Svetlov_Filosofia_matematiki

Однако это только промежуточный результат, потому что цель Гёделя состояла в том, чтобы с каждой формулой и каждым доказа­ тельством связать один единственный номер. Для рассматриваемой формулы таким номером будет результат произведения первых де­ сяти простых чисел, каждое из которых берется в степени, соответ­ ствующей коду элементарного знака:

Код (гёделев номер) формулы (Ех)(х = sy) равен числу

28 Х з4 Х 511 Х 79 Х 118 Х 1311 Х 175 Х 197 Х 2з13 Х 299.

Пусть т обозначает гёделев номер формулы (Ех)(х = sy). Как вычислить гёделев номер конечной последовательности формул, представляющей доказательство? Это делается по аналогии с вы­ числением гёделева номера отдельной формулы. Допустим, дана следующая последовательность, в которой нижняя формула пред­ ставляет заключение верхней:

(Ех)(х = sy);

(Ех)(х = sO).

Гёделев номер первой формулы (посьшки) известен и равен числу m. Пусть число n обозначает гёделев номер второй формулы (заключения). Тогда результат произведения первых двух простых чисел (по числу формул, образующих доказательство), каждое из которых берется в степени, соответствующей гёделеву номеру формулы, будет гёделевым номером рассматриваемого доказатель­

ства:

Цель подобного кодирования состоит в том, чтобы каждый знак арифметического исчисления, каждая его формула, каждая после­ довательность его формул получили соответствующий, только им присущий гёделев номер. Если гёделеву нумерацию провести пол­

ностью, логико-математическое исчисление превратится в эквива­

лентное ему арифметическое исчисление, в котором каждая логико­ математическая формула и последовательность таких формул при­ мут вид определенных арифметических формул (точнее чисел).

Метод кодирования позволяет каждое метаматематическое вы­ ражение перевести в арифметическую формулу. Обратная задача

состоит в том, чтобы по данной арифметической формуле опреде­ лять, соответствует ли ей какое-нибудь осмысленное выражение или элементарный знак системы. Если число меньше или равно ]О, то оно, по определению, представляет гёделев номер. Если число больше ]О, то оно обозначает гёделев номер, если его можно раз­

ложить на множители, каждое из которых представляет простое число, взятое в некоторой степени. В этом случае оно является но­ мером либо формулы, либо последовательности формул.

Примером может служить декодирование числа 243000000163:

]) 243 000 000;

2) 64 х 243 х ]5625;

Рассматриваемое число представляет результат произведения трех сомножителей, каждый из которых является простым числом, взятым в определеннойстепени. Следовательно,оно - гёделев но­ мер. Декодирование доказывает, что число 243 000 000 символизиру­ ет формулу О = О. Чтение приведенного построения снизу вверх по­ казывает этапы кодирования формулы определенным гёделевым номером. Чтение его в обратном порядке - этапы декодирования предъявленного числа. При этом может случиться так, что число может и не быть гёделевым номером. Например, число 100 боль­ ше ]О и должно быть результатом произведения простых чисел, взятых в квадрат или куб. Действительно, 100 можно представить как 22 х 52. Но, по определению, формула должна быть результа­ том произведения последовательно возрастающих простых чи­ сел. Однако в приведенной последовательности отсутствует про­ стое число 3. Значит, число 100 не является гёделевым номером.

Следующий шаг состоит в объяснении ключевой фразы гёделевского метода арифметизации: «Последовательность формул с гёделевым номером х есть доказательство формулы с гёделевым номером у». Формально: Pr(x, у). Если х и у не находятся в указан-

163 Nige/ Е., Newman 1. Ор. cit. Р. 76.

казательство формулы -,G означало бы существованиедоказа­ тельства G. Но арифметическое исчисление непротиворечиво, и наличие в нем двух противоречащих друг другу формул не­ возможно. Значит, формулы G и -,G обе не выводимы из акси­ ом арифметическогоисчисления,т. е. они обе - неразрешимые арифметические высказыванияl64•

(3) Гёдель также доказывает, что хотя G и не доказуема как ариф­

метическое высказывание, она все же истинное метаматемати­

ческое утверждение. Раз формула G сама утверждает о самой себе, что она недоказуема, и это действительно так, то она вне

всякого сомнения истинное высказывание.

(4)Таким образом, арифметическое исчисление содержит не толь­ ко неразрешимое, но и истинное высказывание G. Значит, ак­ сиомы арифметики неполны в том смысле, что из них нельзя дедуцировать все арифметические истины. Кроме того, аксио­ мы арифметики неполны существенно. Даже если к арифмети­ ческому исчислению добавить новые аксиомы, чтобы вывести формулу G, в расширенном исчислении появятся новые нераз­

решимые высказывания.

(5)Следовательно, если арифметическое исчисление непротиво­ речиво, то оно неполно. Формула G, которая утверждает свою собственную недоказуемость, эквивалентна высказыванию

«эта система аксиом неполна», потому что представляет при­

мер истинного и неразрешимого предложения. Значит, верно «если система аксиом непротиворечива, то следует, что фор­ мула G истинна».

