Svetlov_Filosofia_matematiki
.pdf
Интуиционизм И конструктивизм |
101 |
|
предсказать, какое число в последовательности будет следующим. Но Брауэр сумел решить эту проблему, введя понятие последова тельности выбора (свободно становящейся последовательности) и построив с его помощью особый тип множества (брауэровское :vtножество, называемое также потоком).
Брауэровское множество есть дерево выборов такое, что «ка ждый из свободно повторяемых выборов натуральных чисел либо порождает определенный член ряда, продолжая или заканчивая весь процесс, либо делает его недопустимым, уничтожая полу ченный результат; после n - 1 допустимых выборов для каждого n > 1 можно точно установить по крайней мере одно натуральное
число в качестве n-го члена последовательности, которое делает
се допустимой. Каждая последовательность результатов выборов, полученных таким образом, называется элементом даююго М1Ю жества» 106.
Смысл приведенного определения станет более понятным, если
ввести дополнительные разъяснения.
Назовем последовательность выборов натуральных чисел до пустимой, если она удовлетворяет некоторому условию, позво ляющему эффективно находить любой член последовательности.
Допустимая последовательность является членом брауэровско
го множества, если:
• Для каждой конечной последовательности натуральных чисел
можно определить, допустима она или нет.
•Если последовательность <al, а2, аз, ... , аn, an+l> допустима, то также допустима и последовательность <al, а2, аз, ... , аn>.
•Можно установить допустимую последовательность длиной 1,
т. е. <al>.
•Если последовательность <al, а2, аз, ... , аn> допустима, либо можно найти натуральное число k такое, что последователь
ность <al, а2, аз, ... , аn, k> допустима, либо такого числа не су ществует (что равносильно окончанию процесса выбора).
Припишем определенное рациональное число конечной последовательности, которая допустима согласно указанным условиям. Пусть
дана последовательность нагуральных чисел <а\, а2, аз, ... , ап> такая,
106 Brouwer L. Е. J. Оп the domains of definition of functions. Р. 453.
102 Глава 4
что для каждого n она допустима. Тогда последовательность рацио нальных чисел вида Уl = «al», У2 = (<al. а2», rз = «al, а2, аз», ... , т. е. последовательность <У\, У2, rз, ... >, представляет элемент брау
эровского множества.
Брауэровское множество представляет интуиционистский континуум, если и только если каждый его элемент является последовательно стью рациональных чисел <'1. '2. 'з, ...>, удовлетворяющей условию
I('an - 'an+1)1 < 1/2n.
Начальная часть брауэровского множества, порождающего чи словой континуум [О, 1], приведена на рис. 4.2.
1 .2- 2
0·21 1·21 2·21 3·2) 4·2-1 5·2-) 6·2-1 7·2-) 8·21
Рис. 4.2. Начальная часть брауэровского множества
Каждая ветвь воспроизведенного на рис. 4.2 брауэровского мно жества задает некоторое действительное число. В этом множестве потенциально представлены все действительные числа. для их за дания необходимы только продолжающиеся сколь угодно последо вательности рациональных чисел. При этом брауэровское множест во действительных чисел не является актуально заданным, оно - создаваемое, но никогда не завершаемое множество выборов чисел, «среда свободного становления».
Интуиционизм И конструктивизм |
103 |
|
|
Поскольку в процессе выбора в каждый момент времени извес тен лишь некоторый начальный отрезок последовательности и ни какой информации о ее дальнейшем развитии по условию свобод ного выбора нет, только начальные отрезки могут использоваться
для решения, оставляет ли новое натуральное число начатую по
следовательность допустимой или нет. Это утверждение известно как nринциn неnрерывности Брауэра.
Если каждой последовательности выбора брауэровского множества
<81. 82, 8з•...• 8 n> сопоставлено число 'n. то значение последнего зави сит только от начального сегмента данной последовательности <а1, 82. 8з•...• 8 n-1>, т. е. все последовательностивыбора. стартующиес этого же сегмента, совпадаютс <81.82. 8з, .... 8п>.
