Svetlov_Filosofia_matematiki

нимали активное участие такие логики и математики, как В. Аккер­ ман, П. Бернайс, Г. Генцен, Дж. фон Нейман и Ж. Эрбран.

Программа Гильберта включает следующие тезисы:

•Ни классическая, ни логицистская, ни интуиционистская про­ граммы обоснования математики не предложили критерия, обосновывающего всю математику. Таким критерием может быть только ее непротиворечивость. Пока не будет разработан метод доказательства непротиворечивости всей математики, споры в этой области знания никогда не прекратятся.

•Новый метод должен быть формально аксиоматическим, пото­ му что содержательная аксиоматика апеллирует к интуитивной или опытной очевидности аксиом. Формальная аксиоматика тоже нуждается в очевидности, но особого рода, свойственной не отдельной конкретной области математической науки, а всей

математике в целом.

•Каждая теория - упрощающая идеализация, экстраполирующая свои базисные понятия за пределы наличных данных опыта. Поэтому для установления непротиворечивости теории недос­

таточно ссылки на ее совместимость с имеющимися данными.

Необходимо иметь уверенность, что теория непротиворечива для всех объектов соответствующего вида.

•Непротиворечивость математики не может быть установлена об­ щепринятым методом интерпретации ее основных объектов по­

средством чисел и числовых систем, а основные отношения ме­

ЖДУ ними - посредством равенств и неравенств. То, что годится

для доказательства непротиворечивости, допустим, геометрии, не

может быть перенесено на всю математику. Ибо в этом случае встает вопрос о непротиворечивости той математической тео­ рии - арифметики или анализа, с помощью которых доказыва­ ется непротиворечивость всех остальных частей математики.

•Непротиворечивость всей математики не может быть дедуци­ рована из аксиом логики или данных интуиции. Все попытки

вывести математику из логики оказались несостоятельны, по­ тому что основаны на проблематичном представлении о нату­ ральном ряде чисел как завершенной совокупности. Еще более проблематичными из-за очевидного субъективизма выглядят попытки обосновать непротиворечивость математики на апри­ орной интуиции времени.

•Доказательство непротиворечивости всей математики состоит из двух этапов. На первом формализуется базис математики - теория множеств, арифметика и анализ, т. е. строится формаль­ ная система, из аксиом которой с помощью четко определен­

ных правил выводятся все теоремы, относящиеся к перечис­

ленным разделам. Система должна быть формализованной до такой степени, чтобы во внимание принимались только вид и порядок символов и ничего более.

•На втором этапе доказывается, что применение правил вывода к аксиомам построенной формальной системы никогда не сможет

привести к противоречию вида 1 *" 1. В построенной формальной

системе недопустимы не только противоречия, но и применение

закона исключенного третьего к бесконечным совокупностям объектов, эюистенциальные утверждения на основании ложности общих утверждений, а также непредикативные определения.

•Формализованный вариант классической математики должен быть свободен от ограничений, которые пытались на нее нало­

жить интуиционисты.

Философия метаматематики Гильберта

с помощью этого нового обоснования магематики, которое справедливо можно именовать теорией доказа­ тельства, я преследую важную цель: именно, я хотел бы ОКОНЧЮ'еЛьно разделаться с вопросами обоснования ма­

тематики как таковыми, пре8ратив каждое магематиче­

ское высказывание в поддающуюся конкретному показу,

строго выводимую формулу и тем самым приведя обра­ зование понятий и выводы, которыми пользуется маге­ матика, к такому изложению, при котором они были бы неопровержнмы и все же давали бы картину всей науки.

Д. Гuльберm. Обоснования математики

Философские принципы метаматематики Гильберта

Согласно Гильберту, создание Кантором теории трансфинит­ ных чисел привело к тому, что «[актуально] бесконечное было воз-

ведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своем дерзком полете достигло головокружительной высоты успеха» 139. Правда, реакция на это открытие не заставила себя ждать. «На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к закон­ ности умозаключений; поэтому уже при простом образовании по­ нятий и применении умозаключений, постепенно ставших обыч­

ными, выявились противоречия, сначала единичные, а затем все

более резкие и все более серьезные: так называемые парадоксы теории множеств»140.

