- •050100 – Педагогическое образование
- •Цель дисциплины.
- •Место дисциплины в структуре ооп:
- •3. Требования к результатам освоения этой дисциплины
- •3.2. Матрица соотнесения разделов учебной дисциплины и формируемых компетенций
- •4. Объем дисциплины
- •4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Распределение часов по темам и видам учебной работы
- •5. Содержание дисциплины
- •5.1. Содержание разделов дисциплины
- •5.2. Содержание семинарских и практических занятий
- •7. Структура и содержание самостоятельной работы студентов
- •План-график самостоятельной работы
- •Структура и трудоемкость самостоятельной работы студентов
- •7.3. Тематика рефератов/курсовых работ и методические рекомендации по их выполнению
- •1. Творцы теории алгоритмов.
- •2. Алгоритмы поиска.
- •3. Неразрешимость логики первого порядка.
- •4. Нестандартные модели арифметики.
- •5. Метод диагонализации в математической логике.
- •6. Машины Тьюринга и невычислимые функции.
- •7. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции.
- •8. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты математической логики.
- •9. Разрешимость арифметики сложения.
- •10. Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики.
- •Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории.
- •12. Логическая игра.
- •13. Логика второго порядка и определимость в арифметике.
- •14. Интерполяционная лемма Крейга и ее приложения.
- •7.4. Примерные контрольные и самостоятельные работы по дисциплине
- •Постройте комбинационную схему, реализующую функцию
- •8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
- •8.1. Основная литература
- •8.2. Дополнительная литература
- •8.4. Электронные материалы
- •1. Сайт профессора кафедры математической логики и теории алгоритмов мгу им. Ломоносова Пентуса м.Р.:
- •9. Содержание и порядок проведения входного и текущего контроля, промежуточной аттестации
- •9.1. Содержание и формы проведения входного контроля
- •Содержание и формы текущего контроля знаний
- •9.3. Содержание и формы промежуточной аттестации
Место дисциплины в структуре ооп:
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» относится к вариативной части профессионального цикла.
Для освоения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в ходе изучения дисциплин: «Алгебра», «Геометрия», «Математический анализ», «Теория функций действительного переменного», «Теория чисел», «Информатика».
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» является логической основой понимания сущности доказательств и их логического строения, изучения аксиоматических математических теорий из разных областей математики, а также теоретическим обоснованием логической составляющей обучения математике. Алгоритмический подход позволяет изучать математические теории в целом.
3. Требования к результатам освоения этой дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих специальных компетенций СК-1, СК-2, СК-3.
№ |
Общая формулировка |
Детализация |
СК-1 |
Овладение содержанием фундаментальных математических дисциплин (овладение основными понятиями, идеями и принципами, освоение методов фундаментальных математических теорий) |
- владеет основными понятиями алгебры высказываний (АВ) и предикатов, исчисления высказываний (ИВ) и предикатов (ИП) (высказывания, действия над высказываниями (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность), таблицы истинности, формулы АВ, равносильных формул, ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ; аксиомы и их свойств (полнота, независимость) исчисления, правила вывода из аксиом, теорема дедукции, выводимой формулы, связь АВ и ИВ, свойства ИВ (непротиворечивость, полнота); предиката, квантора, нормальных форм и формул; формул ИП, аксиомы и их свойства ИП, выводимые формулы, теорема дедукции, свойства ИП (непротиворечивость, полнота; алгоритма, вычислимой функции, машины Тьюринга, действии над машинами, тезис Черча, тезис Тьюринга, рекурсивной функции (частично рекурсивной и примитивно рекурсивной)); - имеет навык равносильных преобразований формул АВ, применения АВ для решения текстовых задач и анализа РКС, доказательства выводимости в построенном исчислении формул (теорем); -способен уточнить понятие «алгоритма» с помощью рекурсивных функций и машин Тьюринга; -имеет навык построения машин Тьюринга для решения задач и действиями над ними; - умет доказывать рекурсивность основных функций. |
СК-2 |
Овладение методом математического моделирования (способность к построению математических моделей, выбору и применению соответствующему модели математического метода решения задачи и интерпретации результатов) |
- владеет аксиоматическим методом построения математических дисциплин на примерах ИВ и ИП; - готов исследовать различные системы на такие характеристики как полнота, непротиворечивость, разрешимость; - способен показать алгоритмическую неразрешимость проблемы останова, самоприменимости и др. |
СК-3 |
Понимание методологической и историко-культурной функций математики
|
- способен применить аксиоматический метод к анализу произвольной математической теории; - имеет навык применения языка логики предикатов к анализу математических текстов (запись определения, предложения, теоремы) и построения противоположных. обратных утверждений данному и применять доказательство от противного; - знает методику формулирования необходимых и достаточных условий; - владеет навыком преобразований высказываний для анализа релейно-контактных схем и решения текстовых задач. |
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- этапы становления математической логики как особой математической дисциплины, начиная с логики Аристотеля; ее роль в развитии современной вычислительной техники;
- способы формализации систем и понятия «алгоритма»
- законы логической равносильности;
- компоненты (аксиомы и правила вывода) и характеристики (свойства) исчисления высказываний и исчисления предикатов;
- методы математической логики для изучения математических доказательств и теорий;
- различные определения понятия алгоритма;
- формулировку алгоритмически неразрешимых проблем;
- знать аксиоматический метод построения класса вычислимых функций;
уметь:
- распознавать тождественно истинные формулы алгебры высказываний и логики предикатов;
- применять средства языка логики предикатов для записи и анализа математических предложений;
- строить простейшие выводы в исчислении высказываний и исчислении предикатов, использовать эти модели для объяснений строения математических доказательств;
- строить машины Тьюринга для решения простых алгоритмических задач;
- доказывать вычислимость простейших функций в теории алгоритмов;
владеть:
- техникой равносильных преобразований логических формул;
- методами распознавания тождественно истинных и равносильных формул;
- дедуктивным аппаратом изучаемых логических исчислений;
- алгоритмом нумерации кортежей;
- алгоритмом разложения вычислимых функций в простейшие;
- способами получения из основных рекурсивных функций доказательств рекурсивности (примитивной, общерекурсивной и частичной) функций.
приобрести навыки:
- находить совершенные формы; проверять правильность рассуждений;
- выполнять упрощения формул алгебры высказываний с помощью основных равносильностей и построения таблиц истинности;
- составлять и упрощать комбинационные схемы с заданными условиями работы;
- доказывать выводимость формул исчисления высказываний;
- записывать в виде формул логики предикатов содержательные математические предложения;
- проверять формулы на общезначимость и выполнимость;
- доказывать рекурсивность той или иной функции, уметь строит из функций с помощью операций минимизации, постановки и рекурсии иные функции.