Svetlov_Filosofia_matematiki

импликации). Значит, истина определяет отношение эквивалентно­ сти, именно разбивает непустой универсум и на два взаимно исклю­

чающих и совместно исчерпывающих класса, называемых класса­

ми эквивалентности. Каждый такой класс характеризуется тем, что любые два элемента, принадлежащие одному и тому же классу, со­

вместимы друг с другом, взаимно поддерживают друг друга, но

любые два элемента, принадлежащие разным классам, таким свой­ ством не обладают.

Ложь не образует эквивалентного класса. Хотя она и симмет­ рична, однако не рефлексивна и не транзитивна. Характерным свойством лжи является то, что рассматриваемое высказывание и референт его истины принадлежат к разным и, значит, несовмести­ мым эквивалентным классам. Значит, если высказывание С ложно, то это означает, что оно оказывает поддержку отрицанию референ­ та истины В, а В - логическому отрицанию высказывания С. Мы будем говорить, что высказывание С ЛВ ложно, что будет обозна­ чаться как F(С), если и только если С и референт его истины В яв­

ляются элементамиразных эквивалентных классов:

Как и ложь, амбивалентностьтакже не образует эквивалентного класса. Orношение амбивалентности симметрично и транзитивно, но не рефлексивно. Его характерным свойством является одновре­ менная принадлежность высказывания С каждому из эквивалент­ ных классов. Мы будем говорить, что высказывание С ЛВ амбива­ лентно, что будет обозначаться как А(С), если и только если С и референт его истины В одновременно nринадле:JlCатразным Jкви­

валентным классам:

Допустим теперь, что высказывание С само выступает в роли референта своей собственной истинности, т. е. С == В. Тогда (1) и (2) трансформируются в следующие самореференциальные утвержде­

ния соответственно:

Согласно (4) каждое из противоречащих друг другу высказы­ ваний С и -.С является своим собственным следствием в своем эквивалентном классе. Значит, каждое из них совместимо только с самим собой и только себе оказывает поддержку. Подобную са.мо­ референцию можно назвать позитивной, сохраняющей истин­ ность высказывания С. Ее основным свойством является под­ держка высказыванием С самого себя независимо от того, истинно

оно или ложно.

Согласно (5) как С, так и -.С принадлежат обоим эквивалент­

ным классам сразу и тем самым каждое из них истинно и ложно

одновременно и, значит, амбивалентно. Следовательно, каждое из них совместимо только со своим отрицанием. Такую са.мореферен­ цию можно назвать противоречивой, опровергающей как истин­ ность, так и ложность высказывания С. Ее главным свойством является опроверщение высказыванием С самого себя независимо

от того, истинно оно или ложно.

Высказывания, эквивалентные (5), получили название пара­ докса лжеца. Подобные высказывания нарушают требование не­ противоречивости ЛВ и являются тем самым парадоксальными. Среди множества предложенных решений выделяются следую­

щие два.

Согласно Б. Расселу и А. TapcKoMyl74, парадокс лжеца должен

исключаться синтаксически - посредством запрета на применение

предиката «ложь» к высказыванию (языку) того же семантического уровня, что и сам предикат. Например, Тарский, чтобы парадокс лжеца не возник в языке Ln уровня n > О, предложил применять предикат Fnтолько к языку уровня Ln-}O Всякое применение преди­ ката Fn к языку Ln заранее исключается как неправильно построен­ ная формула. Однако подобная элиминация вводит бессмысленную бесконечную иерархию предложений (языков) и, кроме того, ис­ ключает вместе с парадоксом лжеца и свойство самореференции высказываний.

174 Russell В. Mathematical Logic as based оп the theory of types // American joumal ofmathematics. 1908. Yol. зо. Р. 222-262; Tarski А. Ор. cit. Р. 152-278.

По мнению А. Гупты и Х. Херцбергера, высказывание лжеца может быть и истинным и ложным, но не одновременно, а только периодически175. Позже было показано, что такое допущение рав­ носильно оценке высказывания лжеца как семантически нейтраль­ ного утвержденияI76. Но существование не истинных и не ложных высказываний противоречит допущению бивалентности ЛВ.

Таким образом, ни одно из рассмотренных предложений не решает парадокс лжеца принципиально и конструктивно, без на­ рушения основных требований ЛВ. Означает ли зто, что пара­ докс лжеца вообще не разрешим в терминах основных допуще­ ний ЛВ?

Во-первых, следует отвергнуть семантическую нейтральность высказывания лжеца. Определение амбивалентности (5) представ­ ляет частный случай определения ложности (2). Значит, верно:

«(Т::::> F) & (F ::::> Т» ::::> F).

Откуда следует, что множество амбивалентных высказыва­ ний - это прежде всего подмножество логически ложных и тем самым просто ложных высказываний. Следовательно, высказыва­ ние лжеца - npuмep ложного, но никак не нейтрального высказы­ вания. «Я лгу» означает только то, что я отрицаю, что сам утвер­ ждаю (то, что я лгу), и ничего более. Значит, утверждая «Ялгу», я утверждаю обычное противоречие, т. е. логическую ложь и тем самым просто ложь. Если сказать, что высказывание лжеца истин­ но, т. е. если утверждать Т(А), то это означает подтвердить, что то, что оно утверждает, представляет противоречие: Т(А) = А. Если сказать, что высказывание лжеца ложно, т. е. утверждать F(A), то

зто означает опровергнуть, что то, что оно утверждает противоре­

чие, т. е. подтвердить, что оно выражает логическую истину:

F(A) = Т v F = Т. Следовательно, все высказывания ЛВ, эквива­

лентные высказыванию лжеца, являются логически ложными ут­ верждениями, образующими область пересечения истины и лжи, и их существование не противоречит допущению бивалентности ЛВ.

175 Gupta А. Truth and Paradox // Jouma1 of Phi1osophical Logic. 1982. Уо1. 11. Р. 1-60; Herzberger Н. Notes оп Naive Semantics // Jouma1 of Phi1osophical Logic.

1982. Уо1. 11. Р.61-102.

176 Priest G Unstable Solutions to the Liar Paradox // Self Reference: Reflections оп Reflexivity. Dordrecht, 1987. Р. 145-175.