Svetlov_Filosofia_matematiki
.pdf
Формализм |
141 |
|
с арифметикой поможет понять смысл сказанного. Вместо того что бы доказывать бесконечное число частных теорем вида «1 + 1 = 2», «2 + 2 = 4», «3 + 3 = 6», ... , достаточно знающему алгебру доказать общую формулу, т. е. ввести идеальный элемент, «а + а = 2а», кото рая обосновывает истинность всех арифметических суждений ука
занного вида.
Расширение финитной математики за счет добавления идеаль
ных элементов означает, выражаясь современным языком, ее пол
ную формализацию, построение логического исчисления, позво ляющего вместе с математическими аксиомами чисто формально
доказывать математические теоремы.
Создание теории идеальных элементов имело одну единствен ную цель. С ее помощью Гильберт намеревался ввести контроль над актуальной бесконечностью и тем самым обосновать примене ние логических законов классической логики, распространить фи нитный подход на бесконечную область объектов. «Если мы этот взгляд обобщим, то математика сведется к совокупности формул, во-первых, таких, которым соответствуют содержательные сообще ния конечных высказываний, т. е., по существу, числовых равенств или неравенств, и во-вторых, других формул, которые сами по себе никакого значения не имеют и которые являются идеальными об разами нашей теории»1S2.
Согласно Гиль6ерту, идеальные элементы не имеют самостоя тельного значения, и их значение определяется правилами употребле ния. С ними нельзя оперировагь как с содержательными высказыва ниями. Они - элементы формального анализа, их принципиальное назначение - быть средством формализации теории.
Идеальные элементы, которые вводятся выражениями, вклю чающими кванторы общности и существования, допускают финит ную, фактически конструктивную интерпретацию. Пусть дано об
щее утверждение, что всякое число, делимое на шесть, делимо
также и на три. Оно означает, что, начиная с первого объекта, кото рый делится на шесть, и подставляя поочередно остальные с этим же свойством, мы будем получать каждый раз истинные высказы вания, что каждое из них делится также и на три. Как бы далеко мы
ни продвинулись В этом процессе контроля, все получаемые выска-
ш ГWlьберmд. Указ. соч. С. 357-358.
142 |
Глава 5 |
|
|
зывания будут финитно проверяемыми. Но поскольку при этом ос тается бесконечная последовательность еще непроверенных чисел,
делящихся на шесть, мы имеем дело с потенциально истинным
рассуждением. Экзистенциальное утверждение вида (Ех)Ах интер претируется аналогично. Оно представляет частичное, неполное и тем самым потенциально истинное суждение, симптом более полно го и определенного высказывания, которое либо обозначает факт не посредственного предъявления объекта, обладающего свойством Ах, либо указывает процедуру конструирования такого объекта.
К идеальным элементам, как логическим инструментам фор мализации, предъявляется чрезвычайно важное требование: они не должны противоречить содержательной части математической тео рии, к которой они присоединяются. «Существует одно условие, правда, только одно, но зато абсолютно необходимое, с которым
связано применение метода идеальных элементов; этим условием
является доказательство непротиворечивости; расширение, осу ществляемое прибавлением идеалов, допустимо только при усло вии, что из-за этого в старой, узкой области никаких противоречий
не возникает, т. е. при условии, что соотношения, которые получат
ся для старых образов после исключения идеальных, всегда в ста рой области имели место»1S3.
Сказанного достаточно, чтобы понять характер финитного построения не только арифметики, но и других разделов матема тики. Финитная математика в целом, согласно Гильберту, - это формализованная математика, т. е. машина, порождающая свои объекты исключительно формальными методами. Главное пре имущество формализации состоит в том, что она позволяет свести доказательство непротиворечивости арифметики (как и любой другой математической теории) к доказательству непротиворечи вости ее аксиом, т. е. к обоснованию, что вывод из данных акси ом обладает свойством непротиворечивости. Укажем основную
идею.
Для формализации математической системы необходимо:
1. Задать алфавит исходных знаков.
2. Определить, какие последовательности знаков являются фор мулой.
153 ГWlьберmд. Указ. соч. С. 362.
