Svetlov_Filosofia_matematiki

симо от различия своих интенсионалов (смыслов) ОНИ считаются

экстенсионально взаимозаменяемыми.

Допущение экстенсиональности. Если два различных имени обо­ значают одну и ту же вещь, они считаются взаимозаменяемыми и об­

ладают одним и тем же значением истинности.

Как и в логике высказываний, в логике предикатов сохраняется допущение бивалентности.

Допущение бивалентности. Каждое простое высказывание ЛП либо истинно, либо ложно.

Из-за необходимости учитывать внутреннюю струюуру выска­ зываний атомарные формулы ЛП значительно отличаются по своей струюуре от атомарных формул ЛВ. Напомним, что в ЛВ атомар­ ной формулой считается знак (прописная буква латинского алфави­ та), обозначающий простое высказывание.

Допустим, задан некоторый универсум U. Относительно каж­ дой его вещи ее имя собственное может быть известно или неиз­ вестно. Если имя собственное вещи известно, то она обозначается одной из строчных начальных букв латинского алфавита а, Ь, с, ...

иназываетсяпредметнойконстантой. Значение,т. е. обозначаемая вещь, каждой предметнойконстантыфиксированои не может быть произвольноизменено. Если же имя собственноевещи неизвестно, то она обозначаетсяодной из строчных конечных букв латинского алфавитах, у, Z, •.• и называетсяпредметнойnеремеmюЙ.Предмет­ ные переменные не имеют фиксированногозначения. Их главная функция состоит в том, чтобы обозначатьвсе вхо:жденияодного

итого же имени. Иными словами, на место каждой предметной переменной одно и то же имя должно подставляться столько раз, сколько имеетсяее вхождений.

Различие между предметными константами и переменными поясняет следующий пример. Допустим, необходимо формализо­ вать утверждение, что некоторая вещь из универсума и обладает свойством Р. Это можно сделать двумя способами: либо как Ра,

если а - известное имя собственное вещи, либо как Рх, если имя собственное вещи не известно. Выражение Ра читается: «Данная

вещь а из универсума и обладает свойством Р». Выражение Рх читается «Произвольная вещь х из универсума и обладает свойст­ вом Р». Фундаментальное различие между обоими случаями со­ стоит в том, что выражения вида Ра, РЬ, ... можно оценивать как истинныеили ложные, а выражениявида Рх, Ру, ... - нельзя.

Пусть и = «пищевые продукты», Р = «сладкий», а = «сахар», Ь = «соль». Тогда выражение Ра = «Сахар сладкий» истинно, а вы­ ражение РЬ = «Соль сладкая» ложно. Сказать же, что Рх = «Произ­ вольный пищевой продукт сладкий» истинно или ложно, бессмыс­

ленно, потому что неизвестно, о каком именно пищевом продукте

идет речь. Знак х обозначает любую съедобную вещь или, как гово­ рят, «пробегает» по всем вещам рассматриваемого универсума. Значит, чтобы выражение ЛП, содержащее вхождения предметных переменных, можно было интерпретировать как истинное или лож­ ное высказывание, их необходимо заменить соответствующими им

предметными константами.

Допустим, необходимо формализовать утверждение, что неко­ торая вещь находится в определенном отнощении к другой вещи. Здесь также различаются указанные выше два случая. Выражение вида Rxy означает «Произвольныевещи х и у из универсума и на­ ходятся в отношении R друг к другу». Сказать об отношении Яху,

истинно оно или ложно, нельзя до тех пор, пока не станет известно,

какие именно вещи обозначают переменные х и у. Пусть и = «чис­ ла», а = 3, Ь = 4, R = «больше». Тогда неопределенное с истинност­ ной точки зрения выражение Яху превращается в ложное высказы­ вание Rab = «3 больще 4».

Традиционно предикатом называется мысль, обозначающая либо свойство, которым обладает или не обладает данная вещь, ли­ бо отношение, в котором находится или не находится рассматри­ ваемая вещь к другим вещам. В ЛП предикаты интерпретируются как логические функции, отображающие имена собственные как свои аргументы в множество значений истинности. Если в выска­ зывании «Сахар сладкий» заменить константу «сахар» предметной переменной, то результатом замены станет функция «х - сладкий». Подстановка в данную функцию вместо х различных имен собст­ венных будет порождать истинные или ложные высказывания в ка­ честве ее значений. Если исключить случай, когда предикат имеет нулевое множество аргументов, предикатом в собственном смысле

слова можно назвать любое высказывание, содержащее по крайней мере одно вхождение предметной переменной. Пусть, как и преж­ де, Т и F обозначают значения истинности.

Предикат - логическая функция, отображающая собственные имена вещей (предметные константы) в множество логических зна­ чений {Т, F}.

Выражения вида p1x принято называть одноместны.ми (одноар­

гументными) предикатами. Их отличительная особенность в том,

что они обозначают свойства вещей. Выражения вида р2ху называют

двухместными (двухаргументными) предикатами. Их особенностью является то, что они обозначают бинарные отношения. В общем вы­ ражения вида Р" принято называть n-местными предикатами, обо­ значающими n-местные отношения, n ~ О. В случае [iJ предикатная

буква обозначает простое высказывание ЛВ, которое по допущению

бивалентности либо истинно, либо ложно. Так как атомарные фо~

мулы ЛВ сводимы к виду [iJ, то они все являются атомарными фо~

муламиЛп.

Верхними индексами для обозначения местности предиката

можно и не пользоваться, так как число мест предиката легко опре­

деляется по числу предметных переменных, которыми он управля­

ет. Например, р3 означает, что после предикатной буквы Р должны

стоять три предметных переменных - pxyz.

