4.Представление пространственных форм

Во многих приложениях машинной графики возникает потребность в представлении трехмерных форм: при проектировании самолетов, при восстановлении трехмерных тел по изображениям их поперечных сечений, по­строенных с помощью машинной томографии, при автоматической сборке и во многих других. Нам уже из­вестно, как изо­бражаются пространственные объекты, когда их удается представить в виде последова­тельности отрезков прямых, заданных в мировых координатах. Совокупность отрезков не является адекватным описанием объекта, поскольку отрезки сами по себе не определяют поверхностей. В то же время информация о поверхностях необходима для проведения вычислений, связанных со стиранием скрытых частей изображения, для оп­ределения объемов и т. д. Таким образом, мы приходим к выводу, что для описания трехмерных форм не­обходимы поверхности – примитивы более высокого уровня, чем отрезки.

Мы рассмотрим внимание на двух широко распространенных трехмерных представле­ниях поверхностей в про­странстве: полигональных сетках и параметрических бикубических кусках. Полигональной сеткой является сово­купность связанных между собой плоских многоугольников. Наружную форму большинства зданий можно легко и естественно описать с помощью полигональной сетки (так же, как мебель и комнаты). Полигональные сетки применяются также для представления объектов, ограниченных криволинейными поверхностями. Однако недос­татком этого метода является его при­близительность. Однако видимые ошибки в таком представлении можно сделать сколь угодно малыми, используя все большее число многоугольников для улучшения кусочно-линейной аппроксимации объекта. Однако это приведет к дополнительным затратам па­мяти и вычислительного времени для алгоритмов, работающих с таким представлением.

Параметрические бикубические куски описывают координаты точек на искривленной поверхности с помощью трех уравнений (по одному для х, у и z). Каждое из уравнений имеет две переменные (два параметра), причем по­казатели степени при них не выше третьей (отсюда название бикубический). Границами кусков являются пара­метрические кубические кривые. Для представления поверхности с заданной точностью требуется значительно меньшее число бикубических кусков, чем при аппроксимации полигональ­ной сеткой. Однако алгоритмы для ра­боты с бикубическими объектами существенно сложнее алгоритмов, имеющих дело с многоугольниками.

При использовании обоих методов трехмерное тело представляется в виде замкнутой поверхности.

4.1.Полигональные сетки

Полигональная сетка представляет собой совокупность ребер, вершин и многоугольни­ков. Вершины соединяются ребрами, а многоугольники рассматриваются как последовательности ребер или вершин. Сетку можно представить несколькими различными способами, каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. Для оценки оптимальности представления используют следующие критерии:

• Объем требуемой памяти;

• Простота идентификации ребер, инцидентных вершине;

• Простота идентификации многоугольников, которым принадлежит дан­ное ребро;

• Простота процедуры поиска вершин, образующих ребро;

• Легкость определения всех ребер, образующих многоугольник;

• Простота получения изображения полигональной сетки;

• Простота обнаружения ошибок в представлении (например, отсутствие ребра или вершины или многоугольника).

Рассмотрим три способа описания полигональных сеток.