Формализм |
143 |
|
3. Отобрать формулы, которые будут выполнять функции ло
гических и математических аксиом.
4. В качестве правил вывода использовать следующие два. Пра вило отделения (ПО): из формул Х и (Х::::) У) следует формула У. Правило подстановки (ПП): вместо любой переменной для высказываний в формуле можно подставить любую формулу всюду, где эта переменная входит в данную формулу.
5. Определить правила построения доказательства (вывода).
Предполагается, что если предъявлена произвольная строчка знаков, входящих в алфавит формальной системы, то в конечное число шагов можно решить, является ли она формулой, и если да, то является ли она аксиомой. Аналогичным образом предполагается, что относительно произвольной последовательности формул можно
в конечное число шагов решить, является ли она доказательством.
Формула считается доказуемой, если можно построить ее вывод из приведенных аксиом с помощью правил ПО и 00. Вывод представ ляет конечнуюпоследовательностьформул, каждая из которыхлибо аксиома, либо следствие предшествующих формул, полученное с
помощью правил следования.
Согласно Гильберту, для формализацииэлементарнойарифме тики натуральных чисел (в которой выполняется только операция сложения) и доказательства ее непротиворечивости достаточно
следующихаксиом.
Аксиомылогики высказывании
A1.A::::)(B::::)A) |
(добавление посылки). |
А2• (В::::) с) ::::) «А::::) В) ::::) |
(А ::::) с») (исключение высказывания). |
Аз. (А ::::) (В & -,В)) ::::) -,А |
(закон противоречия). |
~. -,-,А::::)А |
(закон двойного отрицания). |
Трансфинитные аксиомы |
|
A s. (х) (Ах ::::) Аа) |
(заключениеот общего к частному). |
А6• -, (х)Ах::::)(Ех)-,Аа |
(если свойствоА невернодля всехх, то |
существуетпротиворечащийпример).
144 |
Глава 5 |
А7• - , (Ех)Ах :::) (х)-.Аа |
(если не существует примера выпол |
|
нимости свойства А, то оно ложно |
|
для всехх). |
Ав. Ах :::) А(иА) |
(логическая в-аксиома). |
в аксиоме Ав выражение иА обозначает вещь, для которой вы сказывание Аа истинно. Более точно, в - функция выбора, сопос тавляющий каждому х, обладающему свойством А, некоторый эле мент из класса вещей, если вещь, удовлетворяющая этому свойству, у:же существует. Если высказывание А выполняется для одной и только одной вещи, то иА есть та самая вещь, для которой данное
высказывание справедливо.
Связь в-аксиомы с кванторами существования и общности обь
ясняют следующие два определения:
DF 1. (Ех) Ах = А(иА).
DF 2. (х) Ах = -, (Ех) -.А(х) = А(и (-.А»,
так как -,(Ех) -.Ах == -.А(вх-.А).
Согласно Гильберту, достоинство в-аксиомы состоит в том, что из нее выводимы трансфинитные аксиомы A s-A7 и, значит, данная аксиома представляет общий символ всех идеальных элементов формализованной математики. Это означает, что «формализм, кото рый получается из элементарного исчисления со свободными пере
менными в результате применения к нему в-формулы... полностью включаетв себя все исчислениепредикатовв целом»IS4. Крометого,
в-аксиома«содержит... ядро так называемойаксиомы произвольно го выбора»ISS.
С помощью данной аксиомы Гильберта доказывает, что кван торы и выражения с в-оператором всегда могут быть исключены из вывода формулы, не содержащей кванторов, из других бесквантор ных формул. для Гильберта это имеет особое значение, потому что выражает суть его финитного подхода: введение идеальных эле ментов, т. е. высказываний о бесконечном (высказываний с кванто рами существования и общности), оправданно тогда и только тогда, когда они всегда могут быть удалены из доказательства. Это озна-
154 ГWlьберm д. Бернаuс П. Указ. соч. С. 34. J55 ГWlьберmД Указ. соч. С. 361.
Формализм |
145 |
|
|
чает, что всякое доказательство, включающее суждения об актуаль ной бесконечности, может быть редуцировано к доказательству,
включающему суждения только о конечных множествах элементов.
