Svetlov_Filosofia_matematiki

Конструктивная математика Маркова и Бишопа

Сейчас, когда гиraнrская работа, проделанная и са­ мим Кантором, и рядом других работавших вслед за ним выдающихся МlП'eматических мыслителей, таких как Л. Э. Брауэр, Д. Гильберт и А. А. Марков, отошла в прошлое и результаты ее стали всеобщим достоянием, нам все более естественной начинает казаться та - те­ перь уже действительно простая - мысль, что подоб­ но всякому другому сложно устроенному «творению ума и рук человеческих», математика - для целесооб­ разного, правильного и естественного ее функциони­ рования - должна быть разумно, по детально проду­

маниому плану ((возведена» на достаточно прочном

((фундаменте» с использованием надлежаще подобран­

ного ((стронтельного материала».

н. Нагориый 112

Классические математики считают базисным для построения всей математики понятие множества. Интуиционисты - понятие свободно становящейся последовательности. В 40-е ГГ. хх в. воз­ никло новое направление в обосновании математики, которое при­ знало понятие свободно становящейся последовательности туман­ ным, основанным на субъективистски истолковываемом понятии интуиции, и заменило его понятием алгорифма. Это направление конструктивной математики возглавил отечественный ученый - А. А. Марков (1903-1979). На становление конструктивизма Марко­ ва определенное влияние оказала работа А. Н. Колмогорова, посвя­ щенная переинтерпретации интуиционистской логики как исчисле­ ния задач (проблем)113. Колмогоров показал, что каждая задача, выводимая из интуиционистского исчисления высказываний, имеет решение. Значит, интуиционистское исчисление задач можно было интерпретировать как исчислениеразрешимых проблем.

112 Нагорный Н. Вместо предисловия ко второму изданию // Марков А. А.,

Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. М., 1996.

113 Колмогоров А. Н. О принципе tertium поп datur // Математический сбор­

IJИк. 1925. Т. 32. N~ 4. С. 646--ti67.

Конструктивная математика Маркова представляет «ветвь ин­ туиционистской математики, для которой характерно исследование конструктивных объектов алгорифмическими методами»I 14. Поня­ тия конструктивного объекта и алгорифма являются в этом опреде­

лении решающими.

Конструктивный объект - результат осуществления конструк­ тивного процесса. Простым примером конструктивного процесса

является «построение ряда вертикальных черточек

111111

путем писания одной такой черточки, приписывания к ней спра­ ва ее копии - другой черточки, приписывания к полученным черточкам еще одной черточки, затем еще одной черточки, затем еще одной и еще одноЙ»llS. Результатом конструктивного про­ цесса является конструктивный объект, изображенный пятью

строками выше.

Под алфавитом в конструктивной математике Маркова понима­ ется любой конечный набор четко отличимых друг от друга графи­ ческих символов (букв), а под словом в данном алфавите - произ­ вольная конечная цепочка букв этого алфавита, включая пустое слово (не содержащее ни одного знака и эквивалентное операции стирания знака). Более точно, конструктивными математическими объектами называются слова в алфавите А, удовлетворяющие сле­ дующим порождающим правиламI 16:

(а) если а - буква алфавита А, то а представляет собой слово в алфавите А;

(б) если Р - слово в алфавите А и а - буква алфавита А, то ре­ зультат приписывания буквы а справа к слову Р является сло­ вом в алфавите А;

(в) пустое слово Л является словом в алфавите А.

Каждое слово - результат некоторого построения, к которому может быть применено новое построение, а к полученному ре-

114 Драгалин А. Г. Конструктивная модель интуиционистскоro анализа // Фи­

лосо~ия и логика. М., 1974. С. 59.

15 Марков А. А., Нагорный Н. М. Указ. соч. С. 1. 116 Там же. С. 5.

зультату ~ следующее построение и т. д. Поэтому конструктив­ ный математический объект - это не только актуально сущест­ вующие слова алфавита, но и все потенциальные результаты их преобразораниЙ.

