8. Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории.

Проблема разрешимости теорий имеет принципиальное значение для элемен­тарно аксиоматизируемых математических теорий. Цель работы – изучить методы доказательства разрешимости и не­разрешимости теорий, проиллюстрировав их применение на известных важных примерах.

Рекомендуется следующий план работы:

1. Разобрать такие основополагающие понятия теории моделей, как

язык узкого исчисления предикатов (УИП) и его интерпретация в моделях, рассмотреть известные конструкции над алгебраическими системами (/1/, с.103-118; /2/, с. 12-25).

2. Изучить методы доказательства разрешимости и неразрешимости

теорий (/2/, с. 265-275).

3. Рассмотреть известные примеры доказательства разрешимости и

неразрешимости аксиоматических теорий (/2/, с. 275-292; /3/).

4. Разобрать решения всех примеров из литературных источников /1/, /2/.

Литература, рекомендуемая для изучения темы:

1. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. – М.: Наука, 1979.

2. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. –

М.: Наука, 1980.

3. Рабин М.О. Разрешимые теории. В кн.: Справочная книга по

математической логике, ч.3. Теория рекурсии. – М.: Наука, 1982. – с. 77-111.

4. Ершов Ю.Л., Лавров И.А., Тайманов А.Д., Тайцлин М.А.

Элементарные теории // УМН, 1965, 20, № 4, с. 37-108.

12. Логическая игра.

В работе предлагается осветить символический и графический методы решения логических задач. Рекомендуется следующий план работы.

1. Рассмотреть основные понятия алгебры высказываний и логики предикатов (/1/, с.10-35, 122-134).

2. Изучить приложение алгебры высказываний и логики предикатов к логико-математической практике (/1/, с. 52-62, 168-182).

3. Изучить кванторные операции над предикатами (/1/, с. 134-159).

4. Рассмотреть решение "логических" задач на языке символов (/3/, с.

60-65).

5. Разобрать графический способ решения задач подобного рода (/2/, с.

9-56).

Разобрать решения всех задач из цитированных выше разделов указанных литературных источников и решить задачи 3.58-3.61 из книги /3/. Выполнить 30 заданий из упражнений 1-91 на с. 57-60 книги /2/.

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1. . Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.

2. . Кэрролл Л. Логическая игра: Пер. с англ. Ю.А. Данилова. - М.: Наука, 1991. (Б-ка "Квант"; Вып. 73).

3. . Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике: Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак-в пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1986.

13. Логика второго порядка и определимость в арифметике.

Логика второго порядка существенно отличается от логики первого порядка и позволяет всесторонне исследовать такую фундаментальную проблему математической логики, как определимость арифметической истины. В курсовой работе необходимо изучить основные методы логики второго порядка и с их помощью проанализировать понятие определимости в арифметике. Рекомендуется следующий план работы.

1. Изучить основные понятия логики второго порядка и проанализировать ее главные отличия от логики первого порядка (/1/, с. 261­273).

2. Рассмотреть понятие определимого в теории множества и исследовать проблему определимости множеств предложений первого порядка, истинных в стандартной модели арифметики (/1/, с. 273, 274-280).

3. Рассмотреть введенный П. Коэном метод вынуждения и доказать с его помощью теорему Дж. Аддисона о неопределимости в арифметике класса множеств, определимых в арифметике (/1/, с. 281-289).

Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книги /1/ и решить задачи 18.1-18.4 из упражнения на стр. 272-273 и задачи 20.1-20.10 из упражнения на стр. 289 в книге /1/.

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.