- •1.Лінійні операції над векторами та їх властивості. Скалярний добуток векторів його властивості та застосування.
- •Афінна система координат. Координати точок. Знаходження координат вектора
- •Полярна система координат. Перехід від полярної до прямокутної системи координат і навпаки
- •3. Пряма лінія в афінній системі координат
- •4. Рівняння площини в афінній системі координат
- •5. Пряма лінія у просторі
- •Взаємне розташування двох прямих у просторі
- •Взаємне розташування прямої і площини
- •6. Метричні задачі на пряму і площину
- •Гіпербола.
- •8.Еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди. Дослідження їх форм методом перерізів, їх побудова.
- •9. Циліндричні та канонічні поверхні, їх властивості. Класифіфкація поверхонь 2-го порядку.
- •10. Рух 1 і 2 роду. Класифікація рухів площини та їх аналітичне задання. Групи рухів та їх підгрупи.
- •11. Перетворення подібності. Гомотетія. Аналітичне задання подібності. Група подібності та її властивості.
- •12. Група афінних перетворень площини і її підгрупи.
- •13. «Начала» Евкліді. Проблема 5-го постулату. Огляд аксіоматики гільберта евклідової геометрії.
- •1. Аксіоми належності та наслідки з них :
- •2. Аксіоми порядку і деякі наслідки:
- •5. Аксіома паралельності (Плейфера).
- •14. Аксіоматика Вейля. Доведення несуперечності та повноти аксіоматики Вейля.
- •15. Геометрія Лобачевского. Основні факти. Несуперечливість системи аксіом площини Лобачевского незалежність V постулату.
- •16. Різні види рівняння кривої у просторі. Тригранник Френе.
- •17. Кривина та скрут просторової кривої. Формули Френе.
- •18. Поверхні в евклідовому просторі. Криволінійні координати на поверхні. Дотична площина і нормаль поверхні.
- •19. Перша та друга квадратичні форми поверхні та їх застосування.
- •20. Топологічні простори та їх основні властивості. Приклади. Предмет топології.
- •21.Ейлерова характеристика поверхні.Орієнтовні та неорієнтовні двовимірні многовиди. Рід многовида та число його контурів
- •22. Існування 5 типів правильних многогранників. Топологічна класифікація многогранників
10. Рух 1 і 2 роду. Класифікація рухів площини та їх аналітичне задання. Групи рухів та їх підгрупи.
Зупинимося на властивостях руху.
Рух переводить пряму у пряму, причому || прямі в || прямі.
Рух зберігає просте відношення трьох точок.
3. Рух зберігає поняття „лежати між”.
4.Рух переводить півплощину з границею l в півплощину з границею , де – образ прямої l.
5. Рух переводить промінь в промінь.
6. Рух переводить кут в рівний йому кут (так як переводить трикутник в рівний йому трикутник).
Перетворення площини зберіг. орієнтацію площини, якщо репер R і його образ однаково орієнтовані і змінює орієнтацію площини, якщо R і протилежно орієнтовані.
Коли рух орієнтація площини не змінює, то він наз. власним (рухом 1-го роду), якщо змінює – невласним (рухом 2-го роду).
Отримаємо аналітичне задання руху.
Нехай g – даний рух. Розглянемо на площині ортонормов. репер R= . Познач. (х, у) координати довільної т.М в цьому репері, а через ( ) координати її образа при рухові g в цьому ж репері R .
Одерж. аналіт. задання руху значить вираз. коор. т. в репері R ч/з х, у.
Так як рух g задано, то за теор2 ортонормов репер R= перейде в ортонормов. репер . , причому .
Отже, фактично одержуємо звичайну задачу перетвор. прямокут. с-ем коор.: т. в старому репері R має координати , а в новому репері – х, у. Потрібно виразити через х, у.
Такі формули мають вигляд:
де , якщо репери R і однаково орієнтовані, тобто при рухах першого роду, і , при рухах другого роду.
Класифікацію рухів площини провед. в залеж. від наявності інваріантних точок і прямих, і одержимо аналітичне задання конкретних рухів.
Інваріантна точка (нерухома) перетворення – це точка, яка переходить в себе при даному перетворенні. Інваріантна пряма (нерухома) – це пряма, кожна точка якої переходить в точку цієї ж прямої при даному перетворенні .
