5. Содержание дисциплины

Раздел 1.Алгебра высказываний

Тема 1. Введение

Понятие о логике как науке. Этапы развития логики. Предмет математической логики. Роль математической логики в системе научного знания.

Тема 2. Высказывания и операции над ними.

Высказывания. Логические операции над высказываниями. Понятие формулы алгебры высказываний. Равносильность формул алгебры высказы­ваний. Таблица истин­ности формулы. Тавтологии.

Тема 3. СКНД, СДНФ

ДНФ и КНФ, построение табличным и аналитическим (с помощью равносильностей) способами. Совершенные формы.

Тема 4. Применение АВ

Применение алгебры высказываний к анализу рассуждений и описанию релейно–контактных схем.

Раздел 2. Исчисление высказываний

Тема 1. Построение теории ИВ.

Аксиоматическое построение логики высказываний. Аксио­мы и правила вывода. Вывод формул из гипотез.

Тема 2. Выводимость.

Теорема дедукции. Производные правила вывода.

Тема 3 . Критерии теории ИВ.

Непротиворечивость, полнота, разрешимость исчисления высказываний. Независимость аксиом.

Раздел 3. Логика предикатов

Тема 1 . Предикаты.

Предикаты (отношения) на множестве. Сигнатура. Формула логики предикатов данной сигнатуры. Кванторы. Свобод­ные и связанные переменные.

Тема 2. Модели

Алгебраическая система (модель) данной сигнатуры. Определение истинности фор­мулы логики предикатов данной сигнатуры на модели той же сигнатуры. Применение языка логики предикатов для записи матема­тических предложений.

Тема 3. Нормальные формы

Эквивалентные формулы логики предикатов. Общезначимость и выполнимость формул логики предикатов. Предварен­ная нормальная форма.

Раздел 4. Исчисления предикатов

Тема 1. Построение ИП.

Построение ИП данной сигнатуры. Логические аксиомы. Правила вывода. Вывод формул. Примеры выводимых формул. Теорема Геделя о полноте исчис­ления предикатов.

Тема 2. Формальные системы и их характеристики.

Метатеория формальных систем. Характеристики систем (полнота, противоречивость, разрешимость). Теорема Геделя о неполноте теорий первого порядка включая формальную арифметику.

Раздел 5. Рекурсивные функции

Тема 1 . Понятие алгоритма.

Интуитивное понятие алго­ритма. Свойства алгоритмов. Различные подходы к уточне­нию понятия алгоритма.

Тема 2. Рекурсивные функции.

Понятие частично-рекурсивных, рекурсивных и общерекурсивных функций. Базовые функции и базовые операции. Рекурсивность основных функции арифметики. Тезис Черча.

Раздел 6. Машины Тьюринга

Тема 1 .Машины Тьюринга.

Машина Тьюринга, ее устройство. Действия над машинами Тьюринга. Функции, вычислимые и невычислимые на машине Тьюринга.

Раздел 7. Общие вопросы теории алгоритмов.

Тема 1.Дополнительные вопросы теории алгоритмов.

Алгоритмически неразрешимые проблемы. Нумерации (Кантора, Геделя).