Понятие алгорифма (такой транскрипцией слова «алгоритм» Марков отделял свою теорию от других теорий алгоритмов) пред­ ставляет дальнейшее уточнение понятия эффективного метода, вычислимой (рекурсивной) функции. Алгорифм создается для решения какого-нибудь класса однотипных задач (проблем). Абст­ ракция потенциальной осуществимости - идейная основа теории аЛГОРИфМQВ. «Осуществляя конструктивные процессы, мы часто наталкиваемся на препятствия, связанные с нехваткой времени, места и материала... Тем не менеемы в дальнейшемне будем счи­ таться с этими nреnятствuямив нашихрассужденияхо конст­ руктивных объектах. Мы будем рассуждать так, как если бы этих nреnятствий не существовало, т. е. как если бы в каждый момент в нашемраспоряжениибыли и пространство,и время, и материал, потребные для осуществления очередного шага рас­ сматриваемогоконструктивногоnроцесса. Поступая так, мы бу­ дем отвлеJ(аться от ограниченности наших возможностей в про­ странстве, времени и материале. Это отвлечениепринято называть абстракцией потенциальной осуществимости»117. Теория алго­ рифмов Маркова - модель математики, реализующей данную абстракцию.

Все конструктивисты исходят из того, что вычислительные процессы в математике осуществляются на основе определенной символики - слов некоторого искусственного алфавита А - и представляют преобразования одних буквенных комплексов в

другие в соответствии с точными предписаниями, называемыми

алгорифмами. <<Алгорифм есть общепонятное предписание, од­

нозначно определяющее ход некоторых конструктивных процес­

COB»118.

Алгорифмыдолжны соответствоватьследующимобщим кри­ териям. Во-первых, они обязаны быть определенными,т. е. точ­ ными и понятными для всех людей или автоматов, которые их

117 Марков А. А.• Нагорный Н. М. Указ. соч. С. 10-11. 118 Там же. С. 109.

ренностью сказать: процесс завершен (нужный объект построен) или процесс не завершен (нужный объект еще не построен). Для тех случаев, когда процесс построения не может быть завершен в

конечное время, конструктивисты принимают следующее допуще­

ние (nринциn Маркова)119:

Если предложение о неограниченной продолжаемости процесса при­ менения алгорифма I к слову Р опровергнуто приведением к нелепо­ сти, то I применим к Р.

Иными словами, если процесс применения алгорифма к неко­ торому слову не является безгранично применимым, то алroрифм применим к этому слову. Откуда следует, что данный объект явля­ ется конструктивным. Принцип Маркова радикально отличает конструктивную логику от интуиционистской, так как вводит кос­ венный способ доказательства утверждения существования. Это не соответствует канонам интуиционистской логики, в которой позволяется доказывать косвенным способом только отрицания суждений существования. Оправдывая данный принцип, Марков и Нагорный пишут: «Мы не видим разумных оснований отвер­ гать этот способ рассуждения, так как никакого выхода за рамки конструктивного направления при этом не происходит: абстрак­ ция актуальной бесконечности не применяется, существование

продолжает пониматься как потенциальная осуществимость по­

строения. Если мы утверждаем на основании доказанной невоз­ можности неограниченной продолжаемости детерминированного

процесса, что этот процесс закончится, то при этом дается совер­

шенно определенный способ построения: продолжать процесс до его завершения. То обстоятельство, что при этом число шагов процесса может не быть 'заранее' ограниченным, ничего здесь по существу не меняет. К тому же требование, чтобы это число было заранее ограниченным, едва ли может быть точно и объективно сформулировано»120.

Марков формулирует принцип нормализации, связывающий теорию нормальных алroрифмов с известными результатами Гёде-

119 Марков А. А., Нагорный Н. М. Указ. соч. С. 420-421. ]20 Там же. С. 42].

