- •1.Лінійні операції над векторами та їх властивості. Скалярний добуток векторів його властивості та застосування.
- •Афінна система координат. Координати точок. Знаходження координат вектора
- •Полярна система координат. Перехід від полярної до прямокутної системи координат і навпаки
- •3. Пряма лінія в афінній системі координат
- •4. Рівняння площини в афінній системі координат
- •5. Пряма лінія у просторі
- •Взаємне розташування двох прямих у просторі
- •Взаємне розташування прямої і площини
- •6. Метричні задачі на пряму і площину
- •Гіпербола.
- •8.Еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди. Дослідження їх форм методом перерізів, їх побудова.
- •9. Циліндричні та канонічні поверхні, їх властивості. Класифіфкація поверхонь 2-го порядку.
- •10. Рух 1 і 2 роду. Класифікація рухів площини та їх аналітичне задання. Групи рухів та їх підгрупи.
- •11. Перетворення подібності. Гомотетія. Аналітичне задання подібності. Група подібності та її властивості.
- •12. Група афінних перетворень площини і її підгрупи.
- •13. «Начала» Евкліді. Проблема 5-го постулату. Огляд аксіоматики гільберта евклідової геометрії.
- •1. Аксіоми належності та наслідки з них :
- •2. Аксіоми порядку і деякі наслідки:
- •5. Аксіома паралельності (Плейфера).
- •14. Аксіоматика Вейля. Доведення несуперечності та повноти аксіоматики Вейля.
- •15. Геометрія Лобачевского. Основні факти. Несуперечливість системи аксіом площини Лобачевского незалежність V постулату.
- •16. Різні види рівняння кривої у просторі. Тригранник Френе.
- •17. Кривина та скрут просторової кривої. Формули Френе.
- •18. Поверхні в евклідовому просторі. Криволінійні координати на поверхні. Дотична площина і нормаль поверхні.
- •19. Перша та друга квадратичні форми поверхні та їх застосування.
- •20. Топологічні простори та їх основні властивості. Приклади. Предмет топології.
- •21.Ейлерова характеристика поверхні.Орієнтовні та неорієнтовні двовимірні многовиди. Рід многовида та число його контурів
- •22. Існування 5 типів правильних многогранників. Топологічна класифікація многогранників
1. Аксіоми належності та наслідки з них :
1.1. для 2-х т-к А і В, А≠В, пряма, така, що А а і В а.
1.2. Для 2-х різних т-к не > 1=ї прямої, яка одночасно інцендентна кожній з них.
З цих 2-х аксіом наслідок: для 2-х різних т-к 1 і тільки 1 пряма, інц. кожній з них.
1.3. для прямої принаймні 2 т-ки, інц. їй. принаймні 3 т-ки, не інц. одній прямій.
З 1-3 наслідок: принаймні 3 прямі. Ці 3 аксіоми – площинні аксіоми.
1.4. для 3-х т-к, що не лежать на одній прямій, пл.-на, інц. кожній з них. Для пл.-ни принаймні 1 т-ка, інц. їй. наслідок: принаймні 1 пл-на.
1.5. Для 3 т-к, що одній прямій, не > 1 пл-ни, інц. їм. 3 т-ки, що не лежать на 1 прямій, 1 і тільки 1 пл-на, інц. цим т-кам.
1.6. Якщо 2 т-ки прямій а і пл.-ні α, то і т-ка пр-ої а буде інц. пл.-ні α.
1.7. Якщо для 2 пл-н α і β т-ка, інц.с кожній з них, то ще 1-на т-каїм інц.
1.8. принаймні 4 т-ки, не інц. одній пл.-ні. наслідок: опираючись на аксіоми1 групи, д-ся такі твердж.: 1)2 різні прямі або не мають спільних т-к, або мають спільну т-ку. 2) пл.-на не інц., ні пряма можуть мати не > 1 т-ки, інц. їм обом одночасно. 3) 2 різні пл.-ни або не мають спільних інц. т-к, або ці т-ки інц. 1 прямій. 4) 2 пл-ни або не перетин., або перетин. по прямій. 5) для пл.-ни 3 т-ки, які не лежать на 1 прямій.
2. Аксіоми порядку і деякі наслідки:
2.1. якщо т.В лежить між А і С, то А,В,С – 3 різні т-ки 1-ї прямої, і В лежить між А і С.