В качестве выхода из сложившейся критической ситуации Гильберт мог либо отказаться от теории множеств Кантора, либо найти удовлетворительный способ доказательства ее непротиворе­ чивости. Гильберт не мог принять первую возможность, потому что чрезвычайно высоко ценил теорию Кантора, назвав ее «заслужи­ вающим удивления цветком математического духа». Однако главной причиной было то, что она служила основанием веду­ щих разделов математики. Отказ от теории множеств означал бы фактически разрушение с таким большим трудом построенного здания всей математики. Гильберт никак не мог с этим согласиться и выбрал вторую возможность.

Парадоксы теории множеств Кантора свидетельствовали о том,

что нельзя механически переносить методы, доказавшие свою ус­

пешность в конечной области математических объектов, на беско­ нечные области. Требовалась новая теория доказательства, приме­ нимая в бесконечной области с такой же степенью надежности, как и в конечной. Бесконечное должно анализироваться теми же мето­ дами, что и конечное. В этом заключалась суть решения, разраба­ тываемого Гильбертом. «Но существует вполне удовлетворитель­ ный путь, по которому можно избежать парадоксов, не изменяя при этом нашей науке. Те точки зрения, которые служат для открытия

этого пути, и те пожелания, которые указывают нам направление,

суть следующие:

1.Мы будем заботливо следить за плодотворными способами об­ разования понятий и методами умозаключений везде, где явля-

139 Гwzьберmд. Указ. соч. С. 348.

140 Там же. С. 348-349.

ется хотя бы малейшая надежда, будем ухаживать за ними, поддерживать их, делать их годными к использованию. Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор.

2. Надо повсюду установить ту же надежность заключений, кото­ рая имеется в обыкновенной, низшей теории чисел, в которой

никто не сомневается и где возникают противоречия и парадок­

сы только вследствие нашей невнимательности»141.

Обоснование совместимости актуальной бесконечности, математической моделью которой была теория трансфинитных чисел Кантора, с конечными разделами и методами математики стала ве­ дущим мотивом новой программы обоснования математики, на­ званной формализмом (теорией доказательства, метаматематикой).

Сказать, что некоторая система (не только математических) вы­ сказываний непротиворечива, означает сказать, что она не содержит двух высказываний, одно из которых является логическим отрица­ нием другого. Если Р есть некоторое высказывание, выводимое из формальной системы S, а --J> - логическое отрицание Р, то S не­

противоречива, если и только если из нее не выводима конъюнкция

P&--J>. Требование непротиворечивости можно сформулировать и как запрет на вывод из аксиом S любого, в том числе и противоре­

чивого, высказывания.

Если исследуемая система содержит небольшое число высказы­ ваний, то ее непротиворечивость устанавливается посредством пря­

мого сопоставления каждого высказывания со всеми остальными.

Если окажется, что не существует ни одной пары высказываний вида P&--J>, то система непротиворечива. В противном случае, т. е. если существует хотя бы одна такая пара, система противоречива. Но та­ кая непосредственная проверка неудобна или просто невозможна, если система содержит очень большое число высказываний или если они представляют скрытые следствия аксиом системы. В этом случае необходим более эффективный метод проверки систем высказыва­ ний на непротиворечивость.

Непротиворечивость теорий доказывалась и до того, как Гиль­ берт начал свои исследования в области обоснования математики. Если исследуемая область объектов была конечна, то ДЛЯ аксиом доказываемой теории искали подходящую модель, т. е. систему

141 Гuльберmд. Указ. соч. С. 349-350.