Согласно принципу непрерывности, каждая функция, опреде ленная всюду на замкнутом интервале, равномерно непрерывна. Он лежит в основе доказательства главной теоремы Брауэра о конеч ных множествах, фан-теоремы, (брауэровское множество конечно,
если для каждого n можно составить список всех последовательно
стей длины n)107.
Если каждой последовательности выбора конечного брауэровского множества <81. 82. аз. ...• 8 n> сопоставлено число 'n. то существует число 'т такое, что для всех <81, 82. 8з, .... 8 n> число 'n определяется на основании первых m значений последовательности <81. 82, 8з.
8т• ... , 8 n >.
Интуиционистское истолкование континуума действитель
ных чисел радикально несовместимо с основами классического
анализа.
Во-первых, оно исключает допущение актуальной бесконечно сти и вводит допущение потенциальной бесконечности. Согласно Вейлю, несмотря на все достижения теоретико-множественного обоснования анализа, для него характерно «ничем не ограниченное применение терминов 'все' и 'существует' не только к натуральным
107 Beth Е. W. Тhe Foundations of Mathematics. А Study in the Philosophy of Sci- епсе. Amsterdam, 1959. Р. 430.
104 |
Глава 4 |
числам, но также и к местам в континууме, т. е. к возможным по
следовательностям или множествам натуральных чисел. В этом и
заключается сущность теории множеств: она рассматривает в ка
честве замкнутой совокупности существующих самих по себе предметов не только числовой ряд, но и совокупность его под множеств. Поэтому она целиком базируется на почве актуально бесконечного»108.
Во-вторых, новая интерпретация континуума влечет новую интерпретацию логических кванторов. «[Экзистенциальное] вы сказывание (Ех)Ах воспринимается нами как неполное сообщение о (потенциальной) возможности построения конкретного действи тельного числа со свойством А, в то время как общее высказыва ние (х)Ах выражает некоторое свойство потока становящихся по следовательностей (элементов брауэровского множества. - В. с.). Таким образом, в отличие от традиционной ситуации, кванторы существования и общности имеют совершенно различные области интерпретации, что лишает силы (а порою и смысла) многие зако ны классической логики, в частности, принципиальную для трансфинитных случаев закона исключенного третьего эквива лентность ~(х)Ах ;: -,(Ех) -.AX»I09.
В-третьих, принцип непрерывности Бауэра противоречит клас
сическому определению последовательности и проводит, по мне
нию многих аналитиков, непреодолимую границу между интуи
ционистской и классической математикой.
Центральным понятием интуиционистской математики явля ется брауэровское множество. Последнее представляет матема тическую модель потенциальной бесконечности - никогда не завершенное, но способное к непрерывному конструированию новых элементов дерево. Последовательно конструируемый ряд натуральных чисел - простейшая модель потенциальной беско нечности, континуум действительных чисел - самая полная. Интуиционистская математика предстает наукой о потенциально бесконечных и конструктивно создаваемых умственных конст
рукциях.
108 Вейль Г. Указ. соч. С. 73.
109 Кушнер Б. А. Принцип бар-индукции и теория континуума у Брауэра // За кономерности развития современной математики. М., 1987. С. 240-241.
ИНТУИЦИОНИЗМ И конструктивизм |
105 |
|
|
Интуиционистская логика (высказываний)
Утверждая независимость математики от языка и логики, ее самодостаточность, принцип полной индукции В качестве единст венного метода решения всех математических проблем, интуицио нисты тем самым давали понять, что проблема формализации дока зательств им безразлична. Однако дискуссии интуиционистов с логицистами и формалистами по поводу законности закона исклю
ченного третьего в конце концов вынудили их проявить интерес и к
логической проблематике. В результате была создана так называе
мая интуиционистская логика высказываний и предикатов, отли чающаяся от классическоЙ IIО •
Сравнение классической логики высказываний с интуициони стской поможет понять их отличие друг от друга.
