- •1.Лінійні операції над векторами та їх властивості. Скалярний добуток векторів його властивості та застосування.
- •Афінна система координат. Координати точок. Знаходження координат вектора
- •Полярна система координат. Перехід від полярної до прямокутної системи координат і навпаки
- •3. Пряма лінія в афінній системі координат
- •4. Рівняння площини в афінній системі координат
- •5. Пряма лінія у просторі
- •Взаємне розташування двох прямих у просторі
- •Взаємне розташування прямої і площини
- •6. Метричні задачі на пряму і площину
- •Гіпербола.
- •8.Еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди. Дослідження їх форм методом перерізів, їх побудова.
- •9. Циліндричні та канонічні поверхні, їх властивості. Класифіфкація поверхонь 2-го порядку.
- •10. Рух 1 і 2 роду. Класифікація рухів площини та їх аналітичне задання. Групи рухів та їх підгрупи.
- •11. Перетворення подібності. Гомотетія. Аналітичне задання подібності. Група подібності та її властивості.
- •12. Група афінних перетворень площини і її підгрупи.
- •13. «Начала» Евкліді. Проблема 5-го постулату. Огляд аксіоматики гільберта евклідової геометрії.
- •1. Аксіоми належності та наслідки з них :
- •2. Аксіоми порядку і деякі наслідки:
- •5. Аксіома паралельності (Плейфера).
- •14. Аксіоматика Вейля. Доведення несуперечності та повноти аксіоматики Вейля.
- •15. Геометрія Лобачевского. Основні факти. Несуперечливість системи аксіом площини Лобачевского незалежність V постулату.
- •16. Різні види рівняння кривої у просторі. Тригранник Френе.
- •17. Кривина та скрут просторової кривої. Формули Френе.
- •18. Поверхні в евклідовому просторі. Криволінійні координати на поверхні. Дотична площина і нормаль поверхні.
- •19. Перша та друга квадратичні форми поверхні та їх застосування.
- •20. Топологічні простори та їх основні властивості. Приклади. Предмет топології.
- •21.Ейлерова характеристика поверхні.Орієнтовні та неорієнтовні двовимірні многовиди. Рід многовида та число його контурів
- •22. Існування 5 типів правильних многогранників. Топологічна класифікація многогранників
18. Поверхні в евклідовому просторі. Криволінійні координати на поверхні. Дотична площина і нормаль поверхні.
Під елементарною поверхнею розуміють множину точок простору (фігуру), гомеоморфну відкритій плоскій області.
Проста поверхня - це фігура, в околі кожної точки якої вона є елементар. поверхнею.
Загальна поверхня - це фігура, яка одерж. локально-топологічним перетвор. простої поверхні.
Основою вивчення поверхні є елементарна поверхня.
Якщо в площині D ввести афінні координати и, v, а в просторі Ез – прямо кут. с-му коор. , то радіус-вектор є векторною ф-єю 2х змінних u, v.
Р-ня (1) наз. векторним р-ням поверхні.
Числа u і v повністю характериз. положення т.M на поверхні і наз. внутрішніми, криволінійними або гаусовими координатами на поверхні.
Перейшов. до коор. в базисі вектор. р-ні (1), одержимо параметрич. р-ня поверхні (2)
Поверхня наз. регулярною класу Сk (k≥1), якщо вона допус. регулярну параметриз., тобто задання р-нями (2) в параметрич. формі, де x(u,v), y(u,v), z(u,v) - k раз неперервні диферент. ф-ії, що задовол. умові
У випад. вектор. задания поверхні ця умова означ., що не колінеарний . При k=1 поверхня наз. гладкою.
Рівняння виду: наз. явним р-ням поверхні.
Очевидно, що від р-ня (3) легко перейти до параметрич., поклавши x=u,y=v або
В остан. р-ні роль кринолін. координат u , v відіграють х, у. У вектор. формі це р-ня приймає вигляд (3)
Всі точки поверхні, задан. р-ням (3), звичайні, адже , тобто не колінеарний
Неявне р-ня поверхні має вигляд F(x, y, z) = 0, (4), де функція F належить класу Ck (k≥1).
