14. Интерполяционная лемма Крейга и ее приложения.

Интерполяционная лемма Крейга дает положительное решение следующей важной задачи логики узкого исчисления предикатов (УИП): если из предложения А следует предложение С, то существует предложение В, которое следует из А, из которого следует С и которое содержит лишь нелогические символы, входящие как в А, так и в С. В курсовой работе необходимо изучить доказательство интерполяционной леммы Крейга и рассмотреть ее приложения к задаче о непротиворечивости объединения теорий и к задаче об определимости понятий теории. Рекомендуется следующий план работы.

1. Разобрать доказательство интерполяционной леммы Крейга (/1/, с. 308-318).

2. Доказать теорему Робинсона о непротиворечивости объединения теорий (/1/, с. 319-322).

Выполнить упражнение на с. 327 в книге /1/.

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.

7.4. Примерные контрольные и самостоятельные работы по дисциплине

1. Индивидуальная работа по разделу «Алгебра высказываний»

Вариант 1.

1. Упростить формулу .

2. Данное высказывание «Он и жнец, и швец, и на дуде игрец» записать в виде формулы логики высказываний. Построить отрицание данного высказывания в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.

3. Установить, является ли данное рассуждение правильным, (проверить, следует ли заключение из конъюнкции посылок):

«Если курс ценных бумаг растет, или процентная ставка снижается, то падает курс акций. Если процентная ставка снижается, то либо курс акций не падает, либо курс ценных бумаг не растет. Курс акций понижается. Следовательно, снижается процентная ставка».

2. Индивидуальная работа по разделу «Логика предикатов»

Вариант 1.

1. Установить, является ли данное выражение формулой, а если да, то определить, какие переменные в ней свободные, а какие связанные.

2. Даны предикаты: “ торговец подержанными автомобилями”; и “ нечестный человек”. Записать словами предложенную формулу .

3. Данное суждение «Не всякое действительное число является рациональным» записать в виде формулы логики предикатов. Построить отрицание данного суждения в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.

4. Найти приведенную и нормальную формулы для данной формулы .

3. Итоговая контрольная работа по темам «Алгебра и исчисление высказываний»

Вариант 1.

1. Используя основные равносильности, найдите ДНФ и СДНФ формулы

2. Используя табличный метод, найдите СНДФ формулы

3. Подберите формулу A так, чтобы формула F тождественно равнялась 1:

F = .

4. Постройте комбинационную схему, реализующую функцию

   x	Y	z	f	X	y	z	f
   0	0	0	1	1	0	0	1
   0	0	1	0	1	0	1	0
   0	1	0	1	1	1	0	1
   0	1	1	0	1	1	1	1

5. Докажите формулы исчисления высказываний, используя производные правила вывода:

а) ├

б) ├

4. Итоговая контрольная работа по темам «Логика и исчисление предикатов»

Вариант 1.

1. Пусть N = {0,1,2,...} - множество натуральных чисел с предикатами, соответствующими сложению и умножению:

2. Напишите формулу логики предикатов, истинную на N тогда и только тогда, когда z делится на x + y.

3. Запишите на языке логики предикатов: прямые x и y имеют общую точку, лежащую в плоскости z.

4. Докажите выводимость формулы: ├

5. Является ли тождественно истинной формула:

?

6. Найдите предваренную нормальную форму формулы и ее отрицания:

а) ; б)

5. Индивидуальная работа по разделу «Рекурсивные функции»

Вариант 1.

1. Выяснить, какая функция является результатом операции суперпозиции:

а) f₁(x_1, x₂)= x₁+ x₂, f₂(x_1, x₂)= x₁ x₂, f₃(x_1, x₂)= x₁+ x₂ + x₁ x₂ в

φ(y₁, y₂, y₃)= y₁+ y₂ - y₃;

б) О(x) = 0 в S(x) = x +1;

в) S(x) = x +1 в О(x) = 0.

2. Получить из базовых функций с помощью операции суперпозиции следующие функции:

а) ψ(x)= x + а;

б) ψ(x)= 2x.

3. Какой аналитический вид имеет функция φ, которая получена операцией рекурсии из функций:

а) f₁(x) = х и f₂(x, y, z) = z + 1;

б) f₁(x) = 0 и f₂(x, y, z) = x + z.

6. Индивидуальная работа по разделу «Машины Тьюринга»

Вариант 1.

1. Дано число n в восьмеричной системе счисления. Постройте машину Тьюринга, которая бы увеличивала данное число на единицу.

2. Дана десятичная запись натурального числа n > 1. Постройте машину Тью­ринга, которая уменьшала бы данное число на 1. При этом запись числа n – 1 не должна содержать левый нуль. Например, 100 – 1 = 99, а не 099. Начальное по­ложение головки – правое.

3. Построить машину Тьюринга, вычисляющую функцию

4. Построить машину Тьюринга, вычисляющую функцию , равную остатку от деления х на 2.

7. Контрольная работа по разделу «Рекурсивные функции и машины Тьюринга»

Вариант 1.

1. Какой аналитический вид имеет функция φ, которая получена операцией рекурсии из функций:

а) f₁(x) = х и f₂(x, y, z) = z + 5;

б) f₁(x) = х и f₂(x, y, z) = x + y + z;

в) f₁(x, y) = хy и f₂(x, y, z, s) = x + y + z+ s.

2. Какой аналитический вид имеет функция φ, которая получена операцией рекурсии из функций:

а) f₁(x) = х и f₂(x, y, z) = z + 1;

б) f₁(x) = 0 и f₂(x, y, z) = x + z;

в) f₁(x) = х и f₂(x, y, z) = x + y + z;

г) f₁(x, y) = хy и f₂(x, y, z, s) = x + y + z+ s.