Классическая логика создавалась в предположении, что ее правила имеют универсальное значение, ее истины общезначимы для всех людей, для любых наук. Наоборот, интуиционисты рас
сматривают свою логику как часть математики, не имеющую за
ее пределами никакого операционального значения. Логические
правила - умственные конструкции, создаваемые для решения
исключительно математических проблем.
Классическая логика высказываний основана на допущении,
что истинные и доказуемые утверждения составляют один и тот же
класс: всякая истина доказуема и каждое доказуемое утверждение
истинно. Интуиционисты отрицают подобную эквивалентность и
признают справедливым лишь то, что всякое доказуемое утвержде
ние истинно, но обратное считают в общем неверным. это означает,
что для интуиционистов класс доказуемых истин включен в класс
истин, но не равен ему.
Классическая логика оперирует понятиями «истина» и «ложь». Интуиционистская логика заменяет их понятиями «доказуемо» и «противоречиво (абсурдно)>>. Утверждение «высказывание р ис
тинно» означает «высказывание р истинно, потому что доказано».
Утверждение «высказывание р ложно» означает «высказывание р
ложно, потому что доказано, что р невозможно, т. е. что из р следу
ет противоречие (абсурд)>>.
110 СМ.: Гейтинг А. ИНtyИЦИОНИЭМ. С. 122-142.
106 |
Глава 4 |
Для классической логики значение любого высказывания опре деляется условиями, при которых ОНО истинно. Для интуиционист ской логики значение любого высказывания определяется условия ми, при которых оно может быть доказано.
Для классической логики понятия истины и лжи безличны, не имеют никакой субъективной составляющей. Истинное или ложное высказывание является таковым для всех без исключения. В интуИ ционистской логике каждое доказанное высказывание - это от чет математика об акте личного умственного конструирования в определенное время. Например, вместо «высказывание р истинно» интуиционисты говорят «во время t в моем уме существует (по строена) конструкция К, доказывающая р». При этом связь УМСТ венного построения с субъектом существенна. Интуиционист не может сказать «существует построение К, независимое от кого бы то НИ было». Для него это обещание, не подкрепленное личным свидетельством и лишенное доказательности. Для интуициониста
имеют смысл лишь утверждения «в моем уме существует конст рукция К».
Классическая логика основана на допущении, что значение ис тинности сложного высказывания представляет функцию истинно сти значений истинности составляющих его простых высказыва ний. В этом смысле она представляет логику функций истинности. Каждое высказывание классической логики либо истинно, либо ложно. Оно истинно (ложно), потому что ложно (истинно) ему про тиворечащее. Но интуиционистская логика не является логикой функций истинности. Она допускает высказывания, значение ис
тинности которых не определяется значением истинности их логи
ческих атомов.
Последнее отличие становится более понятным, если срав
нить интуиционистскую интерпретацию основных логических
связок (<<не», «И», «илю), «если... , то») с классической. В класси ческой логике эти связки рассматриваются как условия истинно сти высказываний; в интуиционистской логике они считаются ус ловиями доказуемости высказываний. Для краткости далее вместо «в моем уме существует конструкция К» будем говорить «сущест вует конструкция К».
Высказывание -,р, читается как «не-р» и называется логиче
ским отрицанием, доказуемо тогда, когда существует KOHCTpYIi-
ИНТУИЦИОНИ3М И КОНСТРУКГИВИ3М |
107 |
ЦИЯ К, доказывающая, что не существует доказательства р (доказы вающая, что из существования р выводимо противоречие). В клас сической логике отрицание высказывания представляет функцию
истинности противоречащего ему высказывания: -,р истинно, если и только если р ложно. В интуиционистской логике доказательство -,р требует специального доказательства невозможности р. Без такого доказательства интуиционист в общем (бесконечном) слу чае не может сделать вывод об истинности высказывания -,р. Ес ли для классической логики из ложности высказывания р следует обязательная истинность высказывания -,р, то для интуиционист ской логики это не является аксиомой: р может быть ложно, а -,р неопределенно. По этой причине логическое отрицание не являет ся для интуициониста функцией истинности. К этому следует до бавить, что поскольку определение логического отрицания произ водно от базисного для них понятия доказательства, то некоторые интуиционисты считают операцию отрицания вообще избыточной и полагают, что интуиционистская логика может быть построена без нее.
