12. Група афінних перетворень площини і її підгрупи.
Афінне
перетвор.– це перетвор.площини, яке
перевод. 3 точки
,
що належ. одній прямій, в три точки
,
що лежать на одній прямій і при цьому
зберіг. їх просте віднош.. Будь-яке
перетвор. подібності – це афінне
перетвор. оскільки при ньому пряма
переход. в пряму і зберігається віднош.
точок. Тому будь-який рух є афінним
перетвор. Афінне перетвор. пряму
переводить в пряму, || прямі в ||прямі,
півплощини в півплощини, промінь в
промінь, відрізок у відрізок, кут в кут.
Якщо точки А,В,С не належ.одній прямій,
вони є нерухом. точками афінного
перетвор.
,
то
-
тотожне перетвор. Будь-яке афінне
перетвор. або зберігає або змін. орієнтацію
площини: 1 роду – не змінює орієнтацію,
;2
роду – змінює,
.
Афінне
перетвор. можна задати ф-ми:
Доведемо, що множина афінних перетвор.А утворює групу.
Доведемо,
що якщо
.
Дійсно, оскільки
і
перетвор.,
то
- перетвор.. Але кожне з перетвор.
і
переводить
3 точки, що лежать на одній прямій, в 3
точки що лежать на одній прямій і зберігає
їх просте віднош., тому перетвор.
має ті ж властив., тобто є афінним.
.
Доведемо,
якщо
то
.
Дійсно, якщо точки А,В,С лежать на одній
прямій то їх образи
також належ. одній прямій, оскільки,
якщо припустити обернене, то знайдет.
такий репер
,
який в перетвор. переходить в 3 точки
А,В,С, які належ.ь одній прямій, що
неможливо. Тому
зберігає просте віднош. 3 точок.
Група Р
подібностей площини є підгрупою групи
А,
група D
рухів є підгрупою групи А.
Іншими підгрупами є: а) сукупність
всіх афінних перетворень 1 роду; б)
сукупність
всіх афінних перетворень, для яких
-
нерухома точка(група центро-афінних
перетворень); в)сукупність
всіх афінних перетворень, для яких пряма
складається з нерухомих точок.
13. «Начала» Евкліді. Проблема 5-го постулату. Огляд аксіоматики гільберта евклідової геометрії.
«Начала», яка розбивалась на 13 книг:
1)виклад теорії Δ-ків, | | прямих, умови рівно великості Δ-ків, мн-ків, теорема Піфагора;
2)Перетворення мн-ка в рівновеликий квадрат (алг. тотожність в геом.. формі);
3)Відомості про коло;
4)Вписані і описані мн-ки, побудова пр.n-кутників;
5)Теорія пропорцій;
6)Подібність мн-ків;
7, 8, 9) Арифметика в геом.. викладі. Т. про нескінч. мн-ни простих ч-л;
10) невимірні величини, теорія квадр. ірац.;
11, 12, 13) Основи стереометрії.
Постулати:
1.2 точки визн. пряму лінію;
2.Кожну необм. пряму можна необм. продовжити;
3.З любого
центра можна описати коло
радіуса;
4.всі прямі кути рівні між собою;
5.Якщо при перетині 2-х прямих 3-ю, сума внутр. одност. кутів < за 180, то ці прямі перетин. з тієї ст., де сума < 180.
Аксіоми:
1.Рівні окремо 3-му, рівні між собою.
2.Якщо до рівних додати рівні, то одерж. рівні.
5.Всяке ціле > частини.
7. Ті, що суміщаються, рівні між собою.
«Начала» мають недоліки:
1)озн-ня фіктивні, не використ.;
2)перелік постулатів є неповним;
3)при д-ні т-м посилання на наочні зображ.;
4)пит-ня неперервності прямої та кола не обгрунт.;
5)теорія вимірювання довжин не була викладена по суті.
Проблема V-го постулату.
Проблема: Пробували д-ти як т-му.
В 1-й
книзі 28 т-м д-ся без використання V-го
постулату. Евклід д-ть, що 2
прямі
до однієї прямої не
,
а значить є ||.
Якщо має місце, що ч\з т-ку можна провести
пряму, то V-й
постулат діє.
Відомі д-ня V-го постулату:
Перокл, Омар Хайям, Вайліс,. Це д-ня хибні, всі автори опирались на деякі твердж., які еквівалентні V-му постулату.
Аксіоматика Гілберта. Виділяє 3 типи геом. об’єктів: 1) точки; 2) прямі; 3) пл.-ни. Осн. неозн. відн-ня: 1) інцендентність (належність); 2) лежати «між» для 3-х т-к;; 3) конгруентність для кутів і відрізків.
Всього аксіом 20, розбиті на 5 груп:
1) аксіоми інцендентності; 2) аксіоми порядку (4); 3)аксіоми конгруентності; 4) аксіоми неперервності; 5) аксіоми ||-ті.