P-ня u-лінії має вигляд ,а v-ліиії- . Тоді - є вектор, дотичн. до координатної u-лінії, а – дотичн. до v-лінії, при цьому не колінеарний
Будь-яку криву на поверхні можна задати в криволін. с-мі коор. u, v за допом. параметрич. р-нь (*)
Векторне р-ня такої кривої матиме вигляд . Нехай M(u,v) - точка поверхні, а (*) - будь-яка крива, що проход. ч/з цю точку. Напрям дотичної до цієї кривої визнач. вектором . Для різних кривих, що проход. ч/з т.М, ф-ії і будуть різні, а і , - ті ж самі. Вектори є лінійн. комбінац. векторів і , а значить усі леж. в одній площині, щю визнач. т.M та векторами і . Ця площина наз. дотичною площиною поверхні в т.М.
Р-нями дотич. площини, що відповід. річним способам задання поверхні відпов. будуть:
Нормаллю до поверхні в т.M наз. пряма, що проход. ч/з цю точку перпендик. до дотичної площини. Очевидно, що вектор буде напрямним вектором нормалі та нормальним вектором дотичної площини.
Якщо поверхня задана неявним р-ням F(x,y,z) = 0, то
Нормалі задаються такими рівняннями:
19. Перша та друга квадратичні форми поверхні та їх застосування.
Нехай регулярна поверхня задана р-ням (*), а деяка регулярна лінія на цій поверхні. Тоді векторним р-ням цієї лінії буде . При цьому , де . Для кривої - де ds - диференціал довжини дуги кривої. Підставивши в останню рівність знач. , маємо
(1)
де
Квадратич.форма І наз. першою квадратич. формою поверхні або лінійним елементом поверхні Вона = квадрату диференціала дуги будь-якої кривої, яка проходить через задану т.M(u,v), напрям якої визнач. диференціалами du, dv.
Перша квадратична форма завжди додатньовизначена.
Якщо поверхня задана явним рівнянням z=z(x,y), то, вибравши в ролі кринолін. коор. змінні х,у, легко перейти до параметрич.р-нь х=х, у=у, z=z(x,y). Тоді
, а
(2)
Застосування.
1. Довж. дуги плоскої лінії (**), розташов. на поверхні (*), обчисл. за ф-ою
.
Для знаходження довж. кривої на поверхні досить знайти її першу квадратич. форму. У зв'язку з цим кажуть, що І квадратич. форма поверхні задає її метрику.
2. Кут між двома кривими. Нехай на поверхні задані 2 криві γ1 і γ2, які перетин. в т.М. Нехай дотичні до них визнач. векторами
Кут θ між кривими - це кут між напрямними векторами du і їх дотич., отже
(4)
Звідки . Для u-лінії du≠0, dv=0. Для v-лінії =0. ≠0. Тоді кут θ між 2ма координат. лініями обчисл. за ф-ою
(5) Звідки координатна сітка (u, v) на поверхні ортогональна ↔коли F=0.
3. Площа σ замкненої обл. D поверхні обчисл. так
(6)
Якщо поверхня задана явним р-ням z=z(x,y), то . Тоді
Сукупність властив. поверхні, які можна вираз. ч/з коефіц. її першої квадрат. форми наз. внутріш. геомет. поверхні.
Деформація поверхні, при якій вона не розтяг., не стиск., не розрив. і не склеюєт., наз. зганянням поверхні Оскільки при такій деформації зберіг. довжини всіх дуг на поверхні, отже, і диференціали цих дуг, то зберігатиметься і перша квадрат. форма. Тобто при згинанні поверхні зберіг. її внутр. геом., хоч просторова форма змін. Таким чином, перша квадрат. форма поверхні визнач. її з точністю до згинання.
Для однознач. визнач. поверхні як жорсткого тіла, тобто визнач. її з точністю до руху, потрібно задати для неї ще і так звану другу квадратичну форму
, де
а - одиничний вектор нормалі до поверхні.
Якщо поверхня задана в явному вигл. z=z(x,y), то ,
Кривина похилого перерізу: де θ – кут між вектором і площиною похилого перерізу поверхні.
Якщо в ролі кривої на поверхні вибрати переріз площиною, перпендик. до дотичної площини (так званий нормальний переріз), то , а значить кривина нормального перерізу поверхні , (3)
тобто на відміну від k нормальна кривина ки може бути і від'ємною, а саме