Высказывание (р & q), читается как <<р и q» и называется конъ юнкцией высказываний р и q, доказуемо тогда, когда существует конструкция К, доказывающая какр, так и q. В классическом смыс
ле конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны все
составляющие ее высказывания (конъюнкты). Для интуициониста этого недостаточно. Даже если все конъюнкты истинны, но не по
строено доказательство их совместной истинности, вся конъюнк ция не может считаться доказанным утверждением. Значит, и конъюнкция в общем (бесконечном) случае для интуициониста не является функцией истинности.
Высказывание (р v q), читается как <<р или q» и называется дизъюнкцией высказываний р и q, доказуемо тогда, когда сущест вует конструкция К, доказывающая р или доказывающая q. в клас сической логике дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинным является хотя бы одно составляющее ее высказывание (дизъюнкт). Для интуициониста этого недостаточно. Даже если найдется один истинный дизъюнкт, но не существует доказательст
ва его истинности, дизъюнкция не считается доказанным утвер
ждением. Следовательно, и дизъюнкция в общем (бесконечном) случае для интуициониста не является функцией истинности.
108 Глава 4
Высказывание р ::J q, читается как «если р, то q» и называется импликацией высказываний q из высказывания р, доказуемо тогда, когда существует конструкция К, которая будучи применена к до казательству р, позволяет доказать q. В классическом смысле им
пликация р ::J q истинна тогда и только тогда, когда ложно выска
зывание р или истинно высказывание q. В интуиционистском смысле этого недостаточно. Даже если высказывания р и q ис тинны, но отсутствует конструкция К, позволяющая из доказа тельства р вывести доказательство q, вся импликация не может
считаться доказанным утверждением. Значит, импликация в об щем (бесконечном) случае для интуициониста также не является функцией истинности.
Из сказанного следует, что некоторые правила классической ло гики не выполняются в интуиционистской логике. Самым известным из них является закон исключенного третьего р V~. В классиче ской логике этот закон принимается без каких-либо ограничений. Интуиционисты также принимают данный закон, но только для конечных последовательностей объектов. Доказательство выска зывания р или доказательство невозможности р требует конечного перебора и поэтому всегда выполнимо. Но этого нельзя сказать о бесконечном универсуме. Никакой перебор элементов здесь не возможен и все доказательства, обладает ли некоторое число дан ным свойством или нет, становятся бессмысленными. Допустим, требуется доказать, обладает ли натуральное число х свойством А, т. е. истинно ли высказывание «существует число х, обладающее свойством А». Согласно закону исключенного третьего, его аль тернативой будет высказывание «ни одно из чисел х свойством А не обладает». Если задана конечная последовательность натураль ных чисел, то поставленная проблема решается однозначно по средством последовательной проверки ее элементов. В этом слу чае либо по крайней мере одно из таких чисел будет обнаружено, либо будет доказано, что все числа из этой последовательности свойством А не обладают. Но в бесконечной области такая проце дура неосуществима, потому что нельзя перебрать все числа нату рального ряда, чтобы обнаружить нужное. Но также нельзя дока зать, что ни одно из чисел свойством А не обладает, так как для этого требуется опровержение бесконечного числа альтернатив. Иными словами, согласно инmуиционисmам, закон исключенного
ИНТУИЦИОИИЗМ И КОНСТРУКТИIIИЗМ |
109 |
третьего в бесконечной области объектов - случай неразреши мой проблемы.
Брауэр был первым, кто обратил внимание на то, что закон ис ключенного третьего - специальный случай проблемы разреши мости. Это и стало решающим мотивом, побудившим Брауэра вы ступить против закона исключенного тpeтbeгol\l. В 1900 г. Гильберт сформулировал аксиому разрешимости каждой математической проблемы. В это время Гильберт предполагал, что выражает общее мнение всех математиков. Позже он признал, что эта проблема тре бует дальнейшего исследования, и переформулировал ее в пробле му разрешимости, независимую от каких-либо споров о природе
математики.
