Svetlov_Filosofia_matematiki

союзом «или». Сложным будет высказывание «Неверно, что сегодня

среда», так как оно представляет отрицание простого высказывания

«Сегодня среда», с помощью логического союза «неверно, что».

В логике высказываний по соглашению допускается, что каж­ дое простое высказывания либо истинно, либо ложно. При этом

некоторые сложные высказывания, именно противоречивые выска­

зывания, могут быть одновременно истинными и ложными.

Допущение бивалентности. Каждое простое высказывание ЛВ либо истинно, либо ложно.

Следует отметить, что в отличие от простых высказываний не­

которые сложные, именно противоречивые высказывания, одно­

временно истинны и ложны. Ниже объясняется, почему такие вы­

сказывания называют логически ложными.

В логике высказываний также допускается, что логическое зна­ чение любого сложного высказывания однозначно определяется значениями истинности образующих его простых высказываний. Следовательно, значение истинности любого сложного высказыва­ ния представляет определенную функцию истинности значений истинности образующих его простых высказываний.

Значение истинности сложного высказывания ЛВ представляет ФУНК­ цию истинности значений истинности составляющих его простых вы­ сказываний.

Функции истинности представляют разновидность функций в обычном понимании - как правил, связывающих переменные, на­ зываемые аргументами функции, с другими, называемыми ее зна­ чениями. Аргументами и значениями функций истинности слу;жат логические значения - истина и ложь. Например, логическое от­ рицание представляет одноаргументную функцию истинности в следующем смысле. Если высказывание «Сегодня среда» (аргумент функции отрицания) истинно (ложно), то ложно (истинно) выска­ зывание «Неверно, что сегодня среда» (значение функции отрица­ ния). Кроме одноаргументных функций в ЛВ встречаются двух-, трех-, ... , n-аргументные функции истинности. Логику высказыва­ ний часто определяют как теорию подобных функций истинности.

Синтаксис логики высказываний

Как и всякий язык, язык логики высказываний имеет определен­ ный алфавит и правила построения с его помощью последовательно­ стей знаков, называемых (правильно построенными) формулами.

Синтаксис ЛВ - алфавит и правила, определяющие:

(1)какие знаки входят в множество символов алфавита логики вы­ сказываний;

(2)какие последовательности знаков являются (правильно построен­ ными) формулами ЛВ.

Правильно построенная формула ЛВ - последовательность знаков, которая может быть интерпретирована в качестве истинного или ложного высказывания. Для краткости далее термин «формула» везде употребляется в смысле «правильно построенная формула».

Алфавит логики высказываний

Полный алфавит ЛВ, необходимый для построения формул ло­ гики высказываний, задается следующим определением (табл. 1).

Понятне nОАформулы

Некоторые части формулы сами являются формулами. В этом случае говорят о подформулах данной формулы. Например, под­ формуламиформулы «А & В) => (А v В» являются формулы (А & В) и (А v В), формулы А и В, а также вся данная формула, так как счи­ тается, что она является частью самой себя.

Подформула - формула ЛВ, входящая в состав другой формулы ЛВ.

Согласно определению формулы ЛВ, последовательность сим­ волов «А & (А => В» => В) является формулой, а последовательности символов (А v & В), (А) и (= В) нет.

В выражении «А & (А => В» => В) к числу формул принадлежат, во-первых, все ее атомарные подформулы - А и В, во-вторых, ВСС ее неатомарные подформулы - (А => В), (А & (А => В», включая и саму формулу «А & (А => В» => В), так как она также является под­ формулой самой себя. Число левых скобок соответствует числу правых скобок.

В выражении (А v & В) переменные А и В соединены подряд ло­ гическими союзами v и &, что нарушает п. 3 определения формулы ЛВ, согласно которому все указанные там логические союзы являют­ ся бинарными. В выражении (А) атомарная формула А взята в скоб­ ки, что нарушает п. 4.1 определения формулы ЛВ. Выражение (= В) нарушает сразу два пункта определения формулы ЛВ - 3 и 4.1.

Главный логический союз

в каждой неатомарной формуле имеется логический союз, ко­ торый считается главным. Если в формуле один логический союз, то он и является главным. Например, в формуле -,А единственным, и поэтому главным, логическим союзом является знак «-,». Соот­ ветственно формула А является подформулой формулы -,А. в фор­ муле (А ::::) (А v В)) главным логическим союзом является знак им­ пликации, так как именно он при построении этой формулы

вводится последним.