тематик не хочет совершить ошибку, должно быть исключено из посылок его рассуждений об основаниях математики. Ведь содер­ жательные умозаключения о действительных вещах и процессах никогда не обманывали человека, если не применялись произволь­ ные способы образования понятиЙ. Содержательный характер ма­ тематики отстаивали многие философы, в том числе и Кант. «Уже Кант учил - и это составляет существенную часть его учения, - что математика обладает независящим от всякой логики устойчи­ вым содержанием, и потому она никогда не может быть обоснована

только с помощью логики, вследствие чего, между прочим, стрем­

ления Дедекинда и Фреге должны были потерпеть крушение»145. Следовательно, в основание математики должны быть положены

содержательные суждения о конечных, максимально простых, на­

глядных и доступных прямому обозрению объектах. В этом залог

надежности и достоверности ее выводов.

С анализа каких именно объектов следует начинать обоснова­ ние математики? Гильберт отвечает - с анализа элементарных знаков. Они конечны, наглядны, легко распознаются, не нуждают­ ся в сведении к чему-либо более простому. Сами по себе знаки не имеют никакого смысла. Их смысл конвенциален, задается прави­ лами употребления. Знание свойств знаков и отношений, в кото­ рых они находятся, возникает интуитивно. Из знаков математик конструирует по определенным правилам формулы, символизи­ рующие его рассуждения. В итоге любой математический текст можно представить в виде доступной быстрой проверке совокуп­ ности формул.

Подобная формализация не просто замещает мысли последова­

тельностями знаков, она сводит к минимуму начальные элементы математических рассуждений, предотвращает появление противоре­ чий и делает легко обозримой структуру доказательства. «... В нашем представленииуже должно быть дано нечто, а именно определен­ ные внелогические конкретные объекты, которые существуют на­ глядно, в качестве непосредственныхпереживанийдо какого бы то ни было мышления... Это - та философская установка, которую я считаю необходимой как для математики, так и для всякого научно­ го мышления, понимания и сообщения. В частности, в математике

145 Гильберт Д. Указ. соч. С. 351.

138 Глава 5

бессмысленным, то единственный выход в этой ситуации состоит в

доказательстве невозможности возникновения противоречия при

предположении, что теория истинна.

Финитное обоснование математики

Логико-математический смысл математики, построенной в со­ ответствии с допущением финитности, Гильберт объясняет так: «Основная мысль моей теории доказательства такова: все высказы­

вания, которые составляют вместе математику, превращаются в

формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул. Эти формулы отличаются от формул математики только тем, что в них, кроме обычных знаков, встречаются также и логи­ ческие знаки... Некоторыеопределенныеформулы, которые служат фундаментом этого формалыiго построения математики, называ­ ются аксиомами. Доказательствоесть фигура, которая должна на­

глядно предстать перед нами; она состоит из выводов, делаемых

согласно схеме [modus ponens), в которой каждая посылка... каж­ дый раз является либо аксиомой, либо получается из аксиомы пу­ тем подстановки, либо совпадает с полученной ранее из доказа­ тельства формулой или получается из такой формулы с помощью подстановки. Формулу мы будем называть доказуемой, если она либо является аксиомой,либо конечной формулойнекоторогодока­ зательства»149.

Как отмечалось, финитный подход требует ограничить матема­ тическую мысль объектами, данными в непосредственном созерца­ нии еще до всякого мышления, и такими операциями с этими объ­ ектами и способами рассуждения, которые не требуют привлечения абстрактных понятий, включая допущения о завершенных беско­

нечных последовательностях.

Рассмотрим на примере арифметики, какие объекты (знаки) яв­ ляются для нее исходными, какие финитные высказывания об этих объектах допустимы и какие методы конструирования и рассужде­

ния приемлемы.

Исходный объект арифметики - цифра 1. Она символизирует число, называемое единицей. Операция порождения - приписыва-

149 ГWlьберmд. Указ. соч. С. 366-367.