3.4.Математическое описание плоских геометрических проекций

Каждую из проекций можно описать матрицей 44. Этот способ оказывается удобным, поскольку появляется возможность объединить мат­рицу проецирования с матрицей пре­образования.

Центральная (перспективная) проекция получается путем перспектив­ного преобразо­вания и проецирования на некоторую двухмерную плоскость “наблюдения”. Перспек­тивная проекция на плоскость Z = 0 обеспечивается преобразованием:

[X Y Z H] = [x y z 1]* = [x y 0 (rz+1)]

Рис. 3.39 Вычисление одноточечной перспективы

или x* = = ;

y* = = ;

z* = = ;

где r = ;

Центр проекции находится в точке с координатами. (0,0,-k), плоскость про­ецирования Z = 0. Соотношения ме­жду x, y и x*, y* остается тем же самым. Рассматривая подобные треугольники получим, что

= или x* = ;

аналогично y* = .

Координаты x*, y* являются преобразованными координатами. В перспек­тивном проек­тировании преобразованное пространство не является евкли­довым, т.к. ортогональность осей не сохраняется. При k =  по­лучим аксо­нометрическое преобразование.

Аффинное преобразование есть комбинация линейных преобразований, сопровождае­мых переносом

Последний столбец в обобщенной матрице 44 должен быть равен , в этом случае H = 1.

Перспективному преобразованию может предшествовать произвольная по­следователь­ность аффинных преобра­зований. Таким образом, чтобы полу­чить перспективные изо­бражения из произвольной точки наблюдения вна­чале используют аффинные преобразования, позволяющие сформировать систему координат с осью Z вдоль же­лае­мой линии визирования. Затем при­меняется перспективное преобразование.

Аналогично перспективное преобразование когда картинная плоскость перпендику­лярна оси Z и совпадает с плоскостью Z = 1/r. Центр проекции находится в центре коор­динат.

[X Y Z H] = [x y z 1] * = [x y z (rz+1)] — одноточечная пер­спектива (точка схода Z).

— точка схода X;

Двухточечная (угловая) перспектива. Для получения двухточечной пер­спективы в общей матрице преобразования устанавливают коэффициенты p и q.

(x', y', z', 1) = (x, y, z, 1) =[x, y, 0, (px+qu+1)]

(x', y', z', 1) =

Такое преобразование приводит к двум точкам схода. Одна расположена на оси X в тоске ( , 0, 0, 1), другая на оси Y в тоске (0, , 0, 1).

Рассмотрим это преобразование на получение проекции единичного куба (рис. 3.15).

Рис. 3.40 Единичный куб для получения двухточечной про­екции

В результате получаем проекцию следующего вида.

Рис. 3.41 Двухточечная проекция единичного куба

=[x y z (px+qy+rz+1)] — трехточечная (косая) перспектива.

Для того, чтобы создать диметрическую проекцию, необходимо выпол­нить следующие условие:

sin²φ=sin²θ/(1- sin²θ).

Одним способом выбора sinθ является сокращение оси Z в фиксированное число раз. При этом единичный век­тор на оси Z, равный [0 0 1 1], преобра­зовывается к виду:

[X Y Z H] = [sinφ -cosφsinθ cosφcosθ 1]

или x* = sinφ

y*= - cosφ sinθ.

Таким образом, для диметрической проекции получаем:

φ = 20,705

θ = 22,208

Для образования изометрической проекции нужно в одинаковое число раз сократить все три оси. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие:

sin²φ=sin²θ/(1- sin²θ) и sin²φ=(1-2sin²θ)/(1- sin²θ).

Таким образом,

φ = 35,26439

θ = 45.

Рассмотрим теперь косоугольную проекцию, матрица может быть записана исходя из значений  и l.

Проекцией точки P(0,0,1) является точка P(l cos, l sin, 0), принадлежащая плоскости xy. Направление про­ецирования совпадает с от­резком РР, проходящим через 2 эти точки. Это направление есть Р-Р = (lcos, lsin, -1). Направление проецирования состав­ляет угол  с плоско­стью xy.

Теперь рассмотрим проекцию точки x, y, z и определим ее косоугольную проекцию (x_p y_p) на плоскости xy.

x_p = x + z(l cos)

y_p = y + z(l sin).

Т.о. матрица 44, которая выполняет эти действия и, следовательно, опи­сывает косоугольную проекцию, имеет вид:

М_кос=

Рис. 3.42 Вычисление косоугольных проекций

Применение матрицы М_кос приводит к сдвигу и последующему проецированию объ­екта: плоскости с постоянной координатой z = z₁ перено­сятся в направлении x на z₁ l cos и в направлении y на z₁ l sin и затем про­ецируется на плоскость z = 0. Сдвиг со­храняет параллельных прямых, а также углы и расстояния в плоско­стях, параллельных оси z.

Для проекции Кавалье l = 1, поэтому угол  = 45. Для проекции Кабине l=½, а  = arctg(2) = 63,4. В случае ор­тографической проекции l = 0 и  = 90, поэтому матрица ор­тографического проецирования является частным случаем косоугольной проекции.