Главный логический союз неатомарной формулы ЛВ - союз, который

при ее построении вводится последним.

Область Аействия логического союза

Каждый логический союз имеет определенную область дейст­ вия, в качестве которой выступают все подчиняющиеся ему под­ формулы. Например, область действия знака отрицания в формуле -,А составляет подформула А, в формуле -,(А & В) - подформула (А & В). В формуле (А ::::) (А v В)) область действия знака нестрогой дизъюнкции образуют формулы А и В, область действия знака им­ пликации - формулы А и (А v В).

Очевидно, что область действия главного логического союза составляют все подформулы данной формулы ЛВ.

Область действия логического союза образуют все подформулы дан­ ной формулы ЛВ, которые он связывает.

Формализация высказываний

Типичная синтаксическая задача - формализация высказы­ ваний. Алгоритм формализации следующий. В анализируемом высказывании сначала находят все простые высказывания. Каж­ дое из них обозначается новым символом, если оно не эквива­ лентно ни одному из уже обозначенных высказываний. Затем оп-

ределяют логические союзы, связывающие простые высказыва­

ния. Наконец, конструируется формула, каждая атомарная форму­ ла которой обозначает некоторое простое высказывание, а сама она выражает логическую структуру формализуемого высказыва­ ния. Чтобы сделать процесс формализации более понятным, рас­

смотрим несколько примеров.

Пример

«Поскольку всех счастливее в этом мире тот, кто довольствует­ ся малым, то власть имущих и честолюбцев надо считать самыми

несчастными людьми, потому что для счастья им нужно несметное

множество благ» СФрансуа де Ларошфуко).

Простые высказывания: А = «Всех счастливее в этом мире тот, кто умеет довольствоваться малым», В = «Власть имущих надо считать самыми несчастными людьми», С = «Честолюбцев надо считать самыми несчастными людьми», D = «Для счастья им нужно несметное множество благ».

Логические союзы: ::::>, &. Формула: СА ::::> CD::::> СВ & С))).

Семантика логики высказываний

Любая формула остается не более чем последовательностью абстрактных знаков, если нельзя установить, каков ее логический смысл. В логике высказываний формула считается осмысленной, если ей можно приписать в качестве логического значения либо «истину», либо «ложь». Процедуру задания значений истинности атомарных формул и вычисления значения истинности всей форму­ лы принято называть интерпретацией.

Интерпретацией формулы ЛВ называется такое приписывание значе­ ний истинности всем ее атомарным подформулам, при котором каж­ дая из них получает значение «истина» или значение «ложь)) (но не оба вместе).

Анализ понятий «истина», «ложь», «значение», «смысл», обос­ нование правил интерпретации формул - основные задачи семан­ тики как общего раздела логики. В этой работе анализ семантики

Следующие логические союзы определяются для двух произ­ вольных формул - Ф и ф, так как все они представляют двухаргу­ ментные функции истинности.

Определение КОНЪЮНКЦИИ

Конъюнкцuей формул Ф и <р называется формула (ф & <р), которая истинна, если истинны как ф, так и <р, и ложна во всех остальных

случаях.

Таблица истинности конъюнкции двух произвольных формул Ф И qJ имеет следующий вид:

Каждая формула может быть либо истинной, либо ложной. Следовательно, для двух формул мы имеем четыре возможности: Ф и qJ обе истинны; Ф истинна, но qJ ложна; Ф ложна, но qJ истинна; Ф и qJ обе ложны. В общем, если имеется n формул, то существует 2" возможностей их истинности. Читая третий столбец, мы видим, что формула (ф & Ф) получает значение «истина» только в случае со­ вместной истинности формул Ф и ф. Во всех остальных случаях она

получает значение «ложь».

Формулы, соединяемые знаком конъюнкции, принято называть

конъюнктами.

В формализованном языке перестановка местами конъюнктов не ведет к изменению логического значения формулы. Иными словами, формулы (ф & Ф) и (Ф & ф) эквивалентны (имеют одно и то же логическое значение). В естественном языке конъюнктивная связь часто выражает упорядоченную последовательность собы-