Власні рухи:
а) тотожне перетворення. При такому перетвор. повороту немає, отже і перенес. немає, тому . Підстав. ці знач. в ф-лу (1) отрим. :
. Тобто інваріантними залишаються всі точки і всі прямі площини.
б) поворот на . Нехай центром обертання є т.О(0,0). Тоді , і маємо аналітичне задання :
Інваріантною є єдина точка – точка навколо якої викон. обертання. Інваріантних прямих немає.
в) центральна симетрія. Тут . Нехай центром симетрії є т.О(0,0), тоді . Отрим. з ф-ул (1) аналіт. задання такої симетрії:
Інваріантна точка – центр симетрії. Інваріантні прямі – прямі, що проходять через центр симетрії.
г) паралельне перенесення. Маємо Аналітичне задання:
Інваріантних точок немає, інваріантні прямі – прямі, що паралельні до .
Невласні рухи:
а) осьова симетрія. Повороту немає, тому . Якщо , то отримаємо осьову симетрію відносно осі ОХ:
Інваріантні точки – всі точки вісі симетрії. Інваріантні прямі – сама вісь симетрії і всі прямі, які перпендикулярні до неї.
б) ковзна симетрія (симетрія відносно прямої, а потім перенесення на паралельний до цієї прямої).
Тут , і якщо розг. осьову симетрію відносно вісі ОХ, то отримаємо :
Інваріантні точки – точки вісі симетрії, інваріантна пряма – вісь симетрії.
Нам відомо, що всі перетворення площини утворюють групу . Позначимо D – множину всіх рухів площини. Так як рухи площини – це перетворення площини, то для того, щоб вони утворювали групу, згідно теор1, досить перевірити дві умови: замкненість і існув обернено елемента на множині рухів.
Перевіримо замкненість: Операція тут – композиція рухів. Потрібно показати, що композиція будь-яких двох рухів є рух.
Розг дві точки А і В площини. Нехай рух g відображає їх в точки і . Тоді за означенням руху . Нехай рух f відображає точки і в точки і відповідно, тоді . Отже, . Таким чином послідовне виконання двох рухів g і f, тобто їх композиція – теж рух, так як зберігає відстань між точками.
Очевидно, що для будь-якого руху існує обернений рух . Тому всі рухи площини утвор. групу D, яка є підгрупою групи .
Розг. множину всіх власних рухів площини. Очевидно, що композиція двох власних рухів є власним рухом (орієнтація площини не змінюється) і для будь-якого власного руху g існує обернений (так як для всіх рухів площини існують обернені), отже, множина утвор. групу, яка є підгрупою групи D.
Невласні рухи не утвор. групу, так як не викон. перша умова (замкненість). Дійсно, послідов. викон.двох невласних рухів буде власним рухом.
Нехай Т – множина всіх || переносів площини. Тоді Т – підмножина групи власних рухів . Так як композиція двох || переносів є п|| перенос і для будь-якого переносу на вектор існує обернений то Т – група переносів площини.
Отже, всі || перенесення утвор. групу Т – підгрупу груп D і . Неважко перевірити, що і всі повороти навколо фіксованої т. утвор. групу, підгрупу і D. Всі ці групи нескінченні, так як мають нескінчен. число елементів.
Існують і скінченні підгрупи групи рухів.
Розглянемо – множину всіх рухів площини, які переводять фігуру F в себе.
Очевид., що якщо рух f відображу. фігуру F в себе і рух g відображу. F в себе, то і послідовне викон. рухів f і g (f*g) відображу. фігуру F в себе, тому операція замкнена (1-ша умова).
Ясно також, що для будь-якого руху, що відображу. фігуру F в себе, існує обернений елемент (рух назад) який відображу. F в себе (2-га умова).
Отже, – група.
Якщо містить елементи відмінні від тотожн. перетвор., то вона наз.групою симетрії фігури F, а її елементи – симетріями цієї фігури.
Якщо F – коло або смуга, то – нескінченна. Якщо ж F – рівнобед. трикутник, то склад. з 2-х елементів. Якщо F – рівносторон. трикутник, то склад. з 4-х елементів, F – квадрат , то містить 5 елементів.
Можна розг. і групу поворотів правильного n–кутника. Її елементи – повороти многокутнока навколо його центра О, які відображ. многокутник в себе. Ця група склад.з степенів одного з своїх елементів (циклічна).