3.3.Проекции

В общем случае проекции преобразуют точки, заданные в системе коорди­нат размерностью n, в системы коор­динат размерностью меньше, чем n.

Будем рассматривать случай проецирования 3 измерений в 2. Проекция трехмерного объекта (представленного в виде совокупности точек) строится при помощи прямых про­екционных лучей, которые называются проекторами и которые проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют про­екцию.

Рис. 3.32 Центральная и параллельная проекции

Определенный таким образом класс проекций существует под названием плоских гео­метрических проекций, т. к. проецирование производится на плоскость, а не на искрив­ленную поверхность и в качестве проекторов ис­поль­зуется прямые, а не кривые линии.

Многие картографические проекции являются либо не плоскими, либо не геометриче­скими.

Плоские геометрические проекции в дальнейшем будем называть просто проекциями.

Проекции делятся на два основных класса:

• параллельные проекции (аксонометрические)

• центральные проекции

Рис. 3.33 Классификация проекций

Параллельные проекции делятся на два типа в зависимости от соотношения между на­правлением проецирования и нормалью к проекци­онной плоскости.

1. Ортографические – направления совпадают, т. е. направление проеци­рования является нормалью к проек­ционной плоскости.

2. Косоугольные – направление проецирования и нормаль к проекционной плоскости не совпадают.

Рис. 3.34 Ортографические и косоугольные проекции

Наиболее широко используемыми видами ортографических проекций яв­ляется вид спе­реди, вид сверху(план) и вид сбоку, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям. Если проекционные плоскости не перпендикулярны глав­ным координатным осям, то такие проекции называются аксонометриче­скими.

При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность пря­мых, а углы изменяются; расстояние можно измерить вдоль каждой из глав­ных координатных осей (в общем случае с различными масштабными ко­эф­фициентами).

Изометрическая проекция – нормаль к проекционной плоскости (а следо­вательно и направление проецирование) составляют равные углы с каждой из главных координат­ных осей. Если нормаль к проекционной плоскости имеет координаты (a,b,c), то потре­буем, чтобы |a| = |b| = |c| или a=b=c, т. е. имеется 8 направлений (по одному в каж­дом из октантов), которые удовлетворяют этому условию. Однако существует лишь 4 различных изо­метрических проекции (если не рассматривать удаление скрытых линий), т.к. векторы (a, a, a) и (-a,-a,-a) определяют нормали к одной и той же про­екционной плоскости.

Изометрическая проекция обладает следующим свойством: все 3 главные координатные оси одинаково укора­чиваются. Поэтому можно проводить из­мерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом. Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (120°).

Рис. 3.35 Изометрическая проекция единичного куба

Косоугольные (наклонные) проекции сочетают в себе свойства ортографических проек­ций (видов спереди, сверху и сбоку) со свойствами аксонометрии. В этом случае проек­ционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объ­екта параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерить углы и рас­стояния. Про­ецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Отметим, что нормаль к проекционной плоскости и направление проецирование не совпадают.

Двумя важными видами косоугольных проекций являются проекции:

• Кавалье (cavalier) – горизонтальная косоугольная изометрия (воен­ная перспек­тива)

• Кабине (cabinet) – фронтальная косоугольная диметрия.

Рис. 3.36 Проекция Кавалье

В проекции Кавалье направление проецирование составляет с плоскостью угол 45. В результате проекция от­резка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т.е. укорачивание от­сутст­вует.

Рис. 3.37 Проекция Кабине

Проекция Кабине имеет направление проецирование, которое составляет с проекцион­ной плоскостью угол = arctg(½) (≈26,5°). При этом отрезки, пер­пендикулярные проекци­онной плоскости, после проецирования состав­ляют ½ их действительной длины. Проекции кабине являются более реали­стическими, чем проекции Кавалье, т. к. укорачи­вание с коэффициентом ½ больше согласуются с нашим визуальным опытом.

Центральная проекция любой совокупности параллельных прямых, кото­рые не парал­лельны проекционной плоскости, будет сходиться в точке схода. Точек схода бесконечно много. Если совокупность прямых парал­лельна одной из главных координатных, осей, то их точка схода называется главной точкой схода. Имеются только 3 такие точки, соот­ветствующие пересечениям главных координатных осей с проекционной плоскостью. Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а, следовательно, и от числа коорди­натных осей, которые пере­секают проекционную плоскость.

1) Одноточечная проекция.

Рис. 3.38 Одноточечная перспектива

2) Двухточечная проекция широко применяется в архитектурном, инже­нерном и про­мышленном проектировании.

3) Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, во-первых, по­тому, что их трудно кон­струировать, а во-вторых, из-за того, что они добавляют мало но­вого с точки зрения реалистичности по сравне­нию с двухточечной проекцией.