Пусть А - высказывание «существует формула, которая недо­

казуема», которое эквивалентно утверждению «система аксиом арифметики непротиворечива». Тогда истинна формула А ~ G, из которой при допущении существования доказательства А следует доказательство G. Но, как было уже показано, формула G недока­ зуема. Этого достаточно, чтобы сделать решающий вывод: метама-

164 Высказывание Р формализованной системы S разрешимо, если существует эффективная процедура вывода, позволяющая определить, является ли Р тавтоло­ гией S. Теория S разрешима, если для каждой проблемы, которую можно сформу­ лировап. в ее словаре, существует положительное или отрицательное решение.

Причем это решение можно получить алгоритмически, следуя правилам вывода S.

жет считаться, следовательно, единственной и исчерпывающей. Всегда можно сконструировать более полную. И этот процесс нико­ гда не может быть завершен, по крайней мере теоретически. Ре­ зультаты Гёделя прямо подтверждают справедливость допущения потенциальной бесконечности и конструктивности процесса мате­

матического познания.

Аксиоматизация арифметики не охватывает все истины арифме­ тики. Значит, аксиоматическое доказательство более ограниченно, чем обычное математическое доказательство. Требования строгости и надежности математического доказательства сужают творческий потенциал работающих математиков.

Во-вторых, ни одно высказывание, выражающее непротиворе­ чивость арифметики, не может быть доказано средствами самой арифметики. «Ценой больших усилий, приложенных Гильбертом и

представителями его школы для выполнения его программы, им уда­

лось получить строго финитными методами непротиворечивость весьма широкой подсистемы арифметики; подсистема эта имеет лишь тот недостаток, что принцип индукции формулируется в ней в ослабленной форме, что препятствует применению его к квантифи­ цированным предложениям. Следствие из теоремы Гёделя показыва­ ет, что такой частичный неуспех гильбертовской школы объясняется отнюдь не недостатком изобретательности ее представителей; на­

против, мы знаем теперь, что они продвинулись В этом направлении

настолько далеко, насколько это вообще было возможно»)165.

Результаты Гёделя не исключают метаматематического доказа­ тельства непротиворечивости арифметики. Они только исключают возможность такого доказательства средствами самой арифмети­ ки. Это затрудняет программу финитного обоснования математики Гильберта, но не доказывает ее принципиальную неосуществимость. Помимо прочего, обсуждаемое следствие говорит также о том, что применяемая в доказательствах аналитика должна быть в принципе более богатой по своим синтаксическим и семантическим свойст­ вам, чем синтаксис и семантика исследуемой системы. Прогресс математики предполагает, таким образом, что развитие аналитиче­ ских средств должно обгонять по определенным параметрам разви­ тие самих формальных систем.

165 ФреНКeJlЬ А. А., БаР-ХWUleJl И. Указ. соч. С. 370.

определенным правилам; каждый знак формальной теории выража­ ет некоторый объект нашей мысли таким образом, что между зна­

ками и мыслями существует точное соответствие, и операции с

мыслями однозначно могут быть заменены операциями со знаками. Но действительно ли законы символической логики являются зако­ нами нашего мышления? Можно ли утверждать с полной уверенно­

стью, что математическое доказательство есть строго дедуктивная

процедура - вывод теорем из аксиом? Что формализация есть га­ рантия не только от ошибок, но и творческих решений проблем? От­ вет, очевидно, отрицательный. Ни одна из рассмотренных программ обоснования математики, заботясь исключительно о надежности и

строгости математического рассуждения, ничего не предложила в

качестве обоснования собственно творческой составляющей матема­

тического мышления.

После Гёделя все большее число математиков и логиков скло­

няется к тому, что «творческие и интуитивные аспекты математи­

ческой работы не поддаются логической формализации»169, что

математика - это не деятельность идеального, никогда не совер­

шающего ошибок математика, а открытая самонастраивающаяся и

самокорректирующаяся система, нуждающаяся в непрерывном ин­

формационном взаимодействии с внешней средой со всеми связан­ ными с этим рисками и выгодами. Идеал такой математики - не формализация всех своих теорий, а создание некоторой эвристиче­ ской недедуктивной процедуры решения проблем. Логика матема­ тики в таком понимании - логика не только обоснования, но и изобретения гипотез. Но такая логика - пока что дело будущего.

169 Feferman S. та! does 10gic have to tell us аЬои! mathematical proofs? // The Mathematical !пtеlligепсег. 1979. Vol. 2. Р. 20.

Приложение 1

Символическая логика (основные Аопущения и опреАеления)

Современная логика - это символическая логикаJ7О• Ее назна­

чение выражает следующее определение:

Символическая логика - это теория исчислений.

Исчислением принято называть формальный алгоритм по­ строения новых символических объектов из заданных. Знаки и пра­

вила оперирования с ними в каждом исчислении тщательно опре­

деляются. Каждый введенный знак имеет свой точный смысл. Каждое правило трактуется однозначно. Благодаря такой опреде­

ленности удается точно выражать логическую структуру рассужде­

ний, логические связи между ними, эффективно преобразовывать одни рассуждения в другие. Именно эти особенности обеспечили широкое использование символической логики в исследованиях по основаниям математики, искусственному интеллекту, информатике, лингвистике и многим другим областям научного знания.

В настоящее время символическая логика представляет доста­ точно обширную и дифференцированную совокупность теорий и исследований. Тем не менее, можно выделить логику высказываний (ЛВ) и ее расширение - ЛOf'ику предикатов (ЛП) в качестве общего базиса.

170 Полное изложение данной темы см.: Светлов В. А. Современная логика.

СПб., 2006.