ля12l , Клини 122 , Постаl2J, Тьюринга l24 и Чёрча125 • Алгорифм, приме­ няемый к словам и называемый вербальным, обладает большей степенью общности, чем нормальный алгорифм. Встает вопрос: всякий ли вербальный алгоритм нормализуем, т. е. выразим в виде нормального алгорифма? Утвердительный ответ на этот вопрос да­ ет принцип нормализации l26 :

Всякий вербальный алгорифм в алфавите А вполне эквивалентен от­ носительно А некоторому нормальному алгорифму над А (всякий вер­ бальный алгорифм нормализуем).

Марков и Нагорный отмечают, что принцип нормализации «представляет собой вариант тезиса Чёрча, относящийся к нормаль­ ным ашорифмам»l27. Тезис Чёрча относится к так называемым ариф­ метическим функциям, для вычисления значений КОТОрЫХ имеются какие-либо ашоритмы и которые принято называть вычислимыми. Буквально он гласит: «...Для каждой функцииположительныхчисел, которая эффективно вычислима в только что определенном смысле (т. е. являетсярекурсивнойфункцией. - В. с.), существует алгоритм вычисления ее значений. Обратно, при этом же определении эффек­ тивной вычислимости верно, что каждая функция, ашоритм вычис­ ления значений которой известен, эффективно вычислима»128.

Значение принципа нормализации состоит в следующем. После того как в 30-е гг. хх в. было разработано множество специальных

видов алгоритмов, «для каждого из этих видов возникла уверен-

121Gбdе/ К. Оп Fопnаllу Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems 11 Collected Works. Уо1. 1. Oxford, 1986. Р. 145-195 (текст статьи

приводится параллельно на немецком и английском языках).

122К/ееnе S. С. Genera1 Recursive Functions оп Natura1 Numbers 11 ТЬе Undecid-

аЫе. Basic Papers оп Undecidable Propositions, Unso1vable Problems and СоmришЫе Functions. N. У., 1965. Р. 237-252.

123 Post Е. L. Finite Combinatory Processes 11 ТЬе Undecidable. N. У., 1965.

Р.289-291.

124 Turing А. Оп СоmришЫе Numbers, with an Application to the Entscheidungs- problemllТheUndecidable. N. У., 1965. Р. 116-151.

125 Church А. Ал Unso1vable Problem of Elementary Number Theory 11 ТЬе Unde-

cidable. N. У., 1965. Р. 89-107.

126 Марков А. А., Нагорный Н. М. Указ. соч. С. 115. 127 Там же. С. 117.

128 Church А. Ор. cit. Р. 100.

ность В ТОМ, что он с точностью до эквивалентности исчерпывает

все алгорифмы. Иначе говоря, математики прониклись убеждением в том, что всякий алгорифм эквивалентен некоторому алгорифму данного вида. Эта идея стандартизации алгорифмов лежит в основе их современной теории. Вскоре после того, как были выработаны первые стандартные понятия алгорифма, удалось установить, что

все предложенные стандартизации в определенном точном смысле

слова равносильны друг другу, и когда в дальнейшем были предло­

жены некоторые новые стандартизации, они также оказались рав­

носильными ранее определенным. Поэтому при построении общей теории алгорифмов в конечном счете оказывается безразличным,

какой именно их стандартизацией пользоваться. Мы будем исполь­ зовать наиболее привычные нам 'нормальные алгорифмы'»129.

Слова в заданном алфавите определяются как возможные ре­ зультаты осуществления процессов построения. Поэтому суждение классической математики вида «Существует слово, удовлетворяю­ щее условию t/h> признается конструктивистом неточным и заменя­ ется следующим конструктивным суждением: «Потенциально осу­ ществимо построение слова, удовлетворяющего условию t/h> или «Слово, удовлетворяющее условию ф, является конструктивным математическим объектом».

Различие между классическим и конструктивистским сужде­

ниями существования состоит в ТОМ, что из доказательства «клас­

сического» суждения существования не всегда следует истинность

«конструктивного»: первое может быть истинным, но второе тем не

менее ложным.

Абстракция потенциальной осуществимости как главная идеа­ лизация конструктивной математики допускает не только практиче­

ски выполнимое в данных материальных условиях построение, но

ипотенциально осуществимое построение, т. е. осуществимое в

предположении, что после каждого шага процесса построения тре­

буемого слова всегда возможно выполнить следующий шаг.