Ниже приводится реконструкция невыполнимости закона ис ключенного третьего в интуиционистской логике. В нем использу ется правило RD, согласно которому дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны все ее дизъюнкты (альтернативы). Идея становящейся последовательности выборов формализуется посред ством индексации значений истинности высказываний их истинно стью в определенном возможном мире W. Пусть WI обозначаетмир, в котороммы реальносуществуем(действительныймир).
Реконструкцияинтуиционистскогодоказательстваневыполнимостизакона исключенноготретьего в бесконечнойобласти объектов
1. р v -,р ложно в мире WI |
(допущение). |
2. р ложно в мире Wl |
(из (1), RD). |
3. -,р ложно в мире WI |
(из (1), RD ). |
4. р, возможно, истинно в мире W n, n ~1 |
(из (3». |
5. Вторая и четвертая строчки не образуют противоречия. Учиты вая, что, кроме нашего мира, возможно существование беско
нечного множества других миров и тем самым последователь
ностей выборов, ложность высказывания р в мире WI не исключает его возможной истинности в другом мире wn ' Но
если допущение ложности закона исключенного третьего при
интуиционистском истолковании не приводит к противоречию,
он не может быть законом интуиционистской логики.
11\ Beth Е. W Mathematical Тhought. Аn Introduction to the Philosophy of Mathematics. Dordrecht, 1965. Р. 77-80.
11 О |
Глава 4 |
Аргументы интуиционистов (и, добавим, конструктивистов) против закона исключенного третьего будут более понятны на сле дующем простом примере. Допустим, имеется общее высказывание «ДЛЯ всех х выполняется свойство А», формально (х)Ах. Это сужде ние в конечной области из n объектов эквивалентно конъюнкции частных суждений следующего вида: (Ах, & АХ2 & ... & Ах,,). По строим отрицание этого общего суждения: ...,(Ах, & АХ2 & ... & Ах,,). По правилам де Моргана отрицание рассматриваемого суждения эк вивалентно дизъюнкции следующего вида: (...,Ах! V ...,Ах2 V .•• v ...,Ах,,). Каждый дизъюнкт ...,Ах", символизирующий объект х" со свойством
...,А, представляет противоречащий пример (контрпример) общего суждения (х)Ах. Но какой именно? Классические математики и ло гики отвечают, что это не имеет особого значения. Достаточно того, что он просто существует. Интуиционисты считают это недоста точным: вместо утверждения существования необходимо указать, какой конкретно дuзъюнкт ...,Ах" является KOHтpnpuмepOM. для этого в конечной области достаточно перебрать все объекты и найти тот, который опровергает общее суждение (х)Ах. Поскольку
это возможно принципиально, закон исключенного третьего в
форме «истинно либо суждение (х)Ах, либо суждение (Ех)...,Ах,,» для конечной области объектов интуиционистами признается об
щезначимым.
Допустим теперь, область исследуемых объектов бесконечна. То гда конъюнкция (Ах, &Ах2& ... &Ах,,) и дизъюнкция(...,Ах!V ...,АХ2 V •.• v ...,Ах,,) будут содержать бесконечное число членов. Какой именно дизъюнкт в бесконечной дизъюнкции будет представлять контр пример? В бесконечной области объектов ответ на этот вопрос для интуиционистов принципиально бессмысленен. Но тогда становит ся бессмысленным и рассуждение согласно закону исключенного
третьего.
Сказанное означает, что в основе отрицания интуиционистами (конструктивистами) закона исключенного третьего лежит сле дующая проблема. Если классические математики считают, что от рицание общего суждения всегда (в любой области объектов) вле
чет существование контрпримера и поэтому альтернатива между
общим высказыванием и его отрицанием, т. е. частным суждением, законна, интуиционисты (конструктивисты) признают это справед ливым только в конечной области.