Роль Е-аксиомы особенно важна для Гильберта в доказатель стве непротиворечивости. Если S - математическая система, чьи формулы не содержат кванторов, Е-оператора и разрешимы, тогда S непротиворечива в строгом смысле: каждая выводимая в ней формула истинна.
Математические аксиомы
А9• а = а |
(каждое нэ:rypальное число рав |
|
но самому себе). |
А10• а = Ь :::J (Аа :::J АЬ) |
(равные натуральные числа об |
|
ладают равными свойствами). |
Ав. а' '" О |
(ни одно натуральное число, |
|
непосредственно следующее за |
|
натуральным числом а, не рав |
|
но О). |
А12• А(О) & (х)(Ах :::J Ах') :::J Аа |
(аксиома полной индукции). |
Список приведенных аксиом не противоречив, если из него не выводима формула вида (А & -,А), где переменная А может обозна чать любое, в том числе и арифметическое, высказывание. Допус тим, формула (А & -,А) следует из данных аксиом. Какое свойство приобретают в этом случае аксиомы? Ответ дает следующее рас
суждение, в котором к аксиомам присоединяется в качестве до
пущения конъюнкция (А & -,А).
1. А :::J (-,А :::J В) |
(следствие закона противоречия). |
|||
2. |
(А &-,А) |
(допущение). |
||
3. (А & -,A):::JA |
(теорема логики). |
|||
4. А |
(из 2 |
и 3 |
по правилу ПО). |
|
5. (А & -,А) :::J -,А |
(теорема логики). |
|||
6. |
-,А |
(из 2 |
и 5 |
по правилу ПО). |
7. |
(-,А :::J В) |
(из 1 и 4 по правилу ПО). |
||
8. |
В |
(из 6 и 7 |
по правилу ПО). |
|
146 |
Гпава 5 |
|
|
Формула В носит произвольный характер. Следовательно, она может обозначать все, что угодно. Например, В может быть нера венством О ::F- О. Поэтому если некоторая система аксиом противоре чива, то это означает, что из нее следует любая формула (следует все, что угодно). Обратное суждение не менее интересно. Если су ществует формула, не выводимая из данной системы аксиом, то эта система непротиворечива. Ценность обратного суждения в том, что оно указывает общее направление доказательства непротиворечи вости. Для этого необходимо сначала указать характеристическое свойство, удовлетворяющее следующим двум условиям. Такое свойство:
(1)должно быть присуще всем аксиомам без исключения и всем выводимым из них формулам, получающим статус теорем;
(2)должна существовать хотя бы одна правильно построенная формула, которая этим свойством не обладает, т. е. не является теоремой.
Свойство «быть тавтологией (логически истинной формулой)>> удовлетворяет указанным требованиям. Все аксиомы Гильберта и выводимые их них формулы (теоремы) - тавтологии. Это следует из того, что отрицание каждой из них порождает логическую и ма тематическую ложь. Но такая правильно построенная формула, как (А :::J В), не выводима из аксиом, т. е. не является теоремой элемен тарной арифметики. В самом деле, ее отрицание не порождает ло гической лжи. Пусть А = «данное число простое», В = «данное чис ло делится на 3». Тогда формула (А :::J В) читается «если данное число простое, то оно делится на 3». Отрицанием этого суждения будет высказывание (А & -JJ), которое читается «данное число про стое и не делится на 3». Если бы суждение (А & ---,}J) было логиче ской ложью, то имело бы место противоречие и А с ---,}J не могли бы быть одновременно истинны или ложны. Однако рассматриваемое отрицание не образует противоречия: высказывания А и ---,}J могут быть одновременно как истинными, так и ложными. Например, А и
---,}J вместе истинны, если взять число 5, и вместе ложны, если взять число 6.
Наличие хотя бы одной формулы, не выводимой из рассматри ваемых аксиом, достаточно для утверждения, что арифметика не
противоречива.