Если необходимо формализовать операцию, отображающую

множество предметных констант в это же множество по опреде­

ленному закону, тогда используют соответствующую этой опера­ ции предметную (т. е. не логическую) n-местную функцию. Из­ вестные арифметические операции - сложение, вычитание,

умножение и деление - представляют частные случаи таких

функций. Двухместная функция сложенияj(а, Ь), определенная на

множестве натуральных чисел, ставит в соответствие паре опре­

деленных натуральных чисел а и Ь новое число с из этого же множества в качестве результата их суммы: а + Ь = с. Например,

j(l, 2) = 3,f{f(1, 2),j(l, 2» =j(3, 3) = 3 + 3 = 6.

Предметные константы и предметные переменные принято объединять общим именем - простой терм (от англ. term). По­ нятие терма обобщает понятия субъекта в традиционной логике.

ставящееся перед тем выражением, количественную характеристи­

ку которого оно определяет: (Ех)Рх. Формула Рх. перед которой по­ ставлен квантор существования, (Ех)Рх, читается «Существует та­ кой х, который обладает свойством Р». «По крайней мере для

одного х имеет место Р». Формула ~(Ех)Рх читается «Неверно. что существует такой х. который обладает СВОЙСТВОм Р». Формула (Ех)-,Рх читается «Некоторые х не обладают СВОЙСТВОм Р».

Синтаксис лоrики преАикатоs

Синтаксис ЛП представляет расширение синтаксиса ЛВ и включает перечень определяемых знаков алфавита ЛП (табл. 1) и правил построения из них термов и формул ЛП (табл. 2).

Праsила построения формуллогики преАикатоs

Пусть буквы греческогоалфавита ф, ер, у, ... обозначаютпроиз­ вольные формулы ЛП. Это означает, что на место каждой из них следует подставлять формулу ЛП столько раз, сколько имеется вхожденийданной буквы.

В терминах заданного табл. 1 алфавита ЛП можно конструиро­ вать термы и формулы - символические эквиваленты простых и сложных высказываний согласно следующим правилам.

Таблица 2

Правила построения формул логики предикатов

1 Предметная константа и предметная переменная - термы ЛП.

n-аргументная функциональная букваf, n ~ О, сопровождаемая n термами,f,) ""п' -(сложный) терм ЛП.

Ничто другое не является термом ЛП.

2 Для всех n ~ О n-местный предикат Р", сопровождаемый n терма- МИ'?'I /П' является атомарной формулой ЛП.

Терм t j , соединенный знаком «=» с другим термом t), есть атомарная формула ЛП.

н ичто другое не является атомарной формулой ЛП.

для определения, какие последовательностизнаков из табл. 1 являются формулами ЛП, введем понятие подформулы (которое повторяет определение, приведенное для формул ЛВ).

Подформула - формула ЛП, входящая в состав другой формулы ЛП.

Назовем логическим оператором формулы логический союз или квантор, которые в нее входят. Тогда очевидно следующее оп­

ределение.

Главный логический оператор неатомарной формулы ЛП - союз или квантор, который при ее построении вводится последним.

Область действия

лоrическоrо союза и квантора

Введем точные определения области действия логического союза (повторяет определение для формул ЛВ) и квантора.

172 Метапеременная ~, вместо которой могут подставляться предметные пе­

ременные х, у, Z, •.• , читается как «кси».

Область действия логического союза образуют все подформулы, кото­

рые он связывает.

Область действия квантора составляет подформула, которая начина­

ется сразу после квантора.

в формуле (х)((Еу)Рху :::J (Еу)(-,Рху v Qxy)), которая рассмат­ ривалась выше, областью действия первого квантора существова­ ния (Еу) является подформула (Еу)Рху; областью действия второго

Связанные н своБОАные переменные

Некоторые предметные переменные, совпадающие с перемен­ ной квантора общности или существования, могут находиться в области его действия. Если это имеет место, вхождение такой пе­ ременной называется связанным. В противном случае оно считает­ ся свободным.

Вхождение предметной переменной .; называется связанным, если и только если она является переменной квантора общности (~ или квантора существования (E~, или находится в области действия по крайней мере одного из них. Всякое иное вхождение переменной .; на­ зывается свободным.

в формуле (х)Рху предметная переменная х связана, а предмет­ ная переменная у свободна. Одна и та же предметная переменная может входить в формулу свободно и связанно одновременно. На­ пример, в формуле (х)Рху & (y)Qy предметная переменнаяу входит свободно в конъюнкт (х)Рху и связанно в конъюнкт (y)Qy.

Допустим, дана формула ((Рх & (Ey)Qxy) v (z)(Qxz :::J Rxbz)).

В подформулу (Qxz :::J Rxbz) переменные х и z входят свободно; в подформулу (z)(Qxz :::J Rxbz) переменная z входит связанно, а пере­ менная х - свободно; в формулу в целом переменные у и z входят связанно, а переменная х - свободно.

Формализация 8 логике преАикаТО8

Для формализации высказываний в ЛВ необходимо иметь зна­ ки для обозначения атомарных формул и такое множество логиче­

ских союзов, которое позволяет выражать все виды совместимости и несовместимости между высказываниями. Формализация выска­ зываний в ЛП носит более сложный характер. Для ее осуществле­ ния необходимо иметь:

(а) знаки для обозначения свойств вещей или их отношений друг

к другу;

(б) предметные константы для обозначения имен собственных вещей;

(в) предметные переменные для обозначения области действия квантора общности или существования;

(г) функциональные знаки для обозначения операций над кон­

стантами.

Примем соглашение не ставить внешних скобок в формулах ЛП, начинающихся с кванторов.

Пример

(х)(Еу)Рху == (Еу)(х)Рху.