- •050100 – Педагогическое образование
- •Цель дисциплины.
- •Место дисциплины в структуре ооп:
- •3. Требования к результатам освоения этой дисциплины
- •3.2. Матрица соотнесения разделов учебной дисциплины и формируемых компетенций
- •4. Объем дисциплины
- •4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Распределение часов по темам и видам учебной работы
- •5. Содержание дисциплины
- •5.1. Содержание разделов дисциплины
- •5.2. Содержание семинарских и практических занятий
- •7. Структура и содержание самостоятельной работы студентов
- •План-график самостоятельной работы
- •Структура и трудоемкость самостоятельной работы студентов
- •7.3. Тематика рефератов/курсовых работ и методические рекомендации по их выполнению
- •1. Творцы теории алгоритмов.
- •2. Алгоритмы поиска.
- •3. Неразрешимость логики первого порядка.
- •4. Нестандартные модели арифметики.
- •5. Метод диагонализации в математической логике.
- •6. Машины Тьюринга и невычислимые функции.
- •7. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции.
- •8. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты математической логики.
- •9. Разрешимость арифметики сложения.
- •10. Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики.
- •Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории.
- •12. Логическая игра.
- •13. Логика второго порядка и определимость в арифметике.
- •14. Интерполяционная лемма Крейга и ее приложения.
- •7.4. Примерные контрольные и самостоятельные работы по дисциплине
- •Постройте комбинационную схему, реализующую функцию
- •8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
- •8.1. Основная литература
- •8.2. Дополнительная литература
- •8.4. Электронные материалы
- •1. Сайт профессора кафедры математической логики и теории алгоритмов мгу им. Ломоносова Пентуса м.Р.:
- •9. Содержание и порядок проведения входного и текущего контроля, промежуточной аттестации
- •9.1. Содержание и формы проведения входного контроля
- •Содержание и формы текущего контроля знаний
- •9.3. Содержание и формы промежуточной аттестации
5. Метод диагонализации в математической логике.
В теории алгоритмов, математической логике, теории множеств и других разделах математики широко применяется метод диагонализации, в основе которого лежит возможность построения антидиагонального счетного множества для любой последовательности счетных множеств. Цель данной работы – изучить метод диагонализации и с его помощью построить примеры невычислимых функций. Рекомендуется следующий план работы:
1. Рассмотреть понятие счетного множества и изучить метод диагонализации (/1/, с. 12-30).
2. Рассмотреть понятие машины Тьюринга и методом диагонализации построить пример невычислимой функции (/1/, с. 36-45, 66-74).
3. Рассмотреть проблему остановки машины Тьюринга и с помощью тезиса Черча доказать ее неразрешимость (/1/, с. 47-48, 74-76).
4. Рассмотреть понятие диагонализации выражения и доказать лемму о диагонализации и теорему Черча о неразрешимости (/1/, с. 228-235).
5. Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов /1/ и решить задачи 3.9, 3.10 из упражнения на стр. 45-48 и задачи 5.1-5.4 из упражнения на стр. 76-77 в книге /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы:
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. – М.: Мир, 1994.
6. Машины Тьюринга и невычислимые функции.
Машина Тьюринга и вычислимость являются фундаментальными понятиями теории алгоритмов. Цель данной работы – изучить основные свойства машины Тьюринга и с ее помощью построить невычислимую функцию.
Рекомендуется следующий план работы:
1. Разобрать такие основополагающие понятия теории алгоритмов,
как машина Тьюринга, вычислимая функция и тезис Черча (/1/, с. 36-54; /2/, с.228-229, 249-255).
2. Рассмотреть понятие продуктивности машины Тьюринга и доказать ее основные свойства (/1/, с. 46, 55-60; /2/, с. 12-25).
3. Доказать невычислимость функции – самоприменимость машины Тьюринга (/1/, с. 60-64).
4. Рассмотреть проблему останова машины Тьюринга и доказать ее неразрешимость (/1/, с. 47-48, 53-54, 64-65).
5. Разобрать решения всех примеров из литературных источников /1/,/2/ и решить задачи 3.1-3.10 из упражнения на стр. 45-48 в книге /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы:
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. – М.: Мир, 1994.
2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1971.
7. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции.
Рекурсивная функция и вычислимость являются фундаментальными понятиями теории алгоритмов. Цель данной работы – изучить вычислимость на абаке, вычислимость машиной Тьюринга и доказать их эквивалентность понятию рекурсивной функции.
Рекомендуется следующий план работы:
1. Разобрать такие основополагающие понятия теории алгоритмов, как машина Тьюринга, рекурсивная функция и тезис Черча (/1/, с. 36-54).
2. Рассмотреть понятие «обычного» компьютера, введенное Иоахимом Ламбеком и названное им абаком, доказать, что вычислимость функции абаком сводится к вычислимости ее машиной Тьюринга (/1/, с. 78-95).
3. Доказать, что рекурсивные функции вычислимы на абаках (/1/, с. 100-122).
4. Доказать, что вычислимые функции рекурсивны (/1/, с. 100-122).
5. Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книги /1/ и решить задачи 6.1- 6.4 из упражнения на стр. 96 в книге /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы:
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. – М.: Мир, 1994.