5. Пряма лінія у просторі

Так як і на площині пряму лінію у просторі можна задати двома точками або точкою і направляючим вектором. Крім того, її можна задати як перетин двох площин.

1. Канонічні рівняння прямої (за точкою і направляючим вектором)

Нехай в афінній с-мі коор.пряма проходить через т.М₀ (x₀,y₀,z₀) і має направляючий вектор =(α,β,γ). Виберемо на прямій довільну т.М (x,y,z) і розглянемо вектор =(x-x₀ ,y-y₀ ,z-z₀). Очевидно, що || , тому за теор7 їх координати пропорційні: . (42)

Якщо одна із координат направляючого вектора, наприклад, α=0, то (42) можна записати: .

Аналогічно, якщо β=0 або γ=0.

Якщо α=β=0, то отримаємо . Аналогічно для β=γ=0 та α=γ=0.

Відмітимо, що в останньому випадку ми отримали пряму лінію, задану як перетин двох площин, які паралельні до координатних площин.

2. Рівняння прямої за двома точками

Нехай пряма проходить через точки М₁(x₁,y₁,z₁) і М₂(x₂,y₂,z₂). Тоді вектор = – є направляючим вектором прямої. Скориставшись р-ням (42) отримаємо: . (43)

3. Параметричні рівняння прямої

Нехай пряма задана точкою М₀ (x₀,y₀,z₀) і направляючим вектором =(α,β,γ). Виберемо ще одну довільну точку прямої М (x,y,z) і розглянемо вектор =(x–x₀,y–y₀,z–z₀). || , тому за теор1 =t . Перейшовши до координат, отримаємо:

x–x₀  = α t ; y–y₀ = β t; z–z₀ = γ t, або:

(44)

4. Рівняння прямої, заданої як перетин двох площин.

Розглянемо дві площини, задані р-нями α: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 і β: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, причому їх нормальні вектори неколінеарні (умова перетину), отже, коефіцієнти біля змінних в рівняннях площин не пропорційні. Перетин таких площин визначатиме пряму, яку можна задати системою:

, (45)

причому = (   ) є направляючим вектором прямої.

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Нехай задано прямі l₁ і l₂, які визначаються відповідно: l₁ точкою M₁ і направляючим вектором ₁, а l₂ точкою M₂ і направляючим вектором ₂.

Прямі у просторі можуть бути розташовані таким чином:

1. Співпадають: Тоді ₁ || ₂ || (Колінеарність векторів перевіряємо за теор7, яка стверджує, що у колінеарних векторів координати пропорційні).

2. Паралельні: ₁ || ₂, але не колінеарні з

3. Перетинаються: ₁  не колінеарний з ₂, і вектори ₁ , ₂ і компланарні. Тоді змішаний добуток векторів ( ₁, ₂, )=0).

4. Мимобіжні: Вектори ₁ , ₂ і некомпланарні (змішаний добуток ( ₁, ₂, ) не дорівнює нулю).

Взаємне розташування прямої і площини

Нехай маємо площину α: Ax+By+Cz+D=0 і пряму l, яка визначається точкою М₀(x₀,y₀,z₀) і направляючим вектором =(α,β,γ). Можна виділити три випадки взаємного розташування прямої і площини:

1. Пряма належить площині.

Розглянемо нормальний вектор площини =(А,В,С) і направляючий вектор =(α,β,γ). Очевидно, що  , отже, їх скалярний добуток · = 0. Крім того, довільна точка прямої повинна належати площині, тому координати т.М₀ повинні задовольняти рівняння площини: Ax₀+By₀+Cz₀+D=0.

2. Пряма паралельна до площини.

· = 0 і Ax₀+By₀+Cz₀+D0.

3. Пряма перетинає площину.

·  0.

Для того, щоб знайти точку перетину прямої і площини, необхідно скласти параметричні р-ня прямої і розв’язати с-му:

. Отримаємо параметр точки перетину. Підставивши його в рівняння прямої, знайдемо координати точки перетину.