Svetlov_Filosofia_matematiki

192 Приложение 1

щих данное отношение. Расширением предиката Рху = «х меньше у

каждое левое из них меньше правого ровно на единицу. Чтобы обра­ зовать множество упорядоченных пар, необходимо построить произ­

ведение U (\ U = и2 • Если расширение предиката, обозначающего

бинарное отношение, не пусто, он получает значение «истина», в противном случае - значение «ложь». В данном случае процедура

расширения предиката, обозначающего бинарное отношение, сво­

дится к отображению элементов и2, образующих его расширение, во

множество {Т, F}.

Если n > 2, предикат Р" обозначает n-местное отношение с чис­ лом термов, большим двух. В этом случае расширение предиката Р" образует (возможно, пустое) множество всех упорядоченных n-ок элементов универсума, выполняющих обозначаемое им отношение. И в этом случае процедура расширения предиката сводится к ото­ бражению последовательностей упорядоченных элементов из мно­ жества, образованного n-й степенью И: U (\ U (\ ... (\ И= U', n> 2, и образующих его расширение, во множество {Т, F}. Например, в универсуме U = {1, 2, 3, 4, 5} расширением предиката Pxyz = «у боль­ ше х и меньше z на единицу» будет множество упорядоченных троек

чисел {<1, 2, 3>, <2, 3, 4>, <3,4, 5>}, которое является подмножест­ вом множества всех троек: U (\ U (\ U = и.

в общем случае, построить расширение предиката f/',n ~ О, означает установить его соответствие с отображением произведения tf' во множество{Т, F}.

Результат расширения произвольной функции/, n ~ О, зависит от того, обозначает ли она предметную констан1)' (n = О) или n-местную операцию (n ~ 1) в заданном универсуме интерпретации.

Если n = О, функция I обозначает предметную константу. Это возвращает нас к проблеме расширения данной константы.

Если n = 1, функция/ обозначает одноместную операцию. В уни­ версуме U = «натуральные числа» функцииj может соответствовать, например, операция возведения в квадрат:! =~. Расширением такой

функции будет следующая бесконечная последовательность резуль­ татов возведения в квадрат: j(l) = l,j(2) = 4,j(з) = 9, .... для вы-

Значит, она истинна в данной интерпретации и тем самым выпол­ нима, а все остальные формулы в этой интерпретации ложны.

Отношение лоrическоrо слеАоваНИR

в лоrике преАикатов

Формула ЛП может быть истинна во многих интерпретациях, но поскольку число универсумов интерпретации потенциально бес­ конечно, то никто не может гарантировать, что не найдется хотя бы один, в котором данная формула окажется ложной. Учитывая это обстоятельство, в ЛП отношение логического следования принято определять следующим образом. Пусть а и fЗ, как и прежде, обо­ значают соответственно множества формул, образующих посылки и заключение доказательства в ЛП.

Если а и р не содержат свободных вхождений предметных перемен­ ных, тогда заключение р логически следует из посылок а, если и только если невозможна (противоречива) интерпретация, в которой а истинно, а заключение рложно.

Отношение логического следования в ЛП сохраняет все свой­ ства отношения логического следования в ЛВ - рефлексивность, несимметричность и транзитивность, но обладает определенной спецификой, которая связана с введением кванторов.

Кванторы общности и существования не являются независи­ мыми. Любой из них может быть определен через противополож­ ный квантор согласно следующим теоремам:

п. r-,(х)фt == (Ех)-,фt; Т2. r(х)фt == -,(Ех)-,фt.

Отрицание любого квантора равносильно замене его на противо­ ПОЛОжный при одновременном отрицании всей области его действия.

Правила ПОАстановки

Если некоторая формула содержит вхождения свободных пере­ менных, то на их место могут подставляться термы. Пусть r/i...xlt)

обозначает операцию подстановки терма t на место свободной пс­ ременной х в формуле фх. Результатом подстановки становится формула фt по правилу: f/i...x/t) == фt.

Чтобы подстановка оказалась правильной, необходимо выпол­

нить следующие условия:

1.Если терм t - предметная константа, то подстановка проводится без ограничений.

2.Если терм t - предметная переменная, то ни одно вхождение t не должно оказаться связанным в результате подстановки t на место переменной х в формуле фх.

Подстановка (Ex)Pxy(y/z) == (Ex)Pxz является правильной, так как вхождение переменной z не является связанным в формуле (Ех)Рху. Подстановка (Ех)Рху(у/х) == (Ех)Рхх неправильная, потому что терм х, подставленный вместо у, оказался связанным кванто­ ром (х). Неправильные подстановки приводят к противоречию. Пусть Рху обозначает отношение «х больше у». Пусть и = «нату­ ральные числа». Тогда формула (Ех)Рхх, полученная в результате неправильной подстановки, означает, что «существует такое на­ туральное число, которое больше самого себя», что очевидно

ложно.

Основные законы лоrнкн преАнкатов

Как и в ЛВ, в логике предикатов существуют логически истин­ ные формулы, называемые тавтологиями или законами ЛП. Ниже приводятся и комментируются наиболее важные.