В целом к конструктивному направлению в математике отно­ сятся все исследования, удовлетворяющие следующим условиям l3О :

129 Марков А. А., Нагорный Н. М. Указ. соч. с. 116-117.

130 Шанин Н. А. О конструктивном понимании математических суждений // Проблемы конструктивного направления в математике. М.; Л., 1958. с. 228.

(1)в качестве объектов изучения (объектов суждений) фигурируют только конструктивные объекты, представляющие собой слова некоторого алфавита;

(2)при рассмотрении конструктивных объектов допускается абст­ ракция потенциальной осуществимости и исключается приме­ нение абстракции актуальной бесконечности;

(3)используется особая конструктивная логика и исключаются все

доказательства, основанные на законе исключенного третьего.

Пусть приписывание вертикальной «черточки» справа от данного натурального числа обозначает новое натуральное число, отличаю­ щееся от него на единицу. Тогда алфавита А = {О, I} достаточно для

порождения ряда натуральных чисел согласно следующим правилам:

•О есть натуральное число.

•Если n - натуральное число, слово n Iтакже есть натуральное

число.

Согласно указанному алгорифму, для получения нового нату­

рального числа достаточно приписать справа к данному вертикаль­

ную черточку. Таким образом, натуральными числами являются слова О (ноль), О I(единица), О 11 (два), О 111 (три), ....

для определения рациональныхчисел алфавит А = {О, I} дос­ таточно расширить, включив в него дополнительные слова (косая черта отделяет числитель от знаменателя, знак «-» обозначает«ми­

нус»): А = {О, 1, /, -}:

01/0 111 (одна треть); - 01/ О 111 (минус одна треть).

Для определения действительных чисел строится алгоритмиче­ ская интерпретация критерия сходимости Коши, с помощью кото­ рого Кантор строил теоретико-множественное определение дейст­ вительных чисел. Согласно Кантору, всякая последовательность рациональных чисел, выполняющая критерий сходимости Коши, определяет некоторое действительное число.

Последовательность 81,82, 8з, ... , или {8n}, где каждый член есть ра­ циональное число, Н8зывается последовательностьюКоши, если для каждого натуральногочисла k существует натуральное число n такое, что для всякого натурального числа р I8n+р - 8n 1< 1/k.

Иными словами, для данного значения дроби l/k, как бы она ни была мала, всегда найдется n-й член последовательности, за кото­ рым любые два члена последовательности отличаются друг от дру­ га меньше, чем на l/k. Действительное число в теоретико-множест­

венном смысле определяется как множество всех эквивалентных последовательностей Коши.

Нормальный алгорифм 1: в расширенном алфавите называется конструктивной последовательностью рациональных чисел, если он применим ко всякому натуральному числу и перерабатывает его в некоторое рациональное число. Число 1:(М, где N - произ­ вольное натуральное число, называется N-M членом последова­ тельности 1:.

Пусть 1: - конструктивная последовательность рациональных чисел. Конструктивная последовательность натуральных чисел 8 называется регулятором сходимости nоследователыюсти 1:, ес­ ли для любых натуральных чисел L, М и N из М, N ~ 8(L) следу­

ет, что

Конструктивноедействительноечисло есть всякое слово вида 1:8, где 1: - конструктивная последовательность рациональных чисел, 8 - ее регулятор сходимостиl31 •

Таким образом, для построения действительного числа требу­

следующем: существует перечислимое, но не разрешимое множе­

ство слов. Таким множеством, например, является множество на­ туральных чисел. В алгоритмических терминах данный результат звучит так: «Может быть построен нормальный алгорифм 1: в ал­ фавите А, удовлетворяющий следующему условию: невозможен нормальный алгорифм над А, применимый ко всякому слову в А и перерабатывающий в пустое слово те и только те слова в А, к ко­ ТОрым применим»l32. Приведенная теорема утверждает, что для

]]]

132 Марков А. А., Нагорный Н. М. Указ. соч. С. 404.

Там Же. С. 277-278.