2.2. Для 2 т-к А і В прямої АВ принаймні 1 т-ка С така, що В лежить між А і С.
2.3. із 3 т-к, що 1 прямій, не > 1-ї лежить між 2 іншими. 2.4. нехай маємо 3 т-ки А,В,С, що не інц. 1 прямій (утв. Δ-к) і деяка пряма прох. ч\з внутр. т-ку одного з відрізків (ст.. Ав), не перетинає ін. пряму (АС), то вона обов. Перетне і 3 пряму(ВС)).
Т-ма: відрізок має принаймні 1-ну внутр. т-ку.
із 3 т-к 1-на і тільки 1-на лежить між2 ін. Відрізок має нескінч. мн-ну внутр. т-к пряма містить нескінч. мн-ну т-к.
3. Аксіоми конгруентності. 1. нехай А і В – 2 різні т-ки прямої а і мають т-ку А1, інц. а1, тоді така В1, відрізки АВ і А1В1 конгруентні.
2. якщо відрізок [А1В1] конгр. [АВ] і [А2В2] конгр.[АВ] [А1В1] конгр. [А2В2].
3. Якщо В лежить між А і С і В1 лежить між А1 і С1 і [А1В1] конгр.[АВ]і [В1С1] конгр.[ВС] [А1С1] конгр. [АС]. Сума конгр. Відрізків рівна між собою.
4. В заданій півпл-ні і заданим на ній променям можна побудувати кут конгр. заданому і тільки !.
5. якщо для ΔАВС і ΔА1В1С1 викон. умови: АВ конгр. А1В1, АС конгр. А1С1 і < BAC конгр.< B1A1C1.
4. Аксіоми неперервності. 4.1. аксіома Архімеда – нехай маємо 2 в-ки Ав і СD, тоді на прямій АВ скінч. мн-на т-к А1, А2, …, Аn, такі що:
1)А1А^2А3, А2А^3А4,…,Аn—2 A ^n-1 A n
2) [A1A2]конгр. [A2A3]… [An-1An]; 3) AB^An.
Змістовно: Малим відрізком СD можна перекрити великий відрізок. Який би не був великий від-к і який би не був мал.. від-к, таке нат. ч-ло n, що n[CD].
4.2. Аксіома Кантора. Нехай на деякій прямій задана нескінч. к-ть від-ків А1В1, А2В2,…,АnBn, такі що кожний леж. В середині. Нехай для заданого в-ка СD нат. n таке, що [AnBn]<[CD], тоді на прямій а т-ка М, яка !.
Аксіома Дедекінда. Нехай задано розбиття т-к АВ на 2 класи. Клас К1і К2, такі що К1 К2 = [AB]
К1 К2 = порожній мн-ні. Вони задовольняють таким умовам:1) А є К1, В є К2, при цьому класи К1 і К2містять ще т-ки, відмінні від А і В.2) якщо т-ка х є К1 і х≠А, а У є К2, то А х^ У(х леж. Між А і У).Змістовно: Кожна т-ка 1-го класу передує т-ці 2-го класу. Тоді М0 є [AB], яка здійсн. Розбиття т-к від-ка на ці 2 класи так, що якщо маємо А х^ М0, т-ка х є 1-му класу, якщо умова М0 У^В, У є 2-му класу. Кажуть, що М0 здійснює дедекендів переріз.
Т-ка М0 буде або ост. Т-кою 1-го класу, або першою 2-го класу.
Аксіом довжин в-ка(3): 1) в-к д-ною 1; 2) якщо в-к розбитий на 2, то д-на = сумі 2 ч-н; 3) конгр. в-кам став. У від-ть рівні ч-ла. геом.. побуд. На акс. 1-4 – носить назву абсолютної геом.
Т. Якщо при перетині 2 прямих а і b 3 с, внутр. різностор.кути конгр., то ці 2 прямі а і b ||. Д-ня. Припустимо, що вони . Маємо ΔАВС: відм. < С = <B протиріччя з акс. Належності. Прямі не перетинаються.
Т. Є пряма а і т-ка А поза прямою ч\з А можна провести принаймні 1-ну пряму, яка буде || а.
д-ня.скорист. попередн. Т-мою. На основі аксіом 3-4(конгр. для кутів) по від-ню до променя АВ промінь АК, ! такий, що <KAB <AK || a.