Закон удаления квантора общности

Общее правило, истинное для каждого q, должно быть истинно

идля отдельного случая а, являющегося элементом расширения

формулы фq. Если истинно высказывание «Все вещи универсума круглые», то должно быть истинно высказывание «Вещь по имени а, принадлежащая универсуму, является круглой»:

Закон введения квантора существования

То, что истинно для отдельного случая а, являющегося элемен­ том расширения формулы ф!;, должно быть истинно в качестве про­ извольного примера подстановки предметной переменной !; форму­ лы ф!;. Из истинности высказывания «Вещь а, принадлежащая универсуму, является круглой» следует истинность высказывания «Существует такая !;, что истинно ,,!;- круглая"»:

Закон подчинения кванторов

Из истинности универсально квантифицированного высказы­ вания следует истинность экзистенциально квантифицированного высказывания; из ложности экзистенциально квантифицированного высказывания следует ложность универсально квантифицирован­

ного высказывания:

Закон противоречия

Противоречащие друг другу высказывания не могут быть вме­

сте ни истинны, ни ложны:

Закон непустоты универсума логического квадрата

В универсуме логического квадрата должна существовать хотя бы одна вещь, выполняющая формулу ф!; или ее отрицание -,ф!;

(или и то и другое):

г -,[-,(Е(уф!; & -,(Е(у-,фr!;].

Законы вэаимоопределимости кванторов

Каждый квантор может быть определен в терминах противоrю­

ложного ему квантора:

г «(уф!;== -,(Е(у-,фr!;; НЕ(уф!;== -,((у-,ф!;.

Законы Аистрибутивности кванторов

относительно знака кон'Ьюнкции

Квантор общности дистрибутивен относительно знака конъ­ юнкции без ограничений:

Квантор существования дистрибутивен относительно знака

конъюнкции с ограничением:

Законы Аистрибутивности кванторов

относительно знака АИ3'ЬЮНКЦИИ

Квантор общности дистрибутивен относительно знака дизъ­

юнкции с ограничением:

Квантор существования дистрибутивен относительно знака дизъюнкции без ограничений:

Законы Аистрибутивности кванторов

относительно знака импликации

Из высказывания «Для каждого числа, если оно - четное, то оно - целое» выводимо высказывание «Если каждое число чет­ ное, то каждое число целое». Но обратная выводимость в общем

неверна:

Из высказывания «Если существует четное число, то существу­ ет целое число» выводимо высказывание «Существует такое число, что если оно четное, то оно целое». Но обратная выводимость в общем неверна:

Из высказывания «Существует такое число, что если оно чет­ ное, то оно целое» выводимо высказывание «Если каждое число четное, то существует целое число», Но обратная выводимость в общем неверна:

Из высказывания «Если существует четное число, то все числа целые» выводимо высказывание «Для каждого числа, если оно - четное, то оно - целое». Но обратная выводимость в общем не­

верна:

Из сказанного следует, что кванторы общности и существова­ ния дистрибутивны относительно знака импликации лишь с огра­

ничением.

Законы переетановки кванторов

Кванторы общности и существования могут переставляться в любом порядке, если они предшествуют формуле однородно, т. е. либо только кванторы общности, либо только кванторы су­ ществования. В противном случае имеет место ограничение: не­ зависимый квантор существования может свободно вводиться в

область действия квантора общности, но не может из нее сво­ бодно выводиться.

~(;)(~фq'= (~(;)ф'ql7З;

~(Е;)(Е~фq'= (Е~(Е;)ф'q;

~(Е;)(~фq'~ (~(Е;)ф,q.

173 Метanеременная , вместо которой MOryr подставлятьсяразличные пред­

метные переменныех, у, Z, .•• , читается как <<дзета».

Приложение 2

ПараАоке лжеца

Популярный вариант парадокса таков. Допустим, некто гово­ рит, что он лжет. Что он утверждает на самом деле - истину или ложь? Если допустить, что он говорит истину, тогда то, что он ут­ верждает, истинно, и следовательно, он лжет. Если же он лжет, то, что он утверждает, ложно, и тем самым он утверждает истину. Па­

радокс видят в том, что невозможно однозначно определить значе­

ние истинности высказывания <<.Я лгу».

Пусть и обозначает непустое подмножество множества всех высказываний ЛВ. Тогда некоторые высказывания и истинны (Т), остальные ложны (F). Среди ложных высказываний некоторые ам­ бивалентны, т. е. истинны и ложны одновременно (А), остальные нет. Существование амбивалентных высказываний говорит о том, что область пересечения истинных и ложных высказываний не пус­ та. Справедливость этого утверждения следует из того наблюдения, что ложные высказывания могут иметь истинные следствия. Сле­ довательно, справедливо и = Т v F v А.

Пусть С обозначает высказывание ЛВ, не являющееся логиче­ ской истиной и ложью. Пусть высказывание В является референтом (носителем) истины высказывания С. Мы будем говорить, что вы­ сказывание С истинно, что будет обозначаться как Т (С), если и только если С и референт его истины В оба являются элементами одного и того же (эквивалентного) класса:

Из (1) следует, что истина рефлексивна (выполняется Т(С)::::) Т(С», симметрична (истинна как прямая импликации Т(С)::::) Т(С), так и ей обратная Т(С) с Т(С» и транзитивна (всегда передается отношением