истин, либо, на оборот, математические истины образуют подкласс логических истин. Согласно логицистам первый и второй варианты отпадают,
потому что, по их мнению, не каждая логическая истина является
математической. Остается третий вариант: математические исти
ны суть логические истины; они - следствия правильно постро-
39 ЛейбницГ Указ. соч. С. 502.
Логицизм |
39 |
|
енного логического исчисления. Вывод новых математических
истин совершается механически посредством манипуляции сим
волами из ранее отобранных, названных аксиомами. Все этапы
получения нового знания контролируемы, возникновение пара
доксов исключается по определению. Ошибки возможны лишь
из-за отсутствия должного внимания и легко исправляемы.
nporpaMMa лоrнцнзма:
математнкакак ЛРОАолженне
лоrнкн
Предположениео сугубо внутреннем, т. е. чисто логическом, основаниинеобходимостиматематикисоставляетидейную основу логицизма как особой программы обоснования математики. Эта идея объединяет логицистов с Лейбницем. Отличает их тщатель ность логической разработки этой идеи. Тождественную истину Лейбница, т. е. суждение, в котором объем субъекта полностью включен в объем предиката, Фреге превращает в аналитическое высказывание. Высказывание - аналитическое, если оно выво димо из общих законов логики и связанных с ними определений. Соответственно редукция Лейбница к тождественной истине за меняется Фреге доказательством аналитического характера рас сматриваемого высказывания. Доказать, что математика есть часть логики, с логицистской точки зрения означает показать, что все
понятия и суждения математики суть аналитически истинные
сущности.
Попытки доказательства аналитического характера математики привели логицистов к созданию новой логики. Именно это следует считать самым важным результатом реализации логицистами своей программы. Детали этой логики (в современном оформлении) из ложены в приложении к данной работе. Она существенно отличает ся от традиционно,Й логики и позволяет решать задачи качественно
иного уровня.
Основные тезисы программы логицистов:
• Все понятия математики определяются в терминах понятий
логики .
• Все теоремы математики выводятся из логических аксиом.
40 |
Глава 3 |
Философия математики Готтлоба Фреге
Надеюсь, в данном сочинении я сделал правдоподобным то, что арифметические за
коны являются аналитическими, а следова
тельно, априорными суждениями. Сообразно этому арифметика есть лишь дальнейшее развитие логики, а каждое арифметическое предложение есть логический закон, хотя и производный.
Г Фреге. Основоположения арифметики
Критика противоположных ПОАХОАОВ
к опреАелению числа
Готглоб Фреге (1848-1925) рассматривал создание новой ло гики не как конечную цель, а как средство анализа арифметики. Отсутствие единства мнений среди математиков о значении ее ис ходных терминов подтолкнуло Фреге к тому, чтобы начать раз мышлять о логическом анализе арифметики. Во времена Фреге под арифметикой понимали теорию натуральных чисел вместе с основаниями анализа. Поэтому предметом интенсивного логиче ского анализа стали прежде всего исходные понятия арифметики- число, множество, равенство, переменная и функция. Среди них обоснование понятия числа Фреге считал наиболее актуальным и
приоритетным.
По его мнению, самые простые и неэффективные ответы на вопрос «что такое число?» предлагают те, кто полагает, что значе ние понятия числа может быть установлено непосредственно и не требует специальной методологической и, возможно, логической рефлексии. Число с этой точки зрения есть либо определенный психологический объект, либо тот знак (цифра), которым оно обо значается. Психологизм и формализм в математике берут свое на чало, считает Фреге, именно из этой порочной методологической установки. Математики говорят, что числа абстрагируются из клас
сов, или множеств, но они при этом не определяют, что именно они
понимают под абстракцией и классом. Абстрагируя, мы следуем от объектов к nонятuю, которые ему подчиняются (образуют его объ-