Формализм |
|
|
|
|
147 |
Доказательство непротиворечивости элементарной арифметики |
||
в целом соответствует логической схеме доказательства, называе |
||
мой в логике modus tollens: |
|
|
Если арифметика противоречива, то в ней доказуема (выводима) про |
||
UЗ80льная формула. |
|
|
Существуют формулы, которые недоказуемы с помощью данных аксиом. |
||
Значит, арифметика непротиворечива. |
|
|
Формализация позволяет все рассуждения, включая и те, кото |
||
рые относятся к бесконечной совокупности объектов, свести к ана |
||
лизу конечного числа правил и небольшого числа легко обозримых |
||
последовательностей знаков, называемых формулами, или идеаль |
||
ными элементами. С помощью конечных вычислений она разреша |
||
ет вопрос о противоречивости математической теории. Более того, |
||
формализация - такая игра формулами, которая «кроме математи |
||
ческой ценности, имеет еще важное общефилософское значение. |
||
Эта игра формулами совершается по некоторым вполне определен |
||
ным правилам, в которых выражается техника нашего мышления ... |
||
Основная идея моей теории доказательства сводится к описанию |
||
деятельности нашего разума, иначе говоря, это протокол о прави |
||
лах, согласнокоторымфактическидействуетнаше мышление»l56. |
||
Вдохновленныйдостигнутымирезультатами, Гильберт катего |
||
рически отвергал любую критику программы доказательства не |
||
противоречивостиматематики. Отвечая Пуанкаре на обвинение в |
||
том, что эта программа содержит порочный круг, Гильберт с оби |
||
дой, так как был многим ему обязан, заявил: «Прежде всего, утвер |
||
ждая, что непротиворечивостьспособа полной индукции не может |
||
быть иначе доказана, как только с помощью той же полной индук |
||
ции, он оспариваета priori самую возможностьдоказательстване |
||
противоречивостиаксиом арифметически. Однако, как показывает |
||
моя теория, здесь при обосновании арифметики рассматриваются |
||
двоякогорода индуктивноупотребляющиесяметоды, именно, с од |
||
ной стороны, метод наглядногопостроенияцелых чисел как число |
||
вых знаков... а с другой стороны - |
собственно индукция, которая |
|
опирается на аксиому индукции... |
Пуанкаре пришел к своему оши- |
|
156 ГWlьбертД Указ. соч. С. 382.
148 |
Глава 5 |
бочному убеждению благодаря тому, что он не отличал друг от дру га эти два совершенно различных индукционных метода... Автори тет Пуанкаре в значительной мере одностороннеповлиял на юное поколение»l57.
Логицистскую программу обоснования математики Рассела и Уайтхеда Гильберт обвинил в том, что она включает аксиомы бес конечности и редукции. Но эти аксиомы представляют «в полном смысле слова гипотезы, содержательно не обоснованные доказа тельством их непротиворечивости,гипотезы, всеобщая справедли
вость которых под сомнением и в которых моя теория, во всяком
случае, не нуждается»158.
Отвечая на критику Брауэра, что теоремы о чистом существо вании ничего не стоят, если не содержат способа построения дока зываемого объекта, и что математика вырождается в игру с симво лами, Гильберт указывает, что доказательство так называемого
чистого существования представляет на самом деле важное матема
тическое обобщение многих частных случаев. Одно это обстоя тельство опровергает утверждение Брауэра о бесполезности теорем о существовании. «Ценность чистого доказательства существова ния в том именно и состоит, что благодаря ему исключаются от дельные построения и многие разнообразные построения объеди няются одной основной идеей, вследствие чего четко выступает
только то, что существенно для доказательства: смысл доказательст ва существования состоит в сокращении и экономии мысли. Чистые теоремы о существовании служили в действительности важнейшими вехами исторического развития нашей науки. Но подобные сообра жения не влияют на верующих интуиционистов»IS9. Продолжая от вечать Брауэру, Гильберт отвергает все его обвинения против закона исключенного третьего. Этот закон, указывает Гильберт, «никогда не приводил ни к малейшей ошибке», он «ни в малейшей мере не пови
нен в появлении известных парадоксов теории множеств... доказа
тельства существования,использующиезакон исключенноготретье
го, имеют большей частью особую прелесть благодаря своей краткостии изяшеству»160.
157 ГWlьберm Д. Указ. соч. С. 378. 158 Там же. С. 379.
159 Там же. С. 382.
160 Там же. С. 383.
Формализм |
149 |
|
Некоторое время казалось, что программа финитного обоснова ния математики Гильберта должна вот-вот получить триумфальное завершение. Однако в начале 30-х гг. хх в. были открыты такие
ограничения, которые поставили под сомнение ее осуществление в
полном объеме.
Выявление принципиальных границ программы формализации математики Гильберта
в 1931 г. была опубликована статья 25-летнего австрийского математика Курта Гёделя (1906-1978) «О неразрешимых высказы ваниях Principia Matheтatica и родственных систем», которая до
сих пор считается одной из самых выдающихся работ в области обоснования математики161 •
Статья Гёделя содержит два результата. Сначала Гёдель дока зывает, что любая формальная система типа Principia Matheтatica, включающая арифметику, принципиально неполна. Это означает, что существуют истинные арифметические высказывания, которые тем не менее не выводимы из аксиом подобных систем. Предполо жение 06 увеличении числа аксиом или об их модификации никак не может изменить этого отрицательного заключения. Даже если бы формализованная арифметика содержала бесконечное число аксиом, все равно существовали бы истинные арифметические ут верждения, которые не были бы ее теоремами.
Затем Гёдель обосновывает, что невозможно дать доказательство непротиворечивости системы, формализующей всю арифметику, ес ли правила этого доказательства удовлетворяют требованию финит ности. Сразу же напрашивается предложение использовать более сильные, чем финитные, методы доказательства. Однако применение более сильных методов доказательства, во-первых, несовместимо с одним из основных принципов программы Гильберта и, во-вторых, оно только переводит решение проблемы на более высокий уро вень. В любом случае программа финитного доказательства непро тиворечивости не только всей математики, но даже арифметики оказывается принципиально невыполнимой.
161 Gбdеl К. Оп Fопnаllу Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems. Р. 145-195.
150 |
Глава 5 |
|
|
Основные шаги рассуждения Гёделя TaКOBbII62 • Сначала он стро ит арифметическое исчисление, которое позволяет переводить все метаматематические высказывания о его свойствах на язык арифме тических утверждений о натуральных числах. это делается посредст вом приписывания каждому знаку, формуле и доказательству форма лизованной арифметике определенного (гёделева) номера. Нумерация (кодификация) начинается с логических и математических констант.
Знак отрицания кодируется цифрой один, знак дизъюнкции - |
циф |
рой два и т. д. Знак Е обозначает квантор существования, s - |
знак |
«число, следующее непосредственно за». Итерация знака s (приписы вание его слева к цифре О) позволяет конструировать натуральные числа. Например, sO соответствует числу 1, ssO - числу 2 и т. д.
...., |
v |
|
Е |
|
О |
s |
( |
) |
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Для кодификации констант используются первые десять чисел натурального ряда, исключая число О. Кодификации подлежат так же переменные для числовых высказываний, переменные для вы сказываний и переменные для предикатов. Процесс кодификации
должен удовлетворять следующим правилам:
(1) каждой числовой переменной (х, у, Z, ... ) соответствует простое число, большее десяти: 11, 13, 17, ... ;
(2) каждой переменной для высказываний (А, В, С, ... ) соответст вует квадрат простого числа, большего десяти: 112, 132, 172, ... ;
(3) каждой предикатной переменной (Р, Q, R, ...) соответствует куб простого числа, большего десяти: 113, 133, 173, ....
Рассмотрим высказывание «существует число х такое, что х есть последовательу». Символическионо выглядиттак: (Ех)(х= sy). В формулу входЯТ константы и одна переменная для чисел (дважды). Поэтому она кодируется гёделевыми номерами элементарных знаков:
( |
Е |
х |
) |
( |
х |
|
s |
у |
) |
8 |
4 |
11 |
9 |
8 |
11 |
5 |
7 |
9 |
13 |
162 СМ.: Nige/ Е., Newтan J. Godel's Proof. N. У